商群，數(shù)學(xué)術(shù)語，是離散數(shù)學(xué)里的一個(gè)概念，常見于高等數(shù)學(xué)之中。
基本簡(jiǎn)介
群的子集的乘積
憑借這個(gè)運(yùn)算我們可以首先解釋商群是什么，并接著解釋正規(guī)子群是什么:
群 G 的商群是其自身在這個(gè)運(yùn)算下的群 G 的劃分。
它完全由包含 e 的子集所確定。G 的正規(guī)子群是在任何這種劃分中包含 e 的集合。在劃分中的子集是這個(gè)正規(guī)子群的陪集。
群 G 的子群 N 是正規(guī)子群，當(dāng)且僅當(dāng)陪集等式 對(duì)于所有 G 中的 a 都成立。依據(jù)上述定義的在子集上的二元運(yùn)算，G 的正規(guī)其群是交換于 G 的所有子集的子群，并指示為 。置換于 G 的所有子群的子群叫做可置換子群。
定義
設(shè) N 是群 G 的正規(guī)子群。我們定義集合 是 N 在 G 中的所有左陪集的集合，就是說。在 上的群運(yùn)算定義如上。換句話說，對(duì)于每個(gè) 中 aN 和 bN，aN 和 bN 的乘積是 。這個(gè)運(yùn)算是閉合的，因?yàn)閷?shí)際上是左陪集:
。
N 的正規(guī)性被用在了這個(gè)等式中。因?yàn)?N 的正規(guī)性，N 在 G 中的左陪集和右陪集是相等的，所以 也可以定義為 N 在 G 中所有的右陪集的集合。因?yàn)檫\(yùn)算是從 G 的子集的乘積得出的，這個(gè)運(yùn)算是良好定義的(不依賴于表示的特定選擇)，符合結(jié)合律的，并有單位元 N。 的元素 aN 的逆元是。
定義的動(dòng)機(jī)
叫做商群的理由來自整數(shù)的除法。在 12 除以 3 的時(shí)候得到答案 4 是因?yàn)槲覀兛梢园?12 個(gè)對(duì)象重現(xiàn)分組為 3 個(gè)對(duì)象的 4 個(gè)子搜集。商群出于同樣想法，但用一個(gè)群作為最終答案而非一個(gè)數(shù)，因?yàn)槿阂葘?duì)象的隨機(jī)搜集要更有結(jié)構(gòu)。
更細(xì)致的說，在查看 而 N 是 G 的正規(guī)子群的時(shí)候，這個(gè)群結(jié)構(gòu)形成一種自然“重新分組”。它們是 N 在 G 中陪集。因?yàn)槲覀儚囊粋€(gè)群和正規(guī)子群得到的最終的商包含比只是陪集的(正常除法所產(chǎn)生的)數(shù)目要更多的信息，這里得到了一個(gè)群結(jié)構(gòu)自身。
例子
考慮整數(shù)集 Z (在加法下)的群和所有偶數(shù)構(gòu)成的子群 2Z。這是個(gè)正規(guī)子群，因?yàn)?Z 是尼爾斯·阿貝爾群。只有兩個(gè)陪集: 偶數(shù)的集合和奇數(shù)的集合；因此商群 是兩個(gè)元素的循環(huán)群。這個(gè)商群同構(gòu)于集合 帶有模 2 加法運(yùn)算的群；非正式的說，有時(shí)稱 等于集合 帶有模 2 加法。
上個(gè)例子的稍微一般化。再次考慮整數(shù)集 Z 在加法下的群。設(shè) n 是任何正整數(shù)。我們考慮由 n 的所有倍數(shù)構(gòu)成的 Z 的子群 nZ。nZ 在 Z 中還是正規(guī)子群因?yàn)?Z 是阿貝爾群。陪集們是搜集。整數(shù) k 屬于陪集，這里的 r 是 k 除以 n 的馀數(shù)。商 可以被認(rèn)為模以 n 的“馀數(shù)”的群。這是個(gè) n 階循環(huán)群。
N 在 G 中的陪集考慮復(fù)數(shù)十二次單位一的根的乘法尼爾斯·阿貝爾群 G，它們是在單位圓上的點(diǎn)，它們?cè)谟覉D中展示為著色的球并在每點(diǎn)上用數(shù)標(biāo)記出它們的幅角。考慮它由單位一的四次根構(gòu)成的子群 N，在圖中表示為紅色球。這個(gè)正規(guī)子群把群分解為三個(gè)陪集，分別表示為紅色、綠色和藍(lán)色。你可以驗(yàn)證這些陪集形成了三個(gè)元素的群(紅色元素和藍(lán)色元素的乘積是藍(lán)色元素，藍(lán)色元素的逆元是綠色元素等等)。因此商群 是三種顏色元素的群，它又是三個(gè)元素的循環(huán)群。
