貝爾綱定理是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)和泛函分析中的一個(gè)重要的工具。這個(gè)定理有兩種形式，每一個(gè)都給出了拓?fù)淇臻g是貝爾空間的充分條件。該定理由勒內(nèi)-路易·貝爾在他1899年的博士論文中證明。
定理陳述
一個(gè)貝爾空間是一個(gè)拓?fù)淇臻g，具有以下性質(zhì)：對(duì)于任意可數(shù)個(gè)開(kāi)稠密集Un，它們的交集∩ Un都是稠密的。
（BCT1）每一個(gè)完備度量空間都是貝爾空間。更一般地，每一個(gè)同胚于某個(gè)完備偽度量空間的開(kāi)子集的拓?fù)淇臻g都是貝爾空間。因此每一個(gè)完備可度量化的拓?fù)淇臻g都是貝爾空間。（BCT2）每一個(gè)局部緊豪斯多夫空間都是貝爾空間。其證明類(lèi)似于前一個(gè)陳述；有限交集性質(zhì)取得了完備性扮演的角色。
注意從以上任何一個(gè)命題都不能推出另一個(gè)，因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)不是局部緊的完備度量空間（帶有定義如下的度量的無(wú)理數(shù)），也存在一個(gè)不可度量化的局部緊豪斯多夫空間（不可數(shù)福特空間）。參見(jiàn)以下文獻(xiàn)中的Steen and Seebach。
（BCT3）一個(gè)非空的完備度量空間不是可數(shù)個(gè)無(wú)處稠密集（也就是閉包具有稠密補(bǔ)集的集合）的并集。
這個(gè)表述是BCT1的一個(gè)結(jié)果，有時(shí)更加有用。另外，如果一個(gè)非空的完備度量空間是可數(shù)個(gè)閉集的并集，那么其中一個(gè)閉集具有非空的內(nèi)部。
與選擇公理的關(guān)系
BCT1和BCT2的證明需要選擇公理的某種形式；實(shí)際上，BCT1與選擇公理的一個(gè)較弱的版本——相依選擇公理等價(jià)。
定理應(yīng)用
BCT1可以用來(lái)證明開(kāi)映射定理、閉圖像定理和一致有界原理。
BCT1也表明每一個(gè)沒(méi)有孤立點(diǎn)的完備度量空間都是不可數(shù)的。（如果X是一個(gè)可數(shù)的完備度量空間且沒(méi)有孤立點(diǎn)，那么在X中每一個(gè)單元素集合都是無(wú)處稠密的，因此X在它本身內(nèi)是第一綱）。特別地，這證明了所有實(shí)數(shù)所組成的集合是不可數(shù)的。
BCT1表明以下每一個(gè)都是貝爾空間：
實(shí)數(shù)空間R；無(wú)理數(shù)，其度量定義為d(x, y) = 1 / (n + 1)，其中n是使x和y的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)式不同的第一個(gè)指標(biāo)（這是一個(gè)完備度量空間）；康托爾集。
根據(jù)BCT2，每一個(gè)流形都是貝爾空間，因?yàn)樗蔷植烤o空間，也是豪斯多夫空間。這甚至對(duì)非仿緊（因此不可度量化）的流形如長(zhǎng)直線也是成立的。
參考資料 >