對偶空間（Dual Space），是指數(shù)域上某一線性空間上的全體線性函數(shù)按照加法及數(shù)乘運算構(gòu)成的該數(shù)域上的另一個線性空間。
對偶空間思想的萌芽可追溯至20世紀初。1904年，戴維·希爾伯特（David Hilbert）的積分方程工作的第一篇文章“線性分方程的一般理論”中蘊含了有限維空間中的對偶思想，但無限維空間上對偶思想的萌芽和產(chǎn)生是在希爾伯特發(fā)表的積分方程工作的第五篇文章中的代數(shù)化方法才有所體現(xiàn)。而后，匈牙利數(shù)學家里斯（Frigyes Frdric）將希爾伯特的對偶思想以及將積分方程理論深入推進產(chǎn)生了重要的具體的對偶空間，從而為抽象對偶空間理論的形成提供了具體范例。后來，奧地利數(shù)學家黑利、漢斯·哈恩（Hans Hahn）和波蘭數(shù)學家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）等人進一步完善了之前的結(jié)論。1929年，巴拿赫發(fā)表了兩篇題為《關(guān)于線性泛函》的文章，首先建立了對偶算子理論的基礎(chǔ)，并給出了賦范線性空間上連續(xù)線性泛函的明確定義，標志著對偶空間理論正式誕生。
對偶空間具有許多性質(zhì)，如對偶空間與原空間維數(shù)相同。與對偶空間類似的理論為共軛空間，它的元素是線性泛函。對偶空間理論在實際研究中應用廣泛，如在遙感影像領(lǐng)域，可以基于對偶空間進行高分辨率影像道路的提取。
定義
設(shè)是數(shù)域上的線性空間，和是的兩個線性函數(shù)，，定義線性函數(shù)的加法和數(shù)乘如下：，。其中和也是線性函數(shù)，上全體線性函數(shù)按照如上式子的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成數(shù)域上的線性空間稱為的對偶空間，記作。
歷史沿革
對偶空間思想的萌芽
19世紀，代數(shù)學蓬勃發(fā)展，為對偶空間思想的建立奠定了理論基礎(chǔ)。1904年，希爾伯特在其積分方程工作的第一篇文章“線性分方程的一般理論”中求解有限線性方程組時引入內(nèi)積，這一過程已經(jīng)蘊含了有限維空間中的對偶思想，但在該文中，他并沒有直接將這種對偶思想延伸到積分方程所隱含的無限維空間中，他對積分方程的處理依舊是“從有限極限過渡到無限”的方式，直到其第五篇有關(guān)積分方程工作文章的發(fā)表，才擺脫了極限的束縛。
1906年，希爾伯特發(fā)表了積分方程工作的第五篇文章，該文章中探討了上第二型積分方程的求解理論，利用內(nèi)積將其轉(zhuǎn)化為空間上的無窮線性方程組，借用代數(shù)化方法求解分析中的問題。其中代數(shù)化方法是積分方程求解理論的一次突破，他的解決方法體現(xiàn)了無限維空間上對偶思想的萌芽和產(chǎn)生。
具體對偶空間的產(chǎn)生
戴維·希爾伯特在積分方程代數(shù)化的過程中蘊含了對偶的思想，而將希爾伯特的對偶思想以及將積分方程理論深入推進的是匈牙利數(shù)學家里斯（Frigyes Frdric）。在里斯的工作中，建立起積分方程（組）和線性方程組求解問題與相應空間上連續(xù)線性泛函表示問題之間的聯(lián)系，產(chǎn)生了重要的具體的對偶空間，從而為抽象對偶空間理論的形成提供了具體范例。里斯通過求解具體空間上的積分方程或線性方程組給出了，等空間上連續(xù)線性泛函的表示形式，同時還認識到連續(xù)線性泛函的有界性本質(zhì)，并由此給出了上的泛函表示。
里斯在1918年建立了緊算子理論，但是空間對偶空間的建立歸功于波蘭數(shù)學家斯坦豪斯（Steinhaus）。1919年，他發(fā)表了題為《可加連續(xù)的泛函演算》的論文，該文章從級數(shù)的角度給出了空間上連續(xù)線性泛函的表示。
理論的抽象化及建立
后來，奧地利數(shù)學家黑利、漢斯·哈恩（Hans Hahn）和波蘭數(shù)學家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）等人進一步完善了之前的結(jié)論。1921 年黑利發(fā)表了“關(guān)于無窮未知量的線性方程組”一文，他從施密特和里斯關(guān)于無限未知量的無窮線性方程組解存在的問題中得到關(guān)于序列空間上連續(xù)線性泛函的抽象理論。1921年在德國耶拿舉行的一次數(shù)學學會會議上，漢恩匯報了他關(guān)于任何函數(shù)表示為奇異積分極限的工作，德國數(shù)學家舒爾（Issai Schur）向他指出了奇異積分與無窮序列線性變換之間的關(guān)系。1922 年漢恩由此出發(fā)建立了抽象對偶空間的雛形。
