對稱矩陣（英文：Symmetric Matrices）簡稱對稱陣，是指數域中滿足矩陣A與其轉置矩陣A'相等的n階方陣。對稱矩陣可分為實對稱矩陣和反對稱矩陣等。
代數在歐幾里得（希臘文：Ευκλειδη?）的《幾何原本》中便已基本形成。而矩陣和行列式都起源于線性方程組，此后又獨立出來獨自發展。矩陣一詞由英國數學家西爾維斯特（英文：Sylveter）在1850年首先提出，該詞源于拉丁語，意為“一排數”。此后，矩陣理論得到迅速發展，英國數學家凱萊（英文：Cayley A.）定義了對稱陣、轉置陣等概念。之后克萊伯施（德語：Clebsch）、布克海姆（德文：Buchheim）等證明了對稱矩陣的特征根性質。
對稱矩陣具有以下性質：對稱矩陣的和、差仍為對稱矩陣；數與對稱矩陣的積為對稱矩陣等。與對稱矩陣相關的概念有正方矩陣、埃爾米矩陣等。另外，在復數域上加以推廣，能得到相應的復對稱矩陣，它與實對稱矩陣有不同的性質。對稱矩陣在圖書館學、經濟學、地理學領域有廣泛運用。例如：在經濟規律建立數學模型中狀態空間模型時，就運用到了對稱模型。
定義
矩陣
給定域中個數，其中將它們排成矩形表，稱為矩陣，記作，其中稱為矩陣第行第列的元素，簡稱為矩陣的元。
一般情況下，我們用大寫字母表示矩陣，為了表明矩陣的行數和列數，可用表示，或記作或.
對稱矩陣
數域上滿足，即 ，的階方陣稱為對稱矩陣，簡稱對稱陣。
簡史
中國古籍《九章算術》一書中就存在類似矩陣的概念。矩陣一詞由英國數學家西爾維斯特（Sylveter）在1850年首先提出，該詞源于拉丁語，意為“一排數”。由于有行列式的成果作為基礎，因此在1850年前后，矩陣理論得到迅速發展。英國數學家凱萊（Cayley）是矩陣論的創立者，他在1858年發表的《《矩陣論的研究報告》中定義了對稱矩陣的概念。克萊伯施（德語：Clebsch）、布克海姆（德文：Buchheim）等證明了對稱矩陣的特征根性質。十九世紀末，德國數學家弗羅貝尼烏斯（德語：Frobenius）得到了對稱矩陣可用合同變換化為同秩的對角矩陣的結果。
性質
設矩陣為對稱矩陣，對稱矩陣具有以下性質：
注意：兩個對稱矩陣的乘積不--定是對稱矩陣。例如，對稱矩陣
與
的乘積卻不是對稱矩陣。
分類
實對稱矩陣
實對稱矩陣（real symmetric matrix） 一種對稱矩陣。指歐氏空間的對稱變換在標準正交基下的矩陣。即元素全是實數的對稱矩陣。
反對稱矩陣
反對稱矩陣（Skew-symmetric matrix），一個矩陣如果滿足，那么稱是反對稱矩陣。為滿足反對稱性，主對角線上的元素必定等于零，即反對稱矩陣的元素具有形式：.
當階實矩陣滿足，稱為對稱矩陣；滿足時，稱為反對稱矩陣，有以下性質：
1） 是反對稱矩陣的充要條件是，有
2）是對稱矩陣，且對，有那么
中心對稱矩陣
又稱交叉對稱矩陣或斜對稱矩陣，有時也簡稱為矩陣，定義為
如果階矩陣是對稱的并且是次對稱的，則一定是中心對稱的。
對角矩陣
主對角線以外的元素全為零的階方陣稱為對角矩陣即.
