正交變換（英語：Orthogonal transformation），亦稱全等變換或合同變換，是一類重要的線性變換，其定義為：設σ是歐氏空間V的線性變換，如果對V的任意向量α，有(σ(α),σ(α))=(α,α)，則稱σ是V的正交變換，它具有多種等價定義。
正交變換的概念起源于19世紀中葉矩陣論的發展。矩陣一詞最早由英國數學家西爾維斯特（J.J.Sylvester）于1850年使用，它作為表達一個線性方程組的簡單記法，與線性變換和行列式緊密相關。1858年，英國數學家凱萊（A.Cayley）發表了論文《矩陣論的研究報告》，文中系統地闡述了關于矩陣的理論，定義了矩陣的一系列基本概念。隨后，約當（Jordan）利用相似矩陣和特征方程的概念證明了矩陣經過變換可相似于一個“標準型”。1878年，德國數學家弗羅貝尼烏斯（F.G.Frobenius）在討論最小多項式問題過程中，引進矩陣的秩的概念，并在約當工作的基礎上討論了合同矩陣與合同變換（正交變換）。1908年，德國的數學家赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski）通過把一般的三維空間和時間結合，提出了四維空間的概念，后又被稱為“閔可夫斯基時空”。在四維空間中，正交變換可以推廣成洛侖茲變換。
正交變換是歐氏空間中保持向量點積不變的一種線性變換，具有許多重要性質，如正交變換是可逆的且它的逆變換也是正交變換等。它可以分為旋轉變換、平移變換和鏡面反射兩類，并都有相應的幾何意義。其他線性變換如對稱變換、酉變換和仿射變換等與正交變換密切相關。此外，正交變換在四維空間中可以推廣成洛侖茲變換。在現實世界中，正交變換具有廣泛的應用價值，如在海洋學中，可設計一種處理要素場的正交變換方法，可使得建立模型的有關計算變得簡便。
定義
設是歐氏空間的線性變換，如果對的任意向量，有，則稱是的正交變換。
正交變換具有下述等價定義：
(1)是正交變換；
(2)保持向量的長度不變，即對于；
(3)如果是標準正交基，那么也是標準正交基；
(4)在任一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣，正交矩陣是滿足的階實矩陣。
簡史
在代數中，線性代數部分主要介紹行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、線性變換和歐幾里得空間等概念，而正交變換的概念源于19世紀中葉矩陣論的發展。矩陣一詞最早由英國數學家西爾維斯特（J.J.Sylvester）于1850年使用，它作為表達一個線性方程組的簡單記法，與線性變換和行列式緊密相關。1858年，英國數學家凱萊（A.Cayley）發表了論文《矩陣論的研究報告》，文中系統地闡述了關于矩陣的理論，定義了矩陣的一系列基本概念，并證明了凱萊-哈密頓定理：任何方陣都滿足它的特征方程。隨后，約當（Jordan）利用相似矩陣和特征方程的概念證明了矩陣經過變換可相似于一個“標準型”，即現在所謂的約當標準型。
1878年，德國數學家弗羅貝尼烏斯（F.G.Frobenius）對矩陣理論做了進一步的工作，在討論最小多項式問題過程中，引進矩陣的秩的概念，并在約當工作的基礎上討論了合同矩陣與合同變換（正交變換）。1908年，德國的數學家赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski）通過把一般的三維空間和時間結合，提出了四維空間的概念，后又被稱為“閔可夫斯基時空”。在四維空間中，正交變換可以推廣成洛侖茲變換。
相關證明
首先證明(1)和(2)等價。如果是正交變換，那么，即，兩邊開方得。反過來，如果保持向量的長度不變，那么對任意，有，最后的等式展開得。再利用前兩個等式，有，則說明是正交變換。
其次證明(1)和(3)等價。設是一組標準正交基，即，如果是正交變換，那么，即說明是標準正交基。反過來，如果是標準正交基，由與，得，因而是正交變換。
最后證明(1)與(4)等價。設在標準正交基的矩陣為，即。如果是標準正交基，那么可以看作由標準正交基到的過渡矩陣，因而是正交矩陣。反過來，如果是正交矩陣，那么就是標準正交基。
綜上，等價性得證。
性質
分類
第一類正交變換
旋轉變換，簡稱旋轉，是歐式幾何中的一種重要變換，是第一類正交變換。
定義：在歐氏平面上（歐氏空間中），讓每一點繞一固定點（固定軸線）旋轉一個定角，變成另一點，如此產生的變換稱為平面上（空間中）的旋轉變換。此固定點（固定直線）稱為旋轉中心（旋轉軸），該定角稱為旋轉角。
旋轉變換的逆變換也是旋轉變換，兩個繞同一點（同一軸線）的旋轉變換的乘積仍是旋轉變換。
例如，在平面直角坐標系中，若旋轉中心為點，點繞旋轉角后變成點，則平面上旋轉變換的代數表達式為。
平移變換，簡稱平移或直移，是歐式幾何中的一種重要變換，是第一類正交變換。
