是由方程系數(shù)直接把根表示出來的數(shù)學(xué)計(jì)算公式。
公式定義
一元二次ax^2+bx+c=0可用求根公式x=求解，它是由方程系數(shù)直接把根表示出來的公式。這個(gè)公式早在公元9世紀(jì)由中亞的阿爾·花拉子模給出。
發(fā)展歷程
南宋數(shù)學(xué)家秦九韶至晚在1247年就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一元三次方程的求根公式，歐洲人在400多年后才發(fā)現(xiàn)，但在中國的課本上這個(gè)公式仍是以那個(gè)歐洲人的名字來命名的。
一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡當(dāng)發(fā)表在《關(guān)于代數(shù)的大法》一書中，人們就把它叫做“卡當(dāng)公式”。可是事實(shí)上，發(fā)現(xiàn)公式的人并不是卡當(dāng)本從，而是尼科洛·塔爾塔利亞（TartagliaN.,約1499~1557）.發(fā)現(xiàn)此公式后。
曾據(jù)此與許多人進(jìn)行過解題競賽，他往往是勝利者，因而他在意大利名聲大震。醫(yī)生兼數(shù)學(xué)家卡當(dāng)?shù)弥麃喛偸谦@勝的消息后，就千方百計(jì)地找塔塔利亞探聽他的秘密。當(dāng)時(shí)學(xué)者們通常不急于把自己所掌握的秘密向周圍的人公開，而是以此為秘密武器向別人挑戰(zhàn)比賽，或等待懸賞應(yīng)解，以獲取獎(jiǎng)金。盡管卡當(dāng)千方百計(jì)地想探聽塔塔利亞的秘密，但是在很長時(shí)間中塔塔利亞都守口如瓶。可是后來，由于卡當(dāng)一再懇切要求，而且發(fā)誓對(duì)此保守秘密，于是塔塔利亞在1539年把他的發(fā)現(xiàn)寫成了一首語句晦澀的詩告訴了卡當(dāng)，但是并沒有給出詳細(xì)的證明。卡當(dāng)并沒有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的藝術(shù)》一書中向世人公開了這個(gè)解法。
他在此書中寫道："這一解法來自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亞的塔塔利亞。塔塔利亞在我的懇求之下把這一方法告訴了我，但是他沒有給出證明。我找到了幾種證法。證法很難，我把它敘述如下。"從此，人們就把一元三次方程的求根公式稱為卡當(dāng)公式。塔塔利亞知道卡當(dāng)把自己的秘密公之于眾后，怒不可遏。按照當(dāng)時(shí)人們的觀念，卡當(dāng)?shù)淖龇o異于背叛，而關(guān)于發(fā)現(xiàn)法則者是誰的附筆只能被認(rèn)為是一種公開的侮辱。于是塔塔利亞與卡當(dāng)在米蘭市的教堂進(jìn)行了一場(chǎng)公開的辯論。
許多資料都記述過塔塔利亞與卡當(dāng)在一元三次方程求根公式問題上的爭論，可信的是，名為卡當(dāng)公式的一元三次方程的求解方法，確實(shí)是塔塔利亞發(fā)現(xiàn)的；卡當(dāng)沒有遵守誓言，因而受到塔塔利亞及許多文獻(xiàn)資料的指責(zé)，卡當(dāng)錯(cuò)有應(yīng)得，但是卡當(dāng)在公布這一解法時(shí)并沒有把發(fā)現(xiàn)這一方法的功勞歸于自己，而是如實(shí)地說明了這是塔塔利亞的發(fā)現(xiàn)，所以算不上剽竊；而且證明過程是卡當(dāng)自己給出的，說明卡當(dāng)也做了工作。卡當(dāng)用自己的工作對(duì)尼科洛·塔爾塔利亞泄露給他的秘密加以補(bǔ)充，違背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人類探索一元n次方程根式解法的進(jìn)程。不過，公式的名稱，還是應(yīng)該稱為方塔納公式或塔塔利亞公式；稱為卡當(dāng)公式是歷史的誤會(huì)。一元三次方程應(yīng)有三個(gè)根。塔塔利亞公式給出的只是一個(gè)實(shí)根。又過了大約200年后，隨著人們對(duì)虛數(shù)認(rèn)識(shí)的加深，到了1732年，才由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉找到了一元三次方程三個(gè)根的完整的表達(dá)式。
塔爾塔利亞
尼科洛·塔爾塔利亞是意大利人，出生于1500年。他12歲那年，被入侵的法國兵砍傷了頭部和舌頭，從此說話結(jié)結(jié)巴巴，人們就給他一個(gè)綽號(hào)“塔爾塔利亞”(在意大利語中，這是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自學(xué)成才，成了數(shù)學(xué)家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人聽了不服氣，來找他較量，每人各出30道題，由對(duì)方去解。結(jié)果，塔爾塔利亞30道三次方程的解全做了出來，對(duì)方卻一道題也沒做出來。塔爾塔利亞大獲全勝。這時(shí)，意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)出場(chǎng)，請(qǐng)求塔爾塔利把解方程的方法告訴他，可是遭到了拒絕。后來卡當(dāng)對(duì)塔爾塔利假裝說要推薦他去當(dāng)西班牙炮兵顧問，還發(fā)誓，永遠(yuǎn)不泄漏尼科洛·塔爾塔利亞解一元三次方程式的秘密。塔爾塔利亞這才把解一元三次方程的秘密告訴了卡當(dāng)。六年以后，卡當(dāng)不顧原來的信約，在他的著作《關(guān)于代數(shù)的大法》中，將經(jīng)過改進(jìn)的三次方程的解法公開發(fā)表。后人就把這個(gè)方法叫作“卡當(dāng)公式”塔爾塔利亞的名字反而被湮沒了，正如他的真名在口吃以后被埋沒了一樣。
