數(shù)學結(jié)構(gòu)(mathematical structure)也稱關(guān)系結(jié)構(gòu)，簡稱結(jié)構(gòu)，是現(xiàn)代數(shù)學的一個基本概念，各種數(shù)學對象的統(tǒng)稱。
歷史
在1939年，法國的筆名是尼古拉斯·布爾巴基（Nicolas Bourbaki），它將結(jié)構(gòu)作為數(shù)學的根源。他們首先提到他們在“集體”的理論的集合，并將其擴展到1957年版的第四章。他們確定了三個母體結(jié)構(gòu)：代數(shù)，拓撲和秩序。
定義
在數(shù)學中，一個集合上的結(jié)構(gòu)，或者更一般的講類型，是由附加在該集合上的數(shù)學對象所組成，它們使得這個集合更易操作或賦予它們特殊的意義。
常見的結(jié)構(gòu)包括測度，代數(shù)結(jié)構(gòu)，拓撲，度量結(jié)構(gòu)（幾何），序，和等價關(guān)系等等。
有時候，一個集合同時有幾種結(jié)構(gòu)；這使得可研究的屬性更豐富。例如，序可以導出一種拓撲。又如，如果一個集合有個拓撲并是一個群，而且這兩個結(jié)構(gòu)滿足一定關(guān)系，則該集合成為一個拓撲群。
保留結(jié)構(gòu)的集合之間的映射在許多數(shù)學領(lǐng)域是特別感興趣的。比如保持代數(shù)結(jié)構(gòu)的同態(tài)；保持拓撲結(jié)構(gòu)的同胚；和差異結(jié)構(gòu)保留差異結(jié)構(gòu)。
例子
實數(shù)集有幾個標準結(jié)構(gòu)：
??序：任意兩個數(shù)都可以比較大小，即全序。
??代數(shù)結(jié)構(gòu)：乘法和加法使其成為一個域。
??測度：實直線上的區(qū)間有長度。
??幾何：它有一個度量，并且是平直的。
??拓撲：數(shù)和另外一個數(shù)有遠近關(guān)系。
這些關(guān)系互相關(guān)聯(lián)：
??序和度量分別導出它的拓撲。
??序和代數(shù)結(jié)構(gòu)使它成為有序域。
??代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓撲使它成為李群（一種拓撲群）。
分類
它是對于各種數(shù)學對象，例如，有序集、線性空間、群、環(huán)、拓撲空間、流形等，用集合和關(guān)系的語言給出的統(tǒng)一形式。結(jié)構(gòu)由若干集合，定義在集合上或集合間的一些關(guān)系，以及一組作為條件的公理組成。隨著數(shù)學的發(fā)展，不斷出現(xiàn)許多新的數(shù)學分支，這些分支有其各自的研究對象，獨特的方法，獨自的語言。另一方面，數(shù)學不同領(lǐng)域的方法和思想的互相滲透，建立了現(xiàn)代數(shù)學的共同邏輯基礎(chǔ)(數(shù)理邏輯)、共同的基本概念(集合)和共同的方法(公理化方法).法國布爾巴基學派采用全局觀點，著重分析各個數(shù)學分支之間的結(jié)構(gòu)差異和內(nèi)在聯(lián)系，他們認為數(shù)學的基本結(jié)構(gòu)有三種，稱為母結(jié)構(gòu)：
1.代數(shù)結(jié)構(gòu)：由集合及其上的運算組成，如群、環(huán)、域、線性空間等。
2.序結(jié)構(gòu)：由集合及其上的序關(guān)系組成，如偏序集、全序集、良序集。
3.拓撲結(jié)構(gòu)：由集合及其上的拓撲組成，如拓撲空間、度量空間、緊致集、列緊空間等。
通過以上三種母結(jié)構(gòu)的變化、復合、交叉形成各種數(shù)學分支。
發(fā)展
中國日報網(wǎng)環(huán)球在線消息：據(jù)英國《泰晤士報》報道，18名世界頂級數(shù)學家憑借他們不懈的努力，歷時四年，完成了世界上最復雜的數(shù)學結(jié)構(gòu)之一“E8”的計算過程。如果在紙上列出整個計算過程所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，其所需用紙面積可以覆蓋整個曼哈頓。
參考資料 >