正則性公理（axiom of regularity），亦稱基礎公理、限制公理，其定義為任一非空集合都有極小元素，它具有多種形式化表示方式。
19世紀70年代，德國數學家格奧爾格·康托爾創立集合論之后，人們陸續發現在樸素集合論中存在悖論。為了避免悖論，恩斯特·策梅洛（Zermelo）于1908年提出了第一個公理化集合論系統，9年后，密列曼諾夫（mmi-rimmanoff）發現在策梅洛的系統中不能排除“無底集”與“循環集”的存在，從而導致新的悖論，1925年，約翰·馮·諾依曼（John von Neumann）建議增加正則性公理以解決上述矛盾。1930年，策梅洛也獨立地引入了這條公理，并稱它為基礎公理。后來，一些學者對于正則公理提出了不同的看法。1941年，貝爾奈斯（P. Bernays）斷言基礎公理與ZF的其他公理是相對獨立的，并于1950年給出了證明。
正則公理具有許多推論，如沒有集合是自身的元素且沒有無限序列使得對于所有，是的元素。它與良基關系的定義有關。正則公理及其推論可以解決理發師悖論以及超窮序數理論中的問題。此外，它還可以處理計算機數據，讓技術順利進行。ZF公理系統還包括外延公理等一系列公理。但是，一些學者認為正則公理不是一條大家共同認可的數學原理，提出了反基礎公理，建立了非良基集合論理論。
定義
正則性公理，是指任一非空集合都有極小元素，具有多種形式化表示方式。這個公理形式化為：
或。該公理斷言：任何集合在關系下是良基的，不存在無限遞降鏈也就不會有與循環。
實質上此公理是對集合概念的一種限制：有性質的集合是不存在的.該公理的另一表述方法是：對任何集合論公式，有。這種表述下的正則公理實際上是正則公理模式。
簡史
背景
19世紀70年代，德國數學家格奧爾格·康托爾創立了集合論，他認為在直覺意義上，集合是事物的總體。1902年，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素發現了羅素悖論，揭示了一個基本的事實：一個集合或者是它本身的成員，或者不是它本身的成員。為了解決集合論的悖論，1908年，恩斯特·策梅洛首先發表了集合論的一個公理系統，后來經過弗蘭克爾（Fraenkel）和斯科倫（Skolem）的改進，形成了ZF公理系統。
發展
9年后，密列曼諾夫（mmi-rimmanoff，1861-1925）發現在策梅洛的系統中不能排除“無底集”與“循環集”的存在，從而導致新的悖論，1925年，約翰·馮·諾依曼（John von Neumann，1903-1957）建議增加正則性公理以解決上述矛盾。馮·諾伊曼在為ZF增加基礎公理的同時，也在考慮集合論的哲學基礎問題。他認為，樸素集合論造集的任意性，并不在于它使用了太大的集合，而在于這些集合被任意地用作其他集合或自身的元素。因而解決問題的方法不應是限制集合的存在，而應是限制一集合作為另一集合元素的資格。此外，他還證明了該公理與ZFC系統中的其他公理相對一致。1930年恩斯特·策梅洛也獨立地引入了這條公理，并稱它為基礎公理。
后來，一些學者對于正則公理提出了不同的看法。1941年，貝爾奈斯（P. Bernays）斷言基礎公理與ZF的其他公理是相對獨立的，并于1950年給出了證明。但是，非良基集合的理論研究直到70年代阿克采爾（Aczel）的《非良基集合》問世，才得以被重視起來。
相關定理
定理1
