正規子群（英文：Normal subgroup），亦稱不變子群，是一類在共軛作用下不變的重要子群。設H是群G的一個子群，若對于任意的x∈G，有Hx=xH，則稱H是G的一個正規子群。
正規子群是群論中的一個重要概念，它的研究和發展歷史與群論的發展緊密相關。法國數學家（évariste Galois）為解決五次以上方程的根提出了“置換群”的概念，奠定了現代群論的基礎。1831年，伽羅瓦研究置換群時發現了左陪集和右陪集的分解，對于左陪集等于右陪集的情況，他稱為真分解，現在稱為正規子群。19世紀中葉，阿瑟·凱萊（Arthur Cayley）首先給出了群的公理化定義。到了20世紀，正規子群發展出多個推廣的概念。比如，1962年，Gaschütz引入了CAP—子群（亦稱覆蓋-遠離子群）的概念。1996年，王燕鳴引入了正規概念的另一種推廣c#—正規子群的概念。
正規子群具有不傳遞性，且正規子群與同余一一對應。正規子群中有平凡正規子群、極大正規子群和極小正規子群等類。正規子群在數學、機器人和物理學等領域有著廣泛的應用，如在機器人運動的約束中，兩個通過低副機構相連的物體的運動是歐氏群的正規子群。學者張霞和趙顯貴主編的《近世代數基礎》中評價，正規子群可能是群論中最具影響力的創新思想之一，I.N.Herstein評價正規子群是對埃瓦里斯特·伽羅瓦天賦的致敬，他意識到左右陪集相等的子群是與眾不同的。
定義
子群是群的特殊的非空子集，正規子群，亦稱不變子群，是一類在共軛作用下不變的重要子群。設是群的一個子群，若對任意的有，則稱是的一個正規子群，記為此時左陪集和右陪集簡稱為陪集。
設是群的子群，則是的正規子群的充分必要條件是：對任意都有
正規子群的判定方法如下：
（1）對任意的都有
（2）對任意的都有
（3）對任意的都有
（4）對任意的都有
性質
正規子群有以下性質：
簡史
正規子群是群論中的一個重要概念，它的研究和發展歷史與群論的發展緊密相關。法國數學家（évariste Galois）為解決五次以上方程的根提出了“置換群”的概念，奠定了現代群論的基礎。1831年，伽羅瓦研究置換群時發現了左陪集和右陪集的分解，對于左陪集等于右陪集的情況，他稱為真分解，現在稱為正規子群。而且伽羅瓦利用根的置換群的正規子群，以及由正規子群確定的商群的思想證明了多項式方程的可解性問題。19世紀中葉，阿瑟·凱萊（Arthur Cayley）首先給出了群的公理化定義。到了20世紀，正規子群發展了多個推廣的概念。比如，1962年，Gaschütz引入了CAP—子群（亦稱覆蓋－遠離子群）的概念。1996年，王燕鳴引入了正規概念的另一種推廣—ｃ＃正規子群的概念。
分類
平凡正規子群
一個任意群和是的兩個正規子群，稱為的平凡正規子群。
極小正規子群
極小正規子群是一種特殊的正規子群，指群的非平凡正規子群中的極小者。
極大正規子群
極大正規子群是一種特殊的正規子群，指群的非平凡正規子群中的極大者。群的一個正規子群稱為的極大正規子群，若滿足條件：
1.
2.若是的一個正規子群，則有或者
類似地，群的一個正規子群稱為的極小正規子群，若滿足條件：
1.
2.若是的一個正規子群，則有或
最大的正規子群常記為最大的由元素組成的正規子群常記為它們分別稱為極大正規子群和極大正規子群。
正規閉包
正規閉包是一種特殊的正規子群，群中包含某個子集的最小正規子群。
設是群，是的非空子集，稱為在中的正規閉包，是的包含的最小的正規子群。
群的子集的核
群的子集的核，簡稱核，是一種特殊的正規子群，含于子集中群的最大的正規子群。
設是群的子集，的含于中的諸正規子群生成的子群稱為的核，記為.
