韋達定理（英文：Vieta theorem）描述的是一元二次方程中根和系數之間的關系，即一元二次方程的兩根之和等于它的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于它的常數項除以二次項系數所得的商。
對于一個一元二次方程，記兩個根分別為，韋達定理可以使用以下數學關系表示。
，
在歐洲，韋達定理是由法國數學家弗朗索瓦·韋達（Francois Viete）首先發現而得名。韋達定理不單適用于一元二次方程，還能推廣至更一般的一元n次方程。韋達定理在方程根的求解、圓錐曲線和三角恒等式等具有廣泛的應用。
歷史
公元 300 年，中國數學家趙爽編著的《周髀算經》中已有發現類似韋達定理的根與系數的關系的記載，并通過文字描述了求解一元二次方程的根的一般方法，與韋達定理的差別在于沒有字母化的求根公式。
16世紀，法國數學家弗朗索瓦·韋達（Francois Viete）發現了代數方程的根與系數之間的關系，將其推廣到高次方程，并在其著作《論方程的識別與訂正》正式發表，后來人們把這個關系稱為韋達定理。
有趣的是, 16 世紀已經發現的韋達定理需要代數基本定理（實系數的一元n次方程一定有n個根）才能得證，而后者直到1799 年才由德國數學家約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Carolus Fridericus Gauss）首次做出實質性的論證。
定義
一元二次方程的兩根之和等于它的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于它的常數項除以二次項系數所得的商。根與系數的這種關系，叫做韋達定理。
對于一個一元二次方程，記兩個根分別為，韋達定理可以使用以下數學關系表示。
韋達定理它描述了一元二次方程的根與系數之間的聯系。需要說明的是，無論方程有無實數根，實系數一元二次方程的根與系數之間的關系均滿足韋達定理。
對于二次項系數為 1的簡化形式的一元二次方程，韋達定理有更簡潔的表達形式：一元二次方程的兩根之和等于它的一次項系數的相反數；兩根之積等于它的常數項。
證明
方法一
假設為一元二次方程的根，則該方程也可以表示為：
將上述方程展開可得：
此方程的系數應該與一一對應，即
定理得證。
方法二
韋達定理的證明還可以從一元二次方程的求根公式得到。
假設為一元二次方程的根，根據求根公式有：
，
則兩根之和：
兩根之積：
定理得證。
方法三
利用數學證明。
設a>0，b<0，c>0，并且。如下圖，以為斜邊，為一條直角邊作，再以點O為原點，OA所在直線為戈軸建立平面直角坐標系，則點A的坐標為以點A為圓心，線段AB為半徑作，與軸相交于點C和點D。
設點C和點D的坐標分別為和，則，在中，由勾股定理得，化簡得，即是一元二次方程的一個根。
同樣的，，在中，由勾股定理得化簡得，即是一元二次方程的一個根。
顯然點A是線段CD的中點，所以，即：，已知OB是的切線，由切割線定理得，顯然，，所以。
推廣
韋達定理不僅適用于一元二次方程根與系數的關系，還可以描述一元三次以及更高次方程根與系數的關系。
一元三次方程
對于一元三次方程為方程的三個根，則它們滿足以下關系：
首先將進行因式分解：
對比系數可以得到：
證畢。
一元n次方程
更一般的情況，對于一元n次方程為方程的n個根，則它們滿足以下關系：
韋達定理的逆定理
如果有兩個數，它們滿足以下關系：
則為一元二次方程的根。
上述定理稱為韋達定理的逆定理。
證明如下：
首先將改寫為以下形式：
將代入有：
將分別代入上述等式的兩端，可得：
因此，為根，亦同理，定理得證。
應用
在方程中的應用
韋達定理在方程的根的相關問題中具有重要的運用。例如，可以判斷方程的根是否為正解，對于一元二次方程，已知其中一個根，可以快速求出另外一個根。利用韋達定理的逆定理可以從根反推出原方程，或者求解原方程中存在的未知參數等。
例如， 已知一個一元二次方程的兩根分別是 和求出這個方程。
求解過程如下：
構造一元二次方程，由韋達定理有：
故該方程為：
在三角恒等式的應用
應用韋達定理，可以求解三角恒等式中的一些證明和計算問題。
例如，證明以下三角恒等式成立。
證明過程：
根據倍角公式可得式（1）：
如果成立，則式（1）可改寫為以下高次方程，記為式（2）。
其中為式（2）的解，由于式（2）的解的個數為8，也就是存在8個使得上述假設成立，解得：
令，對式（2）進行改寫可得到式（3）：
容易得到式（3）的8個根為：
繼續令，對式（3）進行改寫可得到式（4）：
容易得到式（4）的4個根為：
由韋達定理，4個根之和為三次項系數與四次項系數之比的相反數，據此可得到式（5）：
將待回式（5），原恒等式得證。
在圓錐曲線中的應用
運用代數方法解決幾何問題是解析幾何的核心思想，圓錐曲線問題經常轉化為一元二次方程的求解或證明，因此韋達定理在圓錐曲線中也具有重要的應用。
例如， 在右圖中，橢圓曲線一個焦點為，相對應的準線為，過焦點 的直線交橢圓于 A，B 兩點，C 是圓上的任一點直線 CA，CB 分別與準線交于M，N 兩點，求證以線段 MN 為直徑的圓必過焦點。
證明過程如下：
記，直線AB的方程為，聯立
，可得。
由韋達定理可得：
結合可得，
。
直線CA的方程可表示為：
為了求解點M的坐標，令，代回直線CA的方程可得：
因此點M的坐標為：
同理，點N的坐標為：
則直線FM和FN的方向向量分別為：
結合，可得
，命題得證。
解析幾何中的應用
利用韋達定理，可以求解解析幾何中的一些運用，比如求解直線方程。
如已知直線經過點和求直線的方程。
根據解析幾何的知識，設直線的方程為，則直線經過點A和B可以列出如下兩個方程：
將上述兩個方程聯立，消去參數b，可得:
k=1
將k=1代入其中一個方程，可得b=1。因此，直線的方程為y=x+1。
接下來，我們用韋達定理來驗證一下剛才的結果。由于直線經過點和，因此直線可以寫成這樣的形式：
將上述兩個方程展開后消元，即可得到：
y=x+1，這和之前求得的結果一致。
從上述例子中，我們可以發現，利用韋達定理可以簡單快捷地求解直線的方程，特別是對于已知直線經過某些點的情況，應用韋達定理可以更快速地得到直線的解析表達式。
參考資料 >