定義：在歐式平面上（歐式空間中），把每一點按照已知向量的方向移到，使，如此產生的變換稱為平面上（空間中）沿向量的平移變換，簡稱平移。
例如，在平面直角坐標系中，若，點沿平移到點，則這個平移變換的代數表達式為。
平移變換的逆變換也是平移變換，兩個平移變換的乘積仍是平移變換。
第二類正交變換
鏡面反射亦稱非特征正交變換，是第二類正交變換。
定義：設是歐氏空間，是的非零向量。對任意的，由決定的變換是滿足的正交變換，稱為由向量決定的鏡面反射，其中為單位變換。若是維歐氏空間，則存在的標準正交基，使鏡面反射在此基下的矩陣為。
幾何意義
(1）第一類正交變換的幾何意義可看做在直角坐標系下的剛體運動，每一個剛體運動是一個旋轉和平移之積。
如圖1，變到，這時平面只須經受平移和旋轉，即經過一次剛體運動就可到達。
(2）考慮第二類正交變換的幾何意義，在維歐氏空間中，當取定一個單位向量后，由式：可定義鏡面反射變換。如圖2，可見鏡面反射在幾何上表示對以為法向量的一個平面的反射。
相關概念
對稱變換
定義：設是歐氏空間的線性變換，若對中任意兩個向量都有，則稱是的一個對稱變換。
與正交變換的關系：特征值為的對稱變換為正交變換。
酉變換
定義：設是酉空間的線性變換，若對任意的，則稱為上的酉變換。設是維酉空間的酉變換，則存在的標準正交基，使關于此基的矩陣為對角形，且對角線上元素的模為。
設是維酉空間的線性變換，則下列命題等價：
（1）是酉變換；
（2）對任意的，都有；
（3）關于標準正交基的矩陣是酉矩陣；
（4）若是的標準正交基，則也是的標準正交基。
與正交變換的關系：正交變換是酉變換的一種特例，酉變換是復數域中的一種正交變換。
仿射變換
定義：設已確定了一個仿射坐標，用與表示點與兩點的坐標，則變換
確定了一個把變到的點變換，如果，則稱為仿射變換。
與正交變換的關系：仿射變換是一種更廣泛的圖形變換，平面上的正交變換（等距變換）是仿射變換的特殊情況。
推廣
四維空間是通過一般的三維空間和時間一起構成。由于這個概念是德國的數學家閔可夫斯基（Hermann Minkowski）于1908年提出的，所以又被稱為“閔可夫斯基時空”。
四維空間上的正交變換
洛侖茲變換是線性變換，而且也滿足正交變換條件式，所以可把洛侖茲變換形式看成四維空間中的“轉動”變換，是四維空間中的正交變換。三維空間中正交變換的一些公式和性質都可以形式上推廣到洛侖茲變換中去。該四維空間中的第四個坐標為虛數，所以它是復四維空間。
洛倫茲變換的四維表示：
設系相對系以速度運動，則系與系中空時坐標的洛侖茲變換式為
；
，；
。
式中，。令作為四維空間中第四個坐標，即
于是，洛侖茲變換可表示為四維空間中系與系的坐標變換
，寫成矩陣形式為或，式中，稱為變換矩陣。用矩陣乘法可以證明，即。因此，為正交矩陣，而洛侖茲變換為四維空間中的線性正交變換。從形式上看，洛侖茲變換可以看成是四維空間中坐標系的“轉動”。
由于僅討論的情況，，而另兩個坐標的變換式可改寫為，
式中，。因此，在四維空間中，可做與重合，與重合。因而，洛侖茲變換可以形象地用平面上的坐標系轉動來描述，如下圖所示。當然，洛侖茲變換在四維空間中的幾何表示純粹是一種形式表示。因為是虛坐標，坐標系的旋轉角度也是由所給的虛角。
應用
農業科技
光譜分析技術廣泛應用于小麥、玉蜀黍屬等作物葉綠素含量的反演，它具有無損和實時性好的優點。為了有針對性地檢測目標含量，對采集的連續光譜通常采用數據降維的方法來獲取檢測參數，但由于在大田中光照環境、作物結構、內部養分元素關聯等條件復雜，作物冠層采集的反射光譜與葉綠素含量之間關系難以簡單解析。基于正交變換理論的格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）算法，可建立高精度的大田冬小麥冠層葉綠素含量光譜學診斷模型，通過對光譜數據降維和有效敏感波長篩選，最終為冬小麥田間精細化管理提供依據。
信息科技
隨著數據挖掘技術的發展，人們意識到數據挖掘技術可能對隱私和信息安全構成威脅。為了保護數據挖掘中的隱私，防止收集的數據被誤用，人們提出了多種解決方法。從傳統的數據安全度評價標準出發，針對聚類分析時如何保護隱私的問題，有學者提出了一種基于正交變換的數據轉換方法的算法。在隱私保護過程中，該算法不依賴于具體數據，能夠很好地應用于大容量的數據庫上，在應用正交變換保護數據中的隱私信息時可有效減少數據的運算量。
海洋學
在關于海洋、氣象等的分析和預報研究中，要素場的數字處理是重要的一環。數字處理已有許多不同的方法，雖各有特點，但存在一些共同的要求，例如：從數字上考慮，要保證作為因子的要素，經過處理后要具有顯著的線性無關性，甚至要具有比原來更顯著的線性無關性；又如，要有利于數字模型的建立和處理，要使得計算工作變得更加簡便。
在考慮上述因素的基礎上，通過泛函分析的有關思想方法，可設計一種處理要素場的正交變換方法，在對海洋、氣象等要素場的數字處理上能滿足共性要求，并可使處理過的因子彼此正交。
參考資料 >