有限單群是指對于一個有限群G，當(dāng)g為群G的任意元素，用g來左乘（例如若對A，就意味著gA）每一個元素的結(jié)果組成的集合與用g右乘（如Ag）每一個元素的結(jié)果組成的集合總是相同的，那么稱這個有限群G是正規(guī)的。假如對一個已知有限群G的所有子群，只有它本身與不變?nèi)海ㄖ挥袉挝辉氐娜海┦钦?guī)的，那么稱它是一個有限單群。
分類
素數(shù)p階循環(huán)群Zp
素數(shù)p階循環(huán)群Zp，它包括了所有的交換單群。
交錯群
n個文字的所有偶置換構(gòu)成的交錯群An，當(dāng)n≥5時是非交換單群。
李型單群和李型群
李型群是復(fù)數(shù)域上單李群在有限域上的相似物，不全是單群。它包括有限域上某些典型群、例外群和扭群。前兩者也稱為謝瓦萊群，共有9個族，它們的記號是Aq),n≥1；Bq),n>1；Cnq)，n>2;Dnq),n>3;G2q)；F4q);E6q);E7(q);E8q)。這q=pm，p是素數(shù)。以下的q也有此意義。除了A1(2)、A1(3)、 B2(2)、G2(2)外，這些群對其中心的商群都是有限單群。這些群中的大部分，E.埃瓦里斯特·伽羅瓦、C.若爾當(dāng)、L.E.迪克森等已早有研究。直到1955年，C.謝瓦萊對任意有限域GFq)構(gòu)造出復(fù)數(shù)域上單李群的相似物，用統(tǒng)一的方法證明了這些群的存在性、單純性和其他性質(zhì)。扭群共七族，它們是2An(),n>1；2B2(),=2；2Dn()，n>3；3D4(q)；2G2()，=3；2F4(),=2;2E6()。除了2A2(2)、2B2(2)、2G2(3)、2F4(2)外，它們都是單群。而2F4(2)的換位子群(2F4(2))┡還是不在以上幾族中的一個特殊單群。利用謝瓦萊群的圖自同構(gòu)和域自同構(gòu)可以統(tǒng)一地得到所有扭群，如R.施坦伯格、鈴木通夫、R.雷和J.蒂茨等人的工作。在以上群中An()、Bn()、Cn()、2An()分別同構(gòu)于GF()上的典型群PSLn+1()、PΩ2n+1()、PSP2n()和PSUn()。而Dn()和2Dn()分別同構(gòu)于和（對每個 有兩族2n維的正交群，以“+”和“-”兩個符號來區(qū)別）。謝瓦萊群中的G2()、F()、E6()、E7()、E8()則是例外群。
零散單群
凡不屬于以上三類的有限單群, 稱為零散單群，共有26個。é.L.馬蒂厄于1860年和1873年先后得到5個多重傳遞置換群M11(4重)、M12(5重)、M22(3重)、M23(4重)和M24(5重)，它們都是零散單群。一百年之后，Z.簡科于1965年才發(fā)現(xiàn)了另一個新的零散單群，記為J1。爾后陸續(xù)地發(fā)現(xiàn)了所有的零散單群，仿照前者，一般以重要發(fā)現(xiàn)者的姓的前面字母來記各零散單群，若同一人發(fā)現(xiàn)多于一個這樣的群時則加上數(shù)字的下標(biāo)，它們是最大的零散單群為F1，名為怪物群或魔群，它的階為2^46·3^20·5^9·7^6·11^2·13^3·17·19·23·29·31·41·47·59·71,約為10^54。G.格里斯用手算，從47·59·71=196883維的線性表示而得到一級方程式錦標(biāo)賽。它有著良好的內(nèi)在的幾何結(jié)構(gòu)，并且有20個左右的零散單群作為它的子群，所以并不是什么怪物，G.格里斯改稱它為“友好巨人”。
研究方法
研究有限單群的一般方法，可非常概括地歸結(jié)為以下幾種：
-模特征標(biāo)論和特殊特征標(biāo)論方法，前者為R.（D.）理查德·布饒爾所創(chuàng)，后者為布饒爾和鈴木通夫所創(chuàng)。
-p局部子群分析法。它是由J.G.湯普森等人建立和發(fā)展起來的研究非單位p子群的正規(guī)化子的方法。
-幾何分析法及其發(fā)展。此法是由B.費(fèi)希爾和M.阿施布歇爾等所創(chuàng)。
完全分類
有限單群的完全分類問題是數(shù)學(xué)史上的一項重大成就，經(jīng)過全球上百名數(shù)學(xué)家大約四十年的努力，最終在1981年得到了解決。這一分類的論證過程涉及5000頁以上的文獻(xiàn)，分布在超過300篇文章中，使用了許多新的群論概念和大量的定理。歷史上的一些重要進(jìn)展包括W.伯恩賽德關(guān)于pαqъ階群(p、是素數(shù))必是可解群的定理，這是早期重要的工作之一。布饒爾開創(chuàng)性的模特征標(biāo)理論和J.G.湯普森等人發(fā)展的p局部子群分析法，都對有限單群分類產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。1972年，D.戈朗斯坦提出了有限單群分類方案，指導(dǎo)了后續(xù)的工作。有限單群分類問題的解決對相關(guān)領(lǐng)域的問題產(chǎn)生了巨大影響，如O.施賴埃爾猜想有限單群的外自同構(gòu)群是可解的，以及其他問題的解決。目前，研究人員正在進(jìn)行多項研究，包括整理和簡化有限單群分類問題的全部論證，探索F1和模函數(shù)的關(guān)系，以及將分類結(jié)果應(yīng)用于解決其他數(shù)學(xué)問題。
參考資料 >
有限單群分類定理的萬頁證明.世界科學(xué).2024-11-11
最難理解的數(shù)學(xué)證明-有限單群分類定理.搜狐網(wǎng).2024-11-11
抽象代數(shù) 04.04 有限單群.CSDN博客.2024-11-11