證明：是一個集合，使得是自身的一個元素，并定義，它是通過對公理得到的集合。應用正則公理于，可見到的唯一元素，也就是，必須不相交于。但是和的交集就是。所以不滿足正則公理并得到一個矛盾，這證明了不存在。另一方面，設是自然數的函數，對每個，都是的一個元素。定義的值域，在函數的形式定義上可以被看做是一個集合。應用正則公理于，設是的一個元素，它不相交于，但是通過和的定義，和有一個公共元素（就是）。這是個矛盾，所以沒有這樣的存在。這個論證只適用于是集合（不是不可定義的類）的。繼承有限集合滿足正則公理。所以如果形成了一個非平凡的超能力的，則它也將滿足正則公理。但是它將包含無限遞減的元素序列。例如，假定是非標準自然數，則和等等，對于任何實際的自然數，有。所以這是個不終結的遞減的元素序列。但是這個序列在這個模型中是不可定義，因此不是集合。所以，沒有正則公理的矛盾是可以證明的。
定理2
證明：如果，則和二者都是集，且是的僅有成員。對后一類應用正則性公理，便得到矛盾，這與前一定理的證明一樣。
事實上，正則性公理可導致另一個加強的結果，即可能存在一個序列，使得對每個成立。
定理3
證明：設和是的成員且，則不真（定理2）。因此在上不對稱。如果是的非空子集，則按正則性公理，在中必有使得，于是中沒有屬于的成員。
相關概念
良基關系
令是任意的二元關系，如果集合的任意非空子集有一個極小元，并且的任何段是一個集合，則稱是上的良基關系，記作，或稱是良基的。這種良基關系可形式地表述為：
。
如果是一個集合，根據正則公理，良基關系的定義條件可以略去。
相關問題
超窮序數理論
格奧爾格·康托爾的超窮序數理論，依賴于三個“序數生成原理”：
第一序數生成原則：對一已給定的數，可增加一單位。如從，可得。
第二序數生成原則：給定任一有特定順序，但其中無最大元素的集合，可以作為原集合的極限或后繼者而得一新數，如從整數集合可得；等等。
第三序數生成原則（限制原則）：它保證一個新數類的基數大于前一數類的基數而且是第一個這樣大的。康托反復運用這三條序數生成原則，得到超限（窮）序數，，，……，，……，，，…………，……，，……，……，……，……等等，其中被普遍認為是第一個不可數序數，而且是一個基數。給出其證明如下：
如不然，即是一可數序數，，由定義，
其中：表示所有集合的類；、表示基數。就有，這與正則公理（基礎公理，限制公理）的推論“對任一集合，都有成立”相矛盾，因此得證。
理發師悖論
理發師悖論提出了這樣的疑問：某村有一理發師，恰給本村那些不給自己理發的人理發，那么他給不給自己理發。若他給自己理發，則他是一個給自己理發的人。按照他的原則，他應該不給自己理發，矛盾。若他不給自己理發，則他是一個不給自己理發的人。按照他的原則，他應該給自己理發，也矛盾。
示例
設（1）；（2）。
根據式（13.7），是遍給且僅給刮臉的人。
是不給而給別人刮臉的人，根據式（1），有（3）。
即，根據式（2），有（4）。
又根據式（2），則給刮臉，即給自己刮臉，則根據式（1），有（5）。
現在應用正則性公理。根據正則性公理，命題式（4）被禁止。因此命題式（3）被禁止；因此悖論式（3）式（5）不再存在。
該示例表明ZF的正則性公理避免了理發師悖論。
其他公理
19世紀初期，數學界對數學分析基礎的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，波爾查諾（波爾扎諾，B.）發表著作《無窮悖論》，肯定了實無窮的存在。隨著人們陸續發現樸素集合論中的悖論，恩斯特·策梅洛提出了第一個公理化集合論系統。這個系統建立在帶等詞的一階謂詞邏輯基礎之上，包含了"集合"和"屬于"兩個初始概念以及外延公理等七條公理，后來，經過改進，形成了應用廣泛的ZF系統。
外延公理
如果一個集合的所有元素也是的元素，反之亦然，則。簡而言之，一個集合完全由它的成員確定；當且僅當它們擁有相同的元素時，兩個集合相同，即。
冪集公理
一個集合的所有子集可以構成一個集合。換言之，對于任何的，存在著一個集合，使的元素是而且只會是的子集，即。
并集公理
