同構基本定理，即同態基本定理，由艾米·諾特提出。包含三個定理，在泛代數領域有廣泛的應用，證明了一些自然同構的存在性。
來源出處
同構基本定理最早由埃米·諾特（Emmy Noether）在她于1927在德國數學期刊數學分析（Mathematische Annalen）發表的論文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenk?rpern中明確闡述。
定義定理
群同態定理
我們首先敘述群論中的同態基本定理，他們的形式相對簡單，卻表達了商群的重要性質。定理的敘述中用到了關于正規子群的等價類概念。
第一基本定理
敘述：如果f是群G到群H的一個群同態，則
f的核(kernel)K是G的正規子群；商群G/K群同構于f的像（image）;f的像是H的子群。數學表達
G,H是群是群同態則是H的子群。群同態第二基本定理（或稱群同態第三基本定理）敘述：如果H和K是群G的子群，H是K的正規化子的子群，則
H與K的乘積HK是G的子群；K是HK的正規子群，H∩K是H的正規子群；HK/K同構于H/(H∩K)。數學表達
H,K是G的子群H是的子群則HK是G的子群群同態第三基本定理或稱群同態第二基本定理）敘述：如果M、N是G的正規子群，M屬于N，那么
M是N的正規子群;N/M是G/M的正規子群；(G/M)/(N/M)同構于G/N。數學表達
則
環和模上形式
將定理中的“群”換為“R-模”，將“正規子群”換為“子模”，就得到對于確定的環R上的模的同構基本定理，（因此同構基本定理對于確定的域上的向量空間也成立）對于向量空間，同構第一基本定理即是秩-零化度定理。將定理中的“群”換為“環”，“子群”換為“子環”，“正規子群”換為“理想”，“商群”換為“商環”就得到環的同構基本定理。與子群的乘積HK相對應的定義是子模，子環，子空間的并，用H+K而不再用HK表示。具體的定義是：
定理推廣
廣泛代數中，正規子群被推廣為更廣泛的共軛類的概念。
設A是一個代數結構，A的一個同余類是A上的一個等價關系Φ，可看作是AxA上的子代數。等價類A/Φ的集合在定義了適合的運算法則后，便可成為與A同類型的代數結構。
第一同構定理
設A和B是兩個代數結構，f是A到B的態射，則A等價關系Φ：a~b當且僅當f(a)=f(b)是A上的一個同余類，并且A/Φ同構于f的像（B的子代數）。
第二同構定理
設B是A的子代數，Φ是A上的同余類。令[B]Φ是所有包含B種元素的同余類的集合，它是A/Φ的一個子集；ΦB是Φ限制在BxB上的部分。那么[B]Φ是A/Φ的子代數結構，ΦB是B上的同余類，并且[B]Φ同構于B/ΦB。
第三同構定理
設A是一個代數結構，Φ和Ψ是A上的兩個同余關系，Ψ包含于Φ。則Φ定義了A/Ψ上的一個同余類Θ：[a]~[b]當且僅當a與b關于Φ同余（[a]表示a所在的Ψ-等價類），并且A/Φ同構于(A/Ψ)/Θ。
參考資料 >