考慮實(shí)數(shù)集 R 在加法下的群，和整數(shù)集子群 Z。Z 在 R 中的陪集們是形如 a + Z 的所有集合，這里 是實(shí)數(shù)。這種陪集的加法是通過做相應(yīng)的實(shí)數(shù)的加法，并在結(jié)果大于或等于 1 的時(shí)候減去 1 完成的。商群 同構(gòu)于圓群 S1，它是絕對(duì)值為 1 的復(fù)數(shù)在乘法下的群，或者說關(guān)于原點(diǎn)的二維旋轉(zhuǎn)的群，也就是特殊正交群 。有一個(gè)同構(gòu)給出為(參見歐拉恒等式)。
如果 G 是可逆的實(shí)數(shù)矩陣的群，而 N 是帶有行列式為 1 的 實(shí)數(shù)矩陣的子群，那么 N 在 G 中是正規(guī)子群(因?yàn)樗切辛惺酵瑧B(tài)的核)。N 的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們，因此 同構(gòu)于非零實(shí)數(shù)的乘法群。
考慮阿貝爾群 (也就是集合帶有加法模 4)，和它的子群。商群 是。這是帶有單位元的群，群運(yùn)算如。子群 和商群 同構(gòu)于 Z2。
考慮乘法群。第 n 個(gè)馀數(shù)的集合 N 是 的階乘法子群。則 N 在 G 中是正規(guī)子群并且因子群 有陪集 N, 。 Pallier加密系統(tǒng)基于了在不知道 n 的因子分解的時(shí)候難于確定 G 的隨機(jī)元素的陪集的猜想。
性質(zhì)
商群同構(gòu)于平凡群(只有一個(gè)元素的群)，而 G / 同構(gòu)于 G。
的階定義為等于，它是 N 在 G 中的子群的指標(biāo)(index)。如果 G 是有限的，這個(gè)指標(biāo)還等于 G 的階除以 N 的階。注意 可以在 G 和 N 二者是無限的時(shí)候是有限的(比如 )。
有一個(gè)“自然”滿射群同態(tài) ，把每個(gè) G 的元素 g 映射到 g 所屬于的 N 的陪集上，也就是。映射 π 有時(shí)叫做“ G 到 上的規(guī)范投影”。它的核是 N。
在包含 N 的 G 的子群和 的子群之間有一個(gè)雙射映射；如果 H 是包含 N 的 G 的子群，則對(duì)應(yīng)的 的子群是 π(H)。這個(gè)映射對(duì)于 G 的正規(guī)子群和 也成立，并在格定理中形式化。
商群的一些重要性質(zhì)記錄在同態(tài)基本定理和同構(gòu)基本定理中。
如果 G 是阿貝爾群、冪零群或可解群，則 也是。
如果 G 是循環(huán)群或有限生成群，則 也是。
如果 N 被包含在 G 的中心內(nèi)，則 G 也叫做這個(gè)商群的中心擴(kuò)張。
如果 H 是在有限群 G 中的子群，并且 H 的階是 G 的階的一半，則 H 保證是正規(guī)子群，因此 存在并同構(gòu)于 。這個(gè)結(jié)果還可以陳述為“任何指標(biāo)為 2 的子群都是正規(guī)子群”，并且它的這種形式還適用于無限群。
所有群都同構(gòu)于一個(gè)自由群的商。
有時(shí)但非必然的，群 G 可以從 和 N 重構(gòu)為一個(gè)直積或半直積。判定何時(shí)成立的問題叫做擴(kuò)張問題。不成立的一個(gè)例子如下。同構(gòu)于 ，并且還同構(gòu)于，但是唯一的半直積是直積，因?yàn)? 只有一個(gè)平凡的自同構(gòu)。所以 不同于，它不能被重構(gòu)。
參見
商環(huán)，也叫做因子環(huán)
群擴(kuò)張
格定理
商范疇
短正合序列
參考資料 >