空集公理（axiom of empty set），是ZF公理系統的集合論公理之一。該公理斷言：有一個無任何元的集合，它是空的集合，形式表示為：?A?x:?(x∈ A)。
19世紀，格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）系統地總結了長期以來數學界對集理論的認識與實踐，開創了新的數學學科——集合論，為經典數學的各個分支提供了共同的理論基礎。1902年，英國數學家伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Russell）發現了集合論悖論，由于所涉及的概念都是樸素集合論的基本概念，因而震動了整個數學界，引起了數學史上第三次危機。為了消除悖論，大家普遍認為可以采用公理化的方法對集合做一些必要的限制。1908年，數學家恩斯特·策梅洛（Zermelo）給出了第一個集合論公理系統，現在人們稱它為Z系統。在Z系統中空集公理與配對公理合稱為初等集合公理。1922年，德國數學家弗蘭克爾（Fraenkel）對Z系統進行了改進，后經斯柯倫（Skolem）重述，形成了ZF公理系統。在ZF公理系統中，包括空集公理等9條公理，再加上選擇公理，形成了ZFC公理系統。
空集公理肯定了空集的存在性，ZF公理系統中試圖由空集公理和無窮性公理定義自然數。該公理系統還包括一些其他公理，它們不是各自獨立的，其中子集公理可由替換公理模式和空集公理推出，空集公理本身也不獨立。在其他的公理系統中，空集公理同樣存在，如在MS系統中，它可以表示為：├?b(W(b)∧?x(x ? b))。
定義
空集公理斷言：一個無任何元的集合，它是空的集合。可表示為：。
意義：該公理肯定了空集的存在性。同時，ZF公理系統試圖由空集公理和無窮性公理定義自然數。然后從自然數出發，通過代數過程構造整數系、有理數系、實數系，這些在ZF公理系統中都能實行。ZF的每個標準模型都可以有一個與實數集相像的子集。這樣一來，只要證明系統的無矛盾性，微積分理論的基礎即可解決。
簡史
背景
19世紀，格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）系統地總結了長期以來數學界對集理論的認識與實踐，開創了新的數學學科——集合論，為整個經典數學的各個分支提供了共同的理論基礎。1902年，英國數學家伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Russell）發現了集合論悖論，由于所涉及的概念都是樸素集合論的基本概念，因而震動了整個數學界，引起了數學史上第三次危機。
提出
由于當時戴維·希爾伯特（Hilbert David）剛為歐氏幾何學成功地建立了公理系統，為了消除悖論，大家普遍認為可以采用公理化的方法對集合做一些必要的限制。1908年，數學家恩斯特·策梅洛（Zermelo）給出了第一個集合論公理系統，現在人們稱它為Z系統。在該系統中，空集公理與配對公理合稱為初等集合公理。1922年，德國數學家弗蘭克爾（Fraenkel）對Z系統進行了改進，后經斯柯倫（Skolem）重述，形成了ZF公理系統。在ZF公理系統中，包括空集公理等9條公理，再加上選擇公理，形成了ZFC公理系統。
衍生概念
空集
定義：空集是不含有任何元素的集合，符號為，對于任意集合 ，都有，即空集是任何一集合的子集。從空集公理肯定了空集的存在性以后，又從外延性公理知道這種空集是唯一的。因為，一個集合是完全由它的元所確定，如果、是兩個空集，則從外延性公理得知它們是相等的，所以也就恰有一個空集。
其他公理
ZF公理系統的展開是形式化的，它是以帶等詞“”和隸屬關系“”的狹謂詞演算為基礎，加上關于集合基本性質的非邏輯公理組成的形式演繹體系。它包括外延公理、空集公理、配對公理、并集公理、冪集公理、子集公理、無窮性公理、替換公理模式、正則性公理，如果加上選擇公理AC，得到的系統就是ZFC（ZF+AC）。ZF的公理可以分為兩類：一類是刻畫集合性質的公理，如外延公理等；另一類是刻畫集合存在的公理，如空集公理等。ZFC公理系統中的公理不是各自獨立的，其中子集公理可由替換公理模式和空集公理推出，空集公理也不獨立。
外延公理
如果的每個元素都是的一個元素，并且的每個元素也是的一個元素，那么。
形式表示：。
子集公理
子集公理也稱分離公理、概括公理，其本質上是一個公理模式。
令是的一個性質。對任意的集合，存在一個集合 ，使得當且僅當 并且 。
形式表示：。
配對公理
配對公理也稱對集公理、無序對公理，對任意的集合和，存在一個集合，使得當且僅當或者。
形式表示：。
并集公理
對任意的集合，存在一個集合，使得當且僅當對某個，。
形式表示：。
冪集公理
對任意的集合，存在一個集合，使得當且僅當。
形式表示：。
無窮性公理
存在一個歸納集。
形式表示：。
替換公理模式
令是一條性質，并且對每個存在唯一的使得成立。對每個集合，存在集合，使得對每個，存在使成立。
形式表示：。
正則性公理
正則性公理也稱基礎公理，所有的集合都是良基的。
形式表示：。
選擇公理
對于每個集合系統都有一個選擇函數。
形式表示：，其中：可表述為：。
其他解釋
NBG系統
BG系統亦稱GB系統，由約翰·馮·諾依曼（John von Neumann）于1925年提出，后經伯爾奈斯（Bernays）和庫爾特·卡塞雷斯（Kurt G?del）改進和簡化而形成。該系統和ZF公理系統的不同主要體現在：（1）NBG系統區分“集合”和“類”，能作其他集合或類的元素是集合，不能作其他的類的元素的類，叫做真類。NBG系統對類和集合使用兩種變元。（2）NBG系統的公理是有窮的。在ZF公理系統和NBG系統之間的聯系主要體現在：（1）所有ZF公理系統的定理都是NBG系統的定理；（2）NBG系統中關于集合（不說及類）的定理都是ZF系統的定理；（3）ZF是協調的，當且僅當NBG是協調的。
修正的NBG系統中的空集公理：。該公理是說，任一類（含集合）的補還是一類。空集是一類，根據該條公理，可得真類也是類，且知是的補類。
MS系統
通常把中介公理集合論系統簡記為MS。MS系統在中介原則和泛概括公理觀點下，不僅承認中介對象的存在，同時還接受模糊造集謂詞的使用。因而MS不僅研究和處理精確性量性對象，同時還接受和處理模糊性量性對象，其有可能為研究精確現象的經典數學和研究模糊現象的不確定性數學提供一個理論基礎。MS系統和ZFC公理系統具有一定的聯系，只要對MS系統的個體與謂詞加以必要的限制，就能把ZFC中除正則性公理以外的每一條公理都作為MS的定理而證明。整個精確性經典數學也可奠基于MS并產生于MS。
MS系統中的空集公理：。
參考資料 >