最后斯特凡·巴拿赫在此方面工作的嚴格化和完善化促成了抽象對偶空間理論的形成。1929年，巴拿赫發(fā)表了兩篇題為“關(guān)于線性泛函”的文章，以建立對偶算子理論為主，由此首先建立了對偶算子理論的基礎(chǔ)，即對偶空間理論。此外，斯特凡·巴拿赫還首先給出了賦范線性空間上連續(xù)線性泛函的明確定義。
相關(guān)概念
對偶基
設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的一個基，若上的線性函數(shù)滿足 ，則是的基，稱為的對偶基。
線性空間的同構(gòu)
設(shè)與是數(shù)域上的兩個線性空間，是 到的一個雙射，若對于中的任意兩個向量與中的任意數(shù)，則稱為到的同構(gòu)映射，與稱為在映射下同構(gòu)，記為。線性空間的同構(gòu)具有反身性、對稱性和傳遞性。
性質(zhì)
設(shè)是數(shù)域上的維線性空間。
基本性質(zhì)
性質(zhì)1：的對偶空間也是維的。
性質(zhì)2：設(shè)是的一組基，是它的對偶基，則對任意有，即是的第個坐標的值，而對上任意線性函數(shù)，有。
性質(zhì)3：設(shè)及是的兩個基，它們的對偶基分別是及。又設(shè)由基到基的過渡矩陣為，則由到的過渡矩陣為。
運算性質(zhì)
性質(zhì)1：設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，若，則。
性質(zhì)2：若，則。
性質(zhì)3：若，，則。
性質(zhì)4：若，，則則。
同構(gòu)性
設(shè)是數(shù)域上的線性空間，為的對偶空間。取，對任意的，令，則：
（1） 是上的線性函數(shù)；
（2）是的對偶空間的元素；
（3）是到的同構(gòu)映射，即與同構(gòu)。
相關(guān)推廣
對偶拓撲空間
若是對偶空間，在上引入使中的每個元是連續(xù)的最弱拓撲叫上的拓撲，記作。同樣，在上引入使中的每個元是連續(xù)的最弱拓撲叫上的拓撲，記作。稱,為對偶拓撲空間。
對偶不變性
設(shè)是對偶空間，是上的某個命題。若對上某個相容拓撲成立，那么對上一切相容拓撲均成立，則稱為關(guān)于上相容拓撲對偶不變的性質(zhì)，簡稱對偶不變的。
相容拓撲
設(shè)是對偶空間，是上的局部凸拓撲，若，則稱為上關(guān)于的相容拓撲。
相關(guān)定理
定理1：設(shè)是對偶空間，則。
定理2：設(shè)是對偶空間，中集合的有界性是對偶不變的。
定理3：設(shè)是對偶空間，那么的所有相容拓撲具有相同的閉凸集，相同的閉線性子空間，相同的均衡凸吸收閉集。
類似理論
共軛空間
定義在確定的線性賦范空間上的線性連續(xù)（有界）泛函的集合，按泛函的范數(shù)及線性運算（加法和數(shù)乘運算）而成的賦范空間，稱為的共軛空間，記作。
對偶空間的元素是向量，而共軛空間的元素是線性泛函。
應用領(lǐng)域
物理學
對偶空間可廣泛應用于物理學等自然學科中，例如在力學中，常見的對偶空間有力和位移，應力與應變等。此外，還可以應用對偶空間的思想來推導剛體力學中的靜力平衡條件和運動學幾何條件。
計算機科學與技術(shù)
對偶空間在計算機科學與技術(shù)中也具有較為廣泛的應用。對偶空間跟蹤算法是一種集中式算法，需要一個計算中心計算當前需要的跟蹤節(jié)點并向這些節(jié)點發(fā)出指令，只有那些包含映射點的傳感器節(jié)點才需要被激活。對偶空間跟蹤算法需要較少的跟蹤節(jié)點就能完成跟蹤任務(wù)，從而有效地節(jié)省能量。僅通過局部傳感器節(jié)點的協(xié)作很難有效跟蹤大面積目標，通過將偵測目標轉(zhuǎn)換為尋找目標邊界的行進軌跡，可以有效簡化跟蹤目標的難度。利用對偶空間轉(zhuǎn)換，將邊界變換為點，將傳感器節(jié)點轉(zhuǎn)換為直線，能夠有效地確定跟蹤節(jié)點。
遙感影像
對偶空間還可以應用于遙感影像領(lǐng)域，例如可以基于對偶空間的理論進行高分辨率遙感影像道路提取，該算法的主要步驟為通過投影換，分別將直線的灰度級標準差及其邊緣梯度矢量均值映射到直線方程的對偶空間；在對偶空間上，根據(jù)直線的標準差和邊梯度量的峰谷分布規(guī)律檢測道路目標；根據(jù)已檢測的目標位置，用搜索和跟蹤的手段提取連接道路網(wǎng)。
參考資料 >