設V是域F上的(n+1)維向量空間，如果函數σ：V×V→F，滿足條件： σ(ax1+bx2，y)=aσ(x1，y)+bσ(x2，y)，a、b∈F，x1、x2、y∈V， σ(x，ay1+by2)=aσ(x，y1)+bσ(x，y2)，a、b∈F，x、y1、y2∈V，則σ稱為定義在V上的雙線性形式。
基本介紹
設H是Hilbert空間，是自伴算子，令則滿足:
(i)；
(ii)；
(iii)。
(i)和(ii)實際是說，關于第一個變元x是線性的，從(iii)知關于第二個變元y是共軛線性的，即
我們可以利用上述性質給出一個更一般的概念。
定義1設H是Hilbert空間，如果二元映射滿足：
(i)
(ii)
則稱為H上的雙線性形式。
如果條件(ii)代以更強的：
(iii)，則稱為H上共軛的雙線性形式。
如果一個雙線性形式滿足：
(iv) 存在，使則稱為有界雙線性形式。
若雙線性形式滿足：
(v)對任意，則稱為自伴雙線性形式。
如果共軛雙線性形式滿足：
(vi)對所有的，則稱為正定的雙線性形式。
注: 雙線性形式關于后一個變量實際上是共軛線性的，故而有的書上又稱雙線性形式為一次半線性形式。
條件(vi)實際上只是半正定性，因為并不能推出，有時候我們仿照內積的記號，記雙線性形式為。
根據定義，對有界算子是有界的雙線性形式，如果T還是自伴算子或正算子，則還是自伴或正定的。
相關定理
除了Hilbert空間上的有界線性算子誘導的雙線性形式之外，還有沒有其他的雙線性形式？下面我們就來討論這個問題。
定理1
如果是H上的有界雙線性形式，則存在唯一的有界算子T，使
推論
如果是H上的有界共軛(正定)雙線性形式，則存在唯一的自伴(正)算子T，使
定義4 Hilbert空間H上的實函數如果滿足：
(i)
(ii)
(iii) 存在，使，
則稱為H上的有界實二次形式。
由此可見，對有界的共軛雙線性形式，是H上的有界實二次形式，那么H上的任一有界實二次形式是否都是由某個共軛雙線性形式誘導的呢？下面的定理回答了這個問題。
定理2
設是Hilbert空間H上的有界實二次形式，則存在唯一的有界共軛雙線性形式，使
結論
如果是H上有界實二次形式，則存在有界自伴算子T，使。
定理3
如果是H上的正定雙線性形式，則有
特別地，如果T是正算子，則有
上式稱為廣義Schwarz不等式。
參考資料 >