酉空間(unitary linear space)是一種特殊的復(fù)線性空間。指以一類埃爾米特函數(shù)作內(nèi)積的復(fù)線性空間。設(shè)V是復(fù)數(shù)域C上的線性空間，J是C的(共軛)自同構(gòu)：(a+bi)J=a-bi。若在V上定義了一個(gè)關(guān)于J的埃爾米特函數(shù)，并且對(duì)任意α∈V，內(nèi)積(α，α)≥0及(α，α)=0 當(dāng)且僅當(dāng)α=0，則稱V為酉空間。n維酉空間U中總存在標(biāo)準(zhǔn)正交基。對(duì)U的任一線性變換σ，都存在它的共軛變換σ*。若以A，B分別表示σ與σ*關(guān)于給定基的矩陣，則A=G′-1B-′G′，這里G是關(guān)于給定基的格拉姆矩陣，B-′是B的轉(zhuǎn)置共軛矩陣。對(duì)U的任一正規(guī)(埃爾米特)變換σ，都存在標(biāo)準(zhǔn)正交基，使σ關(guān)于此基的矩陣為對(duì)角形(實(shí)對(duì)角形)矩陣。
線性空間
亦稱向量空間。它是線性代數(shù)的中心內(nèi)容和基本概念之一。設(shè)V是一個(gè)非空集合，P是一個(gè)域。若：
1.在V中定義了一種運(yùn)算，稱為加法，即對(duì)V中任意兩個(gè)元素α與β都按某一法則對(duì)應(yīng)于V內(nèi)惟一確定的一個(gè)元素，稱為α與β的和。
2.在P與V的元素間定義了一種運(yùn)算，稱為純量乘法(亦稱數(shù)量乘法)，即對(duì)V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對(duì)應(yīng)V內(nèi)惟一確定的一個(gè)元素，稱為k與α的積。
3.加法與純量乘法滿足以下條件：
1) ，對(duì)任意
2)，對(duì)任意
3) 存在一個(gè)元素，對(duì)一切有，元素0稱為V的零元.
4) 對(duì)任一，都存在使，β稱為α的負(fù)元素，記為-α.
5) 對(duì)P中單位元1，有
6) 對(duì)任意有
7) 對(duì)任意有.
8) 對(duì)任意有
則稱V為域P上的一個(gè)線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域。當(dāng)P是實(shí)數(shù)域時(shí)，V稱為實(shí)線性空間。當(dāng)P是復(fù)數(shù)域時(shí)，V稱為復(fù)線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構(gòu)成的集合，P為實(shí)數(shù)域R，則V關(guān)于向量加法(即平行四邊形法則)和數(shù)與向量的乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間。又如，若V為數(shù)域P上全體矩陣組成的集合M(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法，則M(P)是數(shù)域P上的線性空間.V中向量就是矩陣。再如，域P上所有n元向量構(gòu)成的集合P對(duì)于加法：與純量乘法：構(gòu)成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。
線性空間是在考察了大量的數(shù)學(xué)對(duì)象(如幾何學(xué)與物理學(xué)中的向量，代數(shù)學(xué)中的n元向量、矩陣、多項(xiàng)式，數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)等)的本質(zhì)屬性后抽象出來的數(shù)學(xué)概念，近代數(shù)學(xué)中不少的研究對(duì)象，如賦范線性空間、模等都與線性空間有著密切的關(guān)系。它的理論與方法已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)的許多領(lǐng)域。哈密頓(Hamilton，W.R.)首先引進(jìn)向量一詞，并開創(chuàng)了向量理論和向量計(jì)算。赫爾曼·格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多維歐幾里得空間的系統(tǒng)理論。1844—1847年，他與奧古斯丁-路易·柯西(Cauchy，A.-L.)分別提出了脫離一切空間直觀的、成為一個(gè)純粹數(shù)學(xué)概念的、抽象的n維空間。特普利茨(Toeplitz，O.)將線性代數(shù)的主要定理推廣到任意域上的一般的線性空間中。
詳細(xì)定義
酉空間(unitary linear space)是一種帶有正定埃爾米特型的復(fù)線性空間V。設(shè)V是復(fù)數(shù)域C上的線性空間。為使得V成為類似于歐幾里得空間的度量空間，也就是希望復(fù)數(shù)域上非零向量的度量是正實(shí)數(shù)，我們需要引入埃爾米特函數(shù)(也稱埃爾米特型)。
若復(fù)線性空間V上的埃爾米特型 滿足：
則稱是正定縣的。
把酉空間中取定的正定埃爾米特型稱為內(nèi)積，記為。對(duì)任意，內(nèi)積，當(dāng)且僅當(dāng)。
設(shè)V是復(fù)數(shù)域C上的線性空間。若對(duì)于V中任意兩個(gè)向量α，β，都有惟一確定的復(fù)數(shù)，記為(α，β)，與它們對(duì)應(yīng)，且滿足：
1.，是(β，α)的共軛復(fù)數(shù)；
2.
