良基關系(well-founded relation)是一種特殊的二元關系，是良序關系中抽去全序的成分后獲得的一種二元關系。設R為集合(或類)U上的一個二元關系，若U的每個非空子集均有R極小元，則稱R為U上的一個良基關系，亦即R為U上的良基關系，當且僅當對U的每個非空子集x，存在x的元素y，使得對任何z∈U，〈z，y〉均不屬于R。若U為集合，則稱〈U，R〉為良基結構；若A為真類，通常要求U的每個元素關于R的初始段必須為一集合。良序關系一定為良基關系，反之則不成立。例如，在ZF公理系統中，由正則公理知，∈關系為集合論全域V上的良基關系，但不是良序關系。從直觀上講，被良基化的集合或類，可以通過其上的良基關系對其元素進行分層。事實上，若R為U上的一個良基關系，則可利用良基關系上的超窮遞歸原理定義U中每個元素x關于R的秩rank(x，U，R)=suprank(y，U，R)+1：yRx∧y∈U。如果U可傳，R=∈，則rank(x，U，∈)恰好為x的秩rank(x)。
基本介紹
良基關系是集合上的一種重要關系，它是恩斯特·策梅洛(E.F.F.Zermelo)于1935年提出的。設R是集合A上的一個關系，若A的任何非空子集B都有R極小元，則稱R是A的 良基關系。A是關于R的良基集，記為。A上的任何良序關系都是A上的良基關系，但A上的良基關系不一定是A上的良序關系。如果A對于關系R不但是良基的，而且是全序的，那么A是良序集，例如，自然數集對小于關系既是良序的也是良基的，如果有限偏序集的哈塞圖是有分叉的偽樹(如圖1)，則它是良基的但不是良序的。在良基集中，不存在無窮的單調遞降序列
若定義良基集到序數集內一個映射，使得當時，
且的值域是一個序數，則是A到ord內的一個確定單調增映射。的值域稱為R的長度，即
例圖中R的長度為6。
相關定理及其證明
定理 —關系R為良基的的，當且僅當不存在具有定義域為ω的函數f，使得對于每一，都有。
人們也稱這一序列：為一降鏈，并且對于上述f，我們令并稱這一D為的一降鏈子集合。
證明：假定一關系R不是良基的，那么存在一非空集合S，它沒有R極小！元素，亦即
直觀地講，因為S不空，任取，由(3)就有，使得；成立，又由于，由(3)就有，使得成立。這里可以取不同，因為由S中沒有R的極小元，那么，中也沒有R極小元，把S應用于(3)即得，把這—·過程無限地作下去，即得到下述無窮序列:并且有：對于每一，都有或者記做.
這樣我們可以令：
由(5)與(6)，即得欲證結果。
反之，若存在一函數，我們令：
不難證明由(7)給出的集合S中沒有R極小元。
注記：在上述證明中，我們說“把一過程無限地進行下去，即得到下述無窮序列"(指獲得(4)，這句話包含著有無窮多情形，并且在每個種情形下都需要由a去找一個b，使得bRa，我們知道雖然，但是(3)并未給出去選擇y的方案。也就是說可能有許多元甚至無窮多元y滿足xRx，根據什么原則去挑選唯一的元素呢？人們已經證明僅在ZF系統中是不可能實現的，它要求使用選擇公理，不過，這里僅需用選擇公理的一種較弱的形式稱之為依賴選擇原則，它意味著允許人們依次進行ω次的選擇。
依賴選擇原則(Bernays，1942)：如果T是在不空集合S上的一個關系，使得對于每
一，都存在有T(x、y)，那么就存在一序列：使得成立。
現在我們令依賴選擇原則中的T(x、y)為據依賴選擇原則，由(3)即可獲得(4)。
參考資料 >