在數(shù)學(xué)中，一般線性群是指基域K上n×n 可逆矩陣全體組成的矩陣乘法群。在任何域 F或環(huán) R上的 n 次一般線性群是帶有來(lái)自 F（或 R）的元素的 n×n 可逆矩陣的群，帶有矩陣乘法作為群運(yùn)算。典型符號(hào)是 GLn(F)或 GL(n, F)，如果域是自明的也可簡(jiǎn)寫為 GL(n)。
簡(jiǎn)介
如果V是在域F上的向量空間，V的一般線性群，寫為或，是V的所有自同構(gòu)的群，就是說(shuō)所有自同構(gòu)的集合，和與之一起的函數(shù)復(fù)合作為群運(yùn)算。如果V有有限維n，則和是同構(gòu)的。這個(gè)同構(gòu)不是規(guī)范的；它依賴于在V中基的選擇。給定V的一組基 和中自同構(gòu)T，則
對(duì)于某些F中的常量；對(duì)應(yīng)于T的矩陣就是由作為元素的矩陣。
以類似的方式，對(duì)于交換環(huán)R群可以被解釋為n秩的自由R-模的自同構(gòu)的群。還可以對(duì)任何模定義，但是這一般不同構(gòu)于（對(duì)于任何n）。
定義
一般線性群亦稱全線性群。一類重要的典型群。若V是體K上n維右線性空間，則V上全體可逆線性變換在映射的乘法下構(gòu)成一個(gè)群，稱為V上的一般線性群或全線性群，記為。體K上全體可逆方陣在矩陣乘法下構(gòu)成一個(gè)群，稱為K上n次一般線性群，記為或。取定V在K上任一組基后可將每個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣，從而得到到上的一個(gè)同構(gòu)。在這個(gè)意義下，可以將與等同起來(lái)。
群
群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來(lái)建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。
設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，;
(2)結(jié)合律，即;
(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得，，則稱G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群；時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來(lái)定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類。可以說(shuō)，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。
1770年，約瑟夫·拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱，是埃瓦里斯特·伽羅瓦在1830年首先提出的。
典型群
典型群是一類重要的群。一般線性群、酉群、辛群、正交群，以及它們的換位子群、對(duì)中心的商群等統(tǒng)稱為典型群。實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的典型群是李群的重要例子，它們的構(gòu)造及表示在李群理論、幾何學(xué)、多復(fù)變函數(shù)論以至物理學(xué)中都起著重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通過(guò)對(duì)有限域上典型群的構(gòu)造的研究得到了一大批有限單群。這是繼交錯(cuò)群之后人們發(fā)現(xiàn)的又一批重要的有限單群系列。經(jīng)過(guò)謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進(jìn)一步擴(kuò)展為有限李型單群的系列后，為有限單群分類的最后完成奠定了一個(gè)重要基礎(chǔ)。迪厄多內(nèi)(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過(guò)研究任意體上的典型群的構(gòu)造也得到了大量的單群。迪厄多內(nèi)、施賴埃爾(Schreier，O.)、范·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬(wàn)哲先等對(duì)研究典型群的構(gòu)造、自同構(gòu)及同構(gòu)作出了重要貢獻(xiàn)。
相似群
酉群
酉群是一類重要的典型群。在復(fù)數(shù)域的特殊情形，全體酉方陣在矩陣乘法下構(gòu)成的群稱為n次酉群，記為U(n)。一般地，設(shè)K是帶有對(duì)合的體，V是K上n維列向量空間，是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這里且。若使對(duì)所有的成立，則稱A是關(guān)于f的酉變換。關(guān)于f的全體酉變換組成的一個(gè)子群，稱為關(guān)于f的酉群，記為。從矩陣的觀點(diǎn)看，。當(dāng)f是交錯(cuò)雙線性型時(shí)就是辛群;當(dāng)K的特征≠2且f是對(duì)稱雙線性型時(shí)就是正交群;當(dāng)K是復(fù)數(shù)域，J是復(fù)共軛，時(shí)，酉群就是酉群U(n)。
辛群
辛群是一類重要的群。辛空間的自同構(gòu)群。設(shè)是一辛空間，若是線性同構(gòu)且滿足，，則稱φ為的一個(gè)自同構(gòu).的自同構(gòu)全體構(gòu)成群的一個(gè)子群，記為。特別地，標(biāo)準(zhǔn)辛空間(K，ω)的自同構(gòu)群記為。若(實(shí)數(shù)域)，則把簡(jiǎn)記為并稱它為2n維辛群。
正交群
正交群是一類重要的典型群。在實(shí)數(shù)域的特殊情形，全體正交方陣在矩陣乘法下構(gòu)成的群稱為n次正交群，記為O(n)。一般地，設(shè)V是域K上n維列向量空間，是V上的非退化二次型(A是K上某個(gè)矩陣)，若使對(duì)所有的成立，則稱g是關(guān)于Q的正交變換。關(guān)于Q的全體正交變換在映射乘法下構(gòu)成一個(gè)群，稱為關(guān)于Q的正交群，記為.當(dāng)K的特征≠2時(shí)，V上每個(gè)非退化對(duì)稱雙線性型f也決定一個(gè)正交群：
其中.當(dāng)K是實(shí)數(shù)域，Q是單位二次型時(shí)的正交群就是O(n)。
參考資料 >