3.
4.(α，α)是非負(fù)的實(shí)數(shù)，且，當(dāng)且僅當(dāng)，其中α，β，γ是V中的任意向量，k為任意復(fù)數(shù)；則稱(α，β)是α與β的內(nèi)積。定義了內(nèi)積的復(fù)線性空間V稱為酉空間。例如，在復(fù)n維向量空間C中，對(duì)任意定義：
則(α，β)是C上的內(nèi)積，而C是酉空間。在n維酉空間中，可以定義正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基。維酉空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基是存在的。
函數(shù)定義
埃爾米特函數(shù)是一種特殊的半雙線性函數(shù)。設(shè)V是域P上的線性空間，J是P的自同構(gòu)，φ是V上的半雙線性函數(shù)，若且對(duì)每對(duì)，則稱φ為V上的埃爾米特函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，稱φ為反埃爾米特函數(shù)。特別地，當(dāng)J為恒等自同構(gòu)時(shí)，埃爾米特(反埃爾米特)函數(shù)就是對(duì)稱(反對(duì)稱)雙線性函數(shù)。n維線性空間V上的埃爾米特(反埃爾米特)函數(shù)對(duì)取定基的矩陣是埃爾米特(反埃爾米特)矩陣。
函數(shù)性質(zhì)
用V表示酉空間，T*表示T的共軛變換。
定義1 T是V的線性變換，如果對(duì)V中任意向量α,β，有成立，則稱T是V的正規(guī)變換。
定理1 設(shè)T是V的線性變換，則下列命題等價(jià)：
(Ⅰ) T是正規(guī)變換；(Ⅱ) ；(Ⅲ) T在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正規(guī)矩陣。
證明 先證(Ⅰ)→ (Ⅱ)
“ →”：設(shè)對(duì)V中任意的向量α,β，因，于是，即
由α的任意性得即，又由β的任意性得；
“← ”：對(duì)V中任意的向量α,β，因故有，所以T是正規(guī)變換。
再證(Ⅱ) →(Ⅲ)
設(shè)T在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為A，則T*在下的矩陣為A′，即：
即有：
由(3)、(4)可知，當(dāng)時(shí)，有，即A是正規(guī)矩陣。當(dāng)時(shí)，顯然也有，即T是正規(guī)變換。
定理2 設(shè)T是正規(guī)變換，λ為復(fù)數(shù)，設(shè)I是單位變換，則：(Ⅰ)λT是正規(guī)變換；(Ⅱ) T-λI也是正規(guī)變換。
證明 (Ⅰ)因所以即λT是正規(guī)變換。
(Ⅱ)因即也是正規(guī)變換。
定理3 設(shè)是正規(guī)變換，當(dāng)與可交換時(shí)，是正規(guī)變換，也是正規(guī)變換。
證明 當(dāng)時(shí)，有故：
所以，也是正規(guī)變換。
又所以，也是正規(guī)變換。
參考資料 >