來源：互聯網
閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理。閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。
定理定義
設X，Y為巴拿赫空間，為線性算子。定義T的圖像為的子空間
。
賦予范數使得成為巴拿赫空間。那么，這定理指T是連續的（與有界等價）當且僅當Γ(T)在內是閉集。
驗證推導
閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。
Γ(T)是閉集的充分必要條件是如果序列包含于Γ(T)（即對任意n有），而，那么。如果T是連續的，從連續性立刻可知Γ(T)是閉集，因為連續性是更強的條件：如果，則。
如果Γ(T)是閉集，可以在Γ(T)定義線性算子
π：，x是的一個逆像，
π：，y是的一個逆像。
顯然，因此是有界算子。
Γ(T)是巴拿赫空間中的閉子空間，所以Γ(T)是巴拿赫空間。X也是巴拿赫空間，是雙射，從而由開映射定理的系可知，其逆為有界算子，因為，故T也是有界的。
定理推廣
從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。
泛化
閉圖像定理可以通過以下方式推廣到更抽象的拓撲向量空間：
當且僅當其圖形在配備產品拓撲的空間中被關閉時，從圓筒空間X到Fréchet空間Y的線性運算符是連續的。
并且有一個不需要Y局部凸的版本：
如果兩個F空間之間的線性映射圖被關閉，則映射是連續的。
而閉圖像定理的一般版本是：
假設X和Y是兩個拓撲向量空間（它們不需要是Hausdorff或局部凸起），具有以下屬性：如果G是任何閉合子空間，而y是任何連續映射 的G到X，那么你是一個開放的映射。在這種情況下，如果是一個線性映射，其圖形被關閉，則f是連續的。
參考資料 >