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矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個(gè)矩陣的列數(shù)（column）和第二個(gè)矩陣的行數(shù)（row）相同時(shí)才有意義。一般單指矩陣乘積時(shí)，指的便是一般矩陣乘積。一個(gè)m×n的矩陣就是m×n個(gè)數(shù)排成m行n列的一個(gè)數(shù)陣。由于它把許多數(shù)據(jù)緊湊的集中到了一起，所以有時(shí)候可以簡(jiǎn)便地表示一些復(fù)雜的模型，如電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型。

定義

設(shè)A為的矩陣，B為的矩陣C為矩陣A與B的乘積，記作，其中矩陣C中的第行第列元素可以表示為：

如下所示：

注意事項(xiàng)

1、當(dāng)矩陣A的列數(shù)（column）等于矩陣B的行數(shù)（row）時(shí)，A與B可以相乘。

2、矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，C的列數(shù)等于B的列數(shù)。

3、乘積C的第m行第n列的元素等于矩陣A的第m行的元素與矩陣B的第n列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。

基本性質(zhì)

乘積形式

除了上述的矩陣乘法以外，還有其他一些特殊的“乘積”形式被定義在矩陣上，這些特殊形式的矩陣乘法在某些應(yīng)用中具有特殊的作用和優(yōu)勢(shì)。值得注意的是，當(dāng)提及“矩陣相乘”或者“矩陣乘法”的時(shí)候，并不是指代這些特殊的乘積形式，而是定義中所描述的矩陣乘法。在描述這些特殊乘積時(shí)，使用這些運(yùn)算的專(zhuān)用名稱(chēng)和符號(hào)來(lái)避免表述歧義。

哈達(dá)馬積

矩陣與矩陣的Hadamard積記作。其元素定義為兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)元素的乘積的m×n矩陣。例如，

克羅內(nèi)克積

克羅內(nèi)克積是兩個(gè)任意大小的矩陣間的運(yùn)算，符號(hào)記作。克羅內(nèi)克積也被稱(chēng)為直積或張量積。以德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克命名。計(jì)算過(guò)程如下例所示：

實(shí)現(xiàn)

C++代碼

struct?Matrix:vector?>//使用標(biāo)準(zhǔn)容器vector做基類(lèi)，需#include語(yǔ)句{????????Matrix(int?x=0,int?y=0,int?z=0)//初始化，默認(rèn)為0行0列空矩陣????????{????????????????assign(x,vector(y,z));???????}????int?h_size()const//常量說(shuō)明不可省，否則編譯無(wú)法通過(guò)????{????????return?size();????}????int?l_size()const????{????????return?empty()?0:front().size();//列數(shù)要考慮空矩陣的情況????}????Matrix?pow(int?k);//矩陣的k次冪，用快速冪實(shí)現(xiàn)，k為0時(shí)返回此矩陣的單位矩陣};Matrix?operator*(const?Matrix?&m,const?Matrix?&n)//常量引用避免拷貝{????if(m.l_size()!=n.h_size())return?Matrix();//非法運(yùn)算返回空矩陣????Matrix?ans(m.h_size(),n.l_size());????for(int?i=0;?i!=ans.h_size();?++i)????????for(int?j=0;?j!=ans.l_size();?++j)????????????for(int?k=0;?k!=m.l_size();?++k)????????????????ans[i][j]+=m[i][k]*n[k][j];???return?ans;}Matrix?Matrix::pow(int?k){????if(k==0)????{????????Matrix?ans(h_size(),h_size());????????for(int?i=0;?i!=ans.h_size();?++i)????????????ans[i][i]=1;????????return?ans;????}????if(k==2)return?(*this)*(*this);????if(k%2)return?pow(k-1)*(*this);????return?pow(k/2).pow(2);}

實(shí)際應(yīng)用

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

某公司有四個(gè)工廠(chǎng)，分布在不同地區(qū)，同時(shí)三種產(chǎn)品，產(chǎn)量（單位；t），試用矩陣統(tǒng)計(jì)這些數(shù)據(jù)。

可用下述矩陣描述，其中四行分別表示甲乙丙丁四個(gè)工廠(chǎng)的生產(chǎn)情況，三列分布表示三種產(chǎn)品P1，P2，P3的產(chǎn)量。

再設(shè)矩陣，其中第一列表示三種產(chǎn)品的單件利潤(rùn)，第二列表示三種產(chǎn)品的單件體積。

矩陣C的第一列數(shù)據(jù)分別表示四個(gè)工廠(chǎng)的利潤(rùn)，第二列分別表示四個(gè)工廠(chǎng)產(chǎn)品需要的存儲(chǔ)空間。

路徑問(wèn)題

給定一個(gè)有向圖，問(wèn)從A點(diǎn)恰好走k步（允許重復(fù)經(jīng)過(guò)邊）到達(dá)B點(diǎn)的方案數(shù)。

把給定的圖轉(zhuǎn)為鄰接矩陣，即當(dāng)且僅當(dāng)存在一條邊。令，那么，實(shí)際上就等于從點(diǎn)i到點(diǎn)j恰好經(jīng)過(guò)2條邊的路徑數(shù)（枚舉k為中轉(zhuǎn)點(diǎn)）。類(lèi)似地，的第i行第j列就表示從i到j(luò)經(jīng)過(guò)3條邊的路徑數(shù)。同理，如果要求經(jīng)過(guò)k步的路徑數(shù)，我們只需要二分求出即可。

參考資料 >