并集公理（axiom of union）是集合論中一條重要的公理，其內容為對任何集合X，存在X的所有元素的并集。
19世紀，格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）系統地總結了數學界長期以來對集理論的認識與實踐，開創了新的數學學科——集合論，也稱為古典集合論。1899年，康托爾寫給戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）的信中提到了并集公理的早期形式：每當有集合的集合時，這些集合的元素再次形成一個集合。古典集合論中對集合概念的不明確會導致一系列悖論，為了消除悖論，對集合的概念必須加以限制，最終導致了公理集合論的發展，較為著名的有ZF公理系統等。1908年，恩斯特·策梅洛（Ernst Zermerlo）正式提出并集公理，并發現，該公理為關于集合存在性的公理。后來，喬治·布洛斯（George Boolos）利用階段論的闡述給出了公理的推導思路。
利用并集公理可以定義集合的并運算、包含關系，構造任意的、可能無窮的集合的收集。并運算具有交換律、結合律等性質。ZF公理系統中還包括外延公理、空集存在公理等理論，它們不是獨立存在的，如，并集公理可以用于對集公理的證明。在其他公理系統中，并集公理具有不同的形式。
定義
并集公理指的是：對任何集合，存在的所有元素的并集。該公理可形式化為： 。
利用并集公理可以定義集合的并運算，例如，，等；也可以定義集合的包含關系：。此外，并集公理還能構造任意的、可能無窮的集合的收集。
簡史
背景與雛形
19世紀，格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）系統地總結了長期以來數學界對集理論的認識與實踐，開創了新的數學學科——集合論。鑒于集合論的的近代和現代發展，通常把康托爾當時所創立并在康托爾時代發展起來的集合論叫做古典集合論。古典集合論的創立擴充了數學研究對象，為整個經典數學的各個分支提供了共同的理論基礎。并集公理的早期形式可在1899年康托爾寫給戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）的信中發現：每當有集合的集合時，這些集合的元素再次形成一個集合。
提出與發展
由于古典集合論中的元素可以是各種客體，如符號、文字、聲音、圖像等等，在廣泛的應用領域中，許多概念交叉引用，會產生一些悖論。為了消除悖論，對集合的概念就必須加以限制，最終導致了公理集合論的發展。公理集合論中比較有名的有ZFC系統（Zermelo-Fraenkel-Cohen）與GBN（Gd?el-bernays-Von Neumann）系統。并集公理由恩斯特·策梅洛（Ernst Zermerlo）于1908年正式提出。他在1930年再次提到該公理，并研究了并集公理和系統中其他公理的區別，發現，并集公理是關于集合存在性的公理。后來，喬治·布洛斯（George Boolos）利用階段論的闡述給出了該公理的推導思路。
衍生概念
并運算
集的并，用表示，指集，其中是并集公理斷言存在的集。常把寫作或，把寫成。
交運算
集的一般交（簡稱為的交），用表示，指集。是由的所有成員的全部公共元素組成，常把寫作或,有。
但是，沒有與并集公理對應的交集公理，該運算是通過分類公理模式來定義的。
并運算的性質
1.交換律：。
2.結合律：。
3.冪等律：。
4.為并運算的單位元： 。
5.并對交的分配律：；。
6.如果，，那么。
7.的充分必要條件是。
8.吸收律：;。
9.更一般形式的結合律：。這里是集族的標號集，是集族的標號集。
10.更一般形式的并對交的分配律：
。
其他公理
第一個集合論公理系統是恩斯特·策梅洛在1908年提出來的，在20世紀20年代弗蘭克爾（Abraham Fraenkel）和斯柯倫（Thoralf Skolem）對策梅洛的原來的七條公理作了若干改進并增加了一（或二）條新公理。這個新的集合論公理系統通稱為ZF系統（策梅洛—弗蘭克爾系統）；ZF系統加上選擇公理，稱為ZFC系統。ZF系統是最通用的集合論公理系統。已經證明，這個系統對于發展集合論是足夠的，并且從它推不出任何一個已知的悖論。除并集公理外，ZF公理系統還包括外延公理、空集存在公理、對集公理、子集公理、冪集公理、無窮公理、替換公理、正則公理。
外延公理
如果與含有相同的元素，則它們相等（即），即一個元素完全由它的元素所決定。
空集存在公理
存在著一個不含任何元素的集合。由外延公理，空集合是唯一的。
對集公理
任給兩個集合、，存在僅含、為元素的集合。例如，設，，則。
子集公理
對于任何集合和含一個自由變元的公式，存在一個集合，的元素是那些滿足的的元素。
冪集公理
對于任何集合，也是集合，它恰由集合的全體子集組成。
無窮公理
存在著集合族滿足 ；對于任意集合，存在集合，使得集合恰含集合中的所有元素，且含有元素。換言之，存在一個集合，它含有無窮多個元素。
替換公理
若對于，使得公式成立，則對于任意的集合，存在恰含元素的集合，使得對某個，公式成立。換言之，由公式所定義的“有序對”的類的定義域包含在中，則它的值域可以限制在集合中。
特別當公式僅含一個變元時，即為時，則有關于公式的子集公理：對于任意集合，存在著，它恰含集合中 滿足公式的元素。
正則公理
任意非空集合必有一個極小元。換言之，對于任意非空集合，必有，且對任何，有。
相關應用
ZF系統中的公理并不是獨立存在的，如并集公理可以用于對集公理的證明。
與空集公理一起，對集公理可以一般化為如下模式：。就是說：給定任何有限數目的集合到，有一個集合，它的成員完全是到。
情況是帶有而的對集公理。情況是帶有而的對集公理。情況可以多次使用對集公理和并集公理來證明。例如：要證明情況，使用對集公理3次，來生成對，單元素集合，接著的對。并集公理接著生成想要的結果。從而，在這種情況下對集公理成立。
其他解釋
NBG系統
另一個常見的公理系統——NBG系統是約翰·馮·諾依曼（John von Neumann）在1920年首先提出來的。伯爾奈斯（Bernays）在從1937年開始發表的一系列重要文章中，發展了一個公理系統，這個系統基本上沿著馮·諾依曼的觀念，后來庫爾特·卡塞雷斯（Kurt G?del）又對這個系統作了若干修改，形成了現在說的NBG公理系統。該系統和ZF系統的不同，主要是：（1）NBG系統區分“集合”和“類”，能作其它集合或類的元素是集合，不能作其它的類的元素的類，叫做真類。NBG系統對類和集合使用兩種變元。（2）NBG系統的公理是有窮的。
在ZF系統和NBG系統之間，若給出一定的對應關系，則可有下述結果：（1）所有ZF系統的定理都是NBG系統的定理；（2）NBG系統中關于集合（不說及類）的定理都是ZF系統的定理；（3）ZF是協調的，當且僅當NBG是協調的。
并集公理在修正的NBG系統中為。
參考資料 >