若不含的正規子群，則規定特別當為的子群時，
特征子群
特征子群是一類特殊的正規子群，指在群的自同構作用下不變的子群。
設是群的一個子群，若在群的任意一個自同構作用下不變，即對任意的，則稱是的特征子群，常記為又若在的任一自同態下的像仍屬于，則稱為的全不變子群。全不變子群是特征子群，特征子群是正規子群；但反之不一定對。例如，群的中心是的特征子群，但通常不是的全不變子群。
模糊正規子群
設為的模糊子群，若對任意的則稱為的一個模糊正規子群。為的一個模糊正規子群的充分必要條件是對任意的
相關定理
群的同構定理
第一同構定理
第一同構定理是群論的基本定理之一，應用同態基本定理得到的一個重要的同構定理。
設是群到群的一個滿同態，是的一個正規子群。若（在中的原像），則且此即群的第一同構定理。
第二同構定理
第二同構定理是群論的基本定理之一，應用第一同構定理得到的一個用途更廣的同構定理。
若是群的正規子群，是的子群，則是群的含的子群，是的正規子群，且在映射下，此即群的第二同構定理。
第三同構定理
若是群的正規子群，此即群的第三同構定理。
同態基本定理
同態基本定理，有關同態映射的定理，是群論的基本定理之一。
若是群到群的一個滿同態，則的同態核是的正規子群.并且從到有唯一的同構映射，使得其中是從到上的自然同態。
相關概念
擬正規子群
擬正規子群是一類特殊子群，即與群的任一子群可換的子群。正規子群必為擬正規子群，但反之不成立。
商群
商群亦稱因子群，又稱模的剩余類群，是由正規子群的陪集組成的一種群。
設是群的一個正規子群，關于的所有左陪集所成的集合按照如下的乘法：成為一個群，稱為關于的商群。由于是正規子群，所以也是的右陪集所成的集合，因此，無論用左陪集還是右陪集來定義商群，結果是一致的。當是加法群時，也常寫成稱為差群。
自然同態
自然同態亦稱標準同態或典范同態，群到其商群上的一種特殊同態。
若是群的一個正規子群，則存在到商群上的一個映射這個映射是到的滿同態，稱為自然同態，其中
單群
單群是指不含非平凡正規子群的群。若群且除及本身外不再含其他的正規子群，則稱為單群。若此時還是有限群，則稱為有限單群。有限單群的例子有：素數階群，交錯群
交換群
交換群是一種重要的群類，因尼爾斯·亨利克·阿貝爾(Abel,N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。對于群中任意二元一般地，若群的運算滿足交換律，即對任意的都有則稱為交換群。交換群的運算常用加法來表示，此時群的單位元用(零元)表示，的逆元記為用加法表示的交換群稱為加法群或加群。
哈密頓群和戴德金群
哈密頓群是一類非交換群。若不是交換群，的每個子群都是正規子群，則稱為哈密頓群。哈密頓群是四元數群、每個元素的階都是奇數的交換群以及方次數為的交換群這三個群的直積。其中四元數群
一般地，若一個群的任何子群都是正規子群，稱為戴德金群。
歐幾里得群和平移群
設為實三維歐氏空間，尋找上保持任意兩點之間距離不變的變換即稱為等距變換。所有這些變換形成一個集合.若定義集合中的乘法為相繼進行等距變換，則容易證明是一個群，稱為三維空間中的歐幾里得群。
在的元素中最簡單的群元是平移即在作用下，中每一點移動所有的平移算符構成的一個子群稱為平移群。因為因此平移群是交換群，顯然
求解方法
在教學實踐中，只通過定義來求或是的子群的正規子群很困難。有一種常用的求解方法是：
例：求的正規子群。
解：易知中有24個元素，假設是的正規子群，由拉格朗日定理可知，的階數是24的因子，下面來確定的共軛類。數字4有以下5種劃分：
（a）對應置換的型函數是對應共軛類的代表元是共軛類中有1個元素；
（b）對應置換的型函數是對應共軛類的代表元是共軛類中有6個元素；
（c）對應置換的型函數是對應共軛類的代表元是共軛類中有3個元素；
（d）對應置換的型函數是對應共軛類的代表元是共軛類中有8個元素；
（e）對應置換的型函數是對應共軛類的代表元是共軛類中有6個元素；
顯然，單位元群和是的平凡的正規子群。（a），（c）和（d）的并集恰好是4次交錯群因而是的正規子群。根據拉格朗日定理，的另一種可能性是（a）和（d）的并集，即：可以驗證這是一個同構于的交換群。故其為的一個非平凡的正規子群。
推廣
廣義模糊正規子群
定義：設是群的一個廣義模糊子群，且若滿足則稱為的廣義模糊正規子群。
定理：設為的模糊子集，則為的模糊子群，當且僅當非空集為的子群。
設為的廣義模糊子群，且則為廣義模糊正規子群，當且僅當非空集為的正規子群。
證明：由定理可知及是的子群，又因為所以于是是的子群。
故是的正規子群。
假設使得
選取滿足
則且
即因為為的正規子群，
所以矛盾，
所以.故為廣義模糊正規子群。
應用
數學
子群完備碼
凱萊圖中完備碼問題在一些實際問題中有著重要的應用，例如在并行計算路線問題的設計和一些特殊的網絡傳輸系統（圓環、環面以及超立方體等）的設計中。而學者張星等人從群論角度給出了子群可作為完備碼的充要條件，得出奇數階群的正規子群，奇數階的以及指數為奇數的正規子群均可作為凱萊圖的完備碼。
設是一個有限群，是群的一個正規子群，則是的凱萊圖的完備碼。當且僅當對每個且
存在某個使得成立。 因此，奇數階的正規子群可作為完備碼；
設是一個群且是群的一個正規子群。滿足條件當且僅當包含了的所有的Sylow2-子群。一個正規子群包含所有的Sylow2-子群當且僅當它在群中的指數是奇數。因此，指數為奇數的正規子群可作為凱萊圖的完備碼。
機器人
在機器人領域，群論最初主要應用在機器人運動學的研究中，隨著研究的進一步深入，機器人的裝配標定和控制等都用到群論中正規子群的相關概念；機器人的位置無論是用向量表示還是用旋量表示，或以四元數、雙四元數等其他形式表示，其運動變換可以看作是群的運算。除運動變換外，群還可以用來表示機器人運動的約束，其中兩個通過低副機構相連的物體的運動是歐氏群的正規子群。
物理學
群論是數學中的一個高度抽象的分支，具有較強的概括性，用它來描述剛體運動簡潔明了。剛體運動群中的元素是而且只能是平移與旋轉，剛體也可以看作螺旋運動，但螺旋運動是由旋轉與平移合成的。剛體兩平移之積為一平移，即且一平移之逆仍為一平移故一切平移之集合又是剛體運動群的一個子群。另外，因為
故平移群又是交換群，即：平移群是位移群的正規子群，因之，是剛體運動群的正規子群。
參考資料 >
Wolfgang Gaschütz.Biography.2024-01-27