對角矩陣都是對稱矩陣。
實對稱矩陣的特征值
設為階方陣，如果存在數和維非零列向量，使得成立，則數稱為方陣的特征向量，非零列向量稱為對應于特征值的特征向量。對于實對稱矩陣特征值，有以下定理：
定理一
實對稱矩陣的特征值都是實數。
證明：設為實對稱矩陣，為在復數域上的任一特征值，我們只需證明，其中是的共軛復數。是屬于的特征向量，故有，兩端取共軛，有，由共軛復數的運算性質知。兩端取轉置得。
注意到和，上式成為
兩端右乘，得
所以
又因為，故有
從而有，即是實數。
定理二
實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的。
證明：設是的不同特征值，分別為的屬于特征值的特征向量。于是
在上面第一式兩邊左乘，得
注意到
由于，所以，即正交。
定理三
設階方陣為對稱矩陣，則存在階正交矩陣，使為對角陣
證明：對矩陣的階數使用數學歸納法。
當時，一階矩陣已是對角矩陣，結論顯然成立。
假設對任意的階實對稱矩陣，結論成立。下面證明：對階實對稱矩陣，結論也成立。
設是的一個特征值，是的屬于的一個實特征向量。由于也是的屬于的特征向量，故不妨設是單位向量。記是以為第一列的任一階正交矩陣，把分塊為，其中為矩陣，則
注意到及與的各列向量都正交，所以
其中，為階實對稱矩陣，根據歸納法假設，對于，存在階正交矩陣，使得
令，不難驗證仍是正交矩陣，并且
記，則上面的結果表明為對角矩陣，由數學歸納法原理，對任意的階實對稱矩陣，定理的結論成立。
相關概念
正方矩陣
簡稱方陣，對于矩陣或，當時，則稱為上的階方陣。任意一個方陣都可分解為一個對稱與一個反對稱矩陣之和。
埃爾米矩陣
一個正方矩陣稱為埃爾米矩陣，若，其中。換言之，埃爾米矩陣是一種復共軛對稱函數。
推廣
形式地規定的一個平方根為，稱為虛數單位。對實數，形如的數稱為復數，全體復數組成的集合記為。對稱矩陣亦可以推廣到復數域中，即為復對稱矩陣。
復對稱矩陣（complex symmetric matrix），指的階復矩陣，任何階復矩陣相似于復對稱矩陣。任何復對稱矩陣正交相似于對稱矩陣，稱為復對稱矩陣的標準形。
復對稱矩陣與實對稱矩陣的顯著區別之一是不一定能對角化。如，矩陣是不可能對角化的。事實上，如果存在非奇異矩陣和對角矩陣，使得，那么，推出，從而矛盾。
應用
圖書情報
針對圖書館讀者借閱行為數據利用率低、對讀者圖書借閱行為分析不準確的問題，采用基于相似系數矩陣的聚類算法，對圖書館讀者借閱行為實施分析，采用Jaccard相似系數度量高維度圖書館讀者借閱數據的相似度，對高維度讀者借閱數據進行聚類分析，解決圖書館讀者借閱數據維度高的問題。構建聚類算法時塑造了新的對稱矩陣，當新的對稱矩陣中的所有元素都大于初始閾值時，說明數據聚類過程結束，聚類算法的構建實現圖書館讀者借閱行為數據的有效分類，針對讀者設計個性化專屬圖書推薦服務。
經濟學
作為描述經濟規律的一種手段，數學模型有助于尋求對系統進行預測或最優控制方案。數學模型就是描述經濟系統的特性和基本變化規律的數學表達式。在建立數學模型中狀態空間模型時，其一個特殊情況就運用到了對稱模型。
測繪學
測繪工作中廣泛存在著規模相當龐大的對稱矩陣。上世紀50年代，攝影測量領域就有人提出解析空中三角測量，尤其是光束法區域網解析空中三角測量，其整體平差計算量極大，其改化后的法方程系數矩陣達階數量級，是一直受人關注的甚大規模對稱矩陣。近年來輔助空中三角測量技術得到了長足發展，這些發展對甚大規模對稱矩陣的運算和管理提出了更的要求。
參考資料 >