數(shù)域是近世代數(shù)學(xué)中常見的概念，指對加減乘除四則運算封閉的代數(shù)系統(tǒng)。通常定義的數(shù)域是指復(fù)數(shù)域C的子域。數(shù)域因為其定義過于廣泛，沒有太好的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)中的直接應(yīng)用很少，經(jīng)常用到的是它的一些子對象，例如：代數(shù)數(shù)域，即有理數(shù)域的有限擴張，例如有理數(shù)域和高斯域。數(shù)域的概念有時也被用作代數(shù)數(shù)域的簡稱，但兩者的定義有細微的差別。
定義
數(shù)域是指包含于復(fù)數(shù)域C的域，任何數(shù)域都包含有理數(shù)域Q。數(shù)域中包含0與1，并且數(shù)域中任兩個數(shù)的和、差、乘積以及商（除數(shù)不為0）都仍在數(shù)域中。用域論的話語來說，復(fù)數(shù)域的子域是為數(shù)域。任何數(shù)域都包括有理數(shù)域Q，但并不一定是Q的有限擴張，因此數(shù)域不一定是代數(shù)數(shù)域。例如實數(shù)域R和復(fù)數(shù)域C都不是代數(shù)數(shù)域。反之，每個代數(shù)數(shù)域都同構(gòu)于某個數(shù)域。
例子
數(shù)域因為其定義過于廣泛，沒有太好的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)中的直接應(yīng)用很少，經(jīng)常用到的是它的一些子對象，例如：
- 代數(shù)數(shù)域，即有理數(shù)域Q的有限擴張，例如有理數(shù)域Q和高斯域。
- 阿基米德局部域，實數(shù)域R和復(fù)數(shù)域C，它們是代數(shù)數(shù)域關(guān)于通常的絕對值做完備化得到的域。
- 分圓域，它是有理數(shù)域Q的射線類域（ray class field），即所有Q的有限阿貝爾擴張均包含在某個分圓域中。它也是代數(shù)數(shù)域，擴張次數(shù)是φ(n)的歐拉函數(shù)。
除了常見的實數(shù)域R和復(fù)數(shù)域C以外，通過在有理數(shù)域中添加特定的無理數(shù)進行擴張得到的擴域也是數(shù)域。例如所有形同：
a+b√2, a,b∈Q的數(shù)的集合，就是一個數(shù)域。這個集合記作Q(√2)，是有理數(shù)域Q的二次擴域。
可構(gòu)造數(shù)
可構(gòu)造數(shù)也叫規(guī)矩數(shù)，指的是從給定的單位長度開始，能夠通過有限次標(biāo)準(zhǔn)的尺規(guī)作圖步驟做出的長度數(shù)值。所有可構(gòu)造數(shù)的集合記為C，是一個數(shù)域。C是Q的擴域，次數(shù)為無限大，是實數(shù)域R的子域。
代數(shù)數(shù)
代數(shù)數(shù)指能夠成為某個有理系數(shù)多項式的根的數(shù)。所有代數(shù)數(shù)的集合記作A，是一個數(shù)域。A也常被稱為代數(shù)數(shù)域，但與定義為“Q的有限擴張”的代數(shù)數(shù)域是不同的概念。不過，每個Q的有限擴張生成的域都可看作是Q中加入某個代數(shù)數(shù)擴成的，所以都是A的子域。可構(gòu)造數(shù)構(gòu)成的數(shù)域C也是A的子域。由于虛數(shù)單位i也是代數(shù)數(shù)，所以A不是R的子域。另一方面，自然對數(shù)的底e以及圓周率π都不是代數(shù)數(shù)，所以R也不是A的子域。
參考資料 >