有關(guān)公式
至于一元四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0求根公式由卡當(dāng)?shù)膶W(xué)生弗拉利找到了。
關(guān)于三次、四次方程的求根公式，因?yàn)橐婕?a href="/hebeideji/5069406126021080353.html">復(fù)數(shù)概念，這里不介紹了。
一元三次、四次方程求根公式找到后，人們?cè)谂ふ乙辉宕畏匠糖蟾剑倌赀^去了，但沒有人成功，這些經(jīng)過嘗試而沒有得到結(jié)果的人當(dāng)中，不乏有大數(shù)學(xué)家。
后來年輕的挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·亨利克·阿貝爾于1824年所證實(shí)，n次方程(n≥5)沒有公式解。不過，對(duì)這個(gè)問題的研究，其實(shí)并沒結(jié)束，因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那么又是什么樣的一元n次方程才沒沒有求根公式呢？
不久，這一問題在19世紀(jì)止半期，被法國數(shù)學(xué)家埃瓦里斯特·伽羅瓦利用他創(chuàng)造的全新的數(shù)學(xué)方法所證明，由此一門新的數(shù)學(xué)分支“群論”誕生了。
一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標(biāo)準(zhǔn)型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。
ax^3+bx^2+cx+d=0
為了方便，約去a得到
x^3+kx^2+mx+n=0
令x=y-k/3
代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0
(y-k/3)^3中的y^2項(xiàng)系數(shù)是-k
k(y-k/3)^2中的y^2項(xiàng)系數(shù)是k
所以相加后y^2抵消
得到y(tǒng)^3+py+q=0
其中p=(-k^2/3)+m
q=(2k^3/27)-(km/3)+n
計(jì)算方法
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據(jù)一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應(yīng)該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即為兩個(gè)開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方里面的內(nèi)容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時(shí)立方可以得到求根公式
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化為
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移項(xiàng)可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化簡得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）這樣其實(shí)就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因?yàn)锳和B可以看作是一元二次方程的兩個(gè)根，而(6)則是關(guān)于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個(gè)根的韋達(dá)定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對(duì)比（6）和（8），可令A(yù)＝y(tǒng)1，B＝y(tǒng)2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化為
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的A＝y(tǒng)1，B＝y(tǒng)2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式(14)只是一元三方程的一個(gè)實(shí)根解，按韋達(dá)定理一元三次方程應(yīng)該有三個(gè)根，不過按韋達(dá)定理一元三次方程只要求出了其中一個(gè)根，另兩個(gè)根就容易求出了。
ax3+bx2+cx+d=0記：p=（27a2d-9abc+2b3）/(54a3)q=(3ac-b2）/（9a2）X1=-b/（3a）+（-p+（p2+q3）^(1/2))^(1/3)+（-p-（p2+q3）^(1/2))^(1/3)
三次方求根
f{m}=m(k+1)=m(K)+{A/㎡.(k)-m(k)}1/n.
n是方次，A被開方數(shù)。
例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之間。我們可以隨意代入一個(gè)數(shù)m，例如2，那么：
第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7;
第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71;
第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709;
每次多取一位數(shù)。公式會(huì)自動(dòng)反饋到正確的數(shù)值。
參考資料 >