對于一個集合都對應著一個集合，即的并集，的元素是的所有元素的元素。這里，“元素的元素”即“成員的成員”，即“子集的元素”。并集公理的形式化表示是。
替代公理
對于任意公式，如果對于任意的存在唯一的使得為真，則對集合，存在著集合，使得為真，即。
無限集存在公理
，其中“”是縮寫符號，。無限公理實際上是后繼存在公理，是集合的后繼集。
子集公理
子集公理，即劃分公理，指任給一集和一性質，則集合中一切滿足性質的元素可以匯集起來構成一集，即為一集合。
空集存在公理
空集是沒有任何元素的集合，通常用表示。可以證明，空集是唯一的，即有且只有一個空集。其形式表示為。
對集公理
對于任意的集合和，存在一個集合使得當且僅當或。形式化表示為。
意義
處理計算機數據
對于普通人來說，正則公理與日常生活相去甚遠。然而，它間接影響了很多事情。例如，計算機在處理數據時會大量使用集合。如果這些集合的規則不明確，計算機程序可能會遇到問題并且無法正常工作。因此，這一公理在支持計算機處理數據中起著關鍵的作用。
爭議與改進
爭議
一部分學者認為，正則公理不像ZFC的其他公理，它不是一條大家共同認可的數學原理。人們可以放棄基礎公理對集合的限制，得到一個更寬廣的集合概念。托馬斯·庫恩（Kunen）認為，正則公理在通常的數學中應用較少，接受它只是為了使所有的數學在所有良基集合構成的類WF中能正常進行下去。
隨著科學的發展，人們發現循環現象無處不在。例如公路上車輛、行人川流不息，人們根據交通燈的顏色由紅、黃、綠循環交替的變化有序而行。交通信號可以表示為一個流：交通信號＝（紅燈，（黃燈，（綠燈，交通信號）））。用數學語言可以將這些現象統一表述為令是一個集合，是滿足：如果，那么存在和使得的流組合的最大集合。然而，在正則公理下，。因此，在包含FA的集合論ZFC中，人們不能刻畫流，不能為這些循環現象建立數學模型。
改進
出于正則公理不能為這些循環現象建立數學模型的現象，人們開始嘗試用各種能夠刻畫循環現象的數學命題來代替正則公理。在整個二十世紀，福蒂（Forti）和哈塞爾（Honsell）等人不僅給出了刻畫非良基集合相等的標準，還給出了相應的反基礎公理，1988年，阿克采爾（Aczel）在為計算機科學中的進程構建數學模型時，借助圖理論將福蒂和哈塞爾的反基礎公理重新描述為：每一個圖都有唯一裝飾，記作AFA，并建立了非良基集集合論理論。
此外，由于在基礎公理下可以證明：對于任意的集合都有成立。在反基礎公理下可以證明：存在集合使得成立，即是集合，也稱它為自返集合。因此，在反基礎公理下，集合的論域就被擴大。
其他解釋
NBG系統
另一個常見的公理系統——NBG系統是約翰·馮·諾依曼（John von Neumann）在1920年首先提出來的。伯爾奈斯（Bernays）在從1937年開始發表的一系列重要文章中，發展了一個公理系統，這個系統基本上沿著馮·諾依曼的觀念，后來庫爾特·卡塞雷斯（Kurt G?del）又對這個系統作了若干修改，形成了現在說的NBG公理系統。該系統和ZF系統的不同，主要是：（1）NBG系統區分“集合”和“類”，能作其它集合或類的元素是集合，不能作其它的類的元素的類，叫做真類。NBG系統對類和集合使用兩種變元。（2）NBG系統的公理是有窮的。
在ZF系統和NBG系統之間，若給出一定的對應關系，則可有下述結果：（1）所有ZF系統的定理都是NBG系統的定理；（2）NBG系統中關于集合（不說及類）的定理都是ZF系統的定理；（3）ZF是協調的，當且僅當NBG是協調的。
在NBG系統中，類的正則公理為。
參考資料 >
Axiom of Regularity.philosophyterms.2024-02-20
策梅洛-弗蘭克爾集合論.中國大百科全書.2024-02-19