冪集公理（英文：axiom of power set），是集合論的一條重要公理。它指出對任何集合a存在它的所有子集組成的集合（冪集）。由冪集公理，可從已知集合快速地形成更大的集合。此外，它還肯定了實數集的合法性。
19世紀70年代，德國數學家格奧爾格·康托爾（Cantor）對任意元素的集合進行研究，在一系列論文中提出無限集的勢、序型等的概念，奠定了集合論的理論基礎，冪集公理的早期形式可見于康托爾的稿紙上。在集合論的初創時期，康托爾以所謂“樸素的”觀點來看待集合，沒有明確規定對已知集合做哪些事情可以得出受到承認的集合，這些不確定性導致了后來悖論的誕生。為了補充康托爾集合論在理論基礎上的缺陷，德國數學家恩斯特·策梅洛（Zermelo）在1908年為集合論建立了第一個比較完整的公理系統，并始終強調冪集公理是一個完全的冪集公理，并給出了冪集公理的系統解釋。后來，恩斯特·策梅洛在弗蘭克爾（Fraenkel）、斯科倫（Skolem）和約翰·馮·諾依曼（von Neumann）等人的基礎上，于1930年對原來的公理系統進行了調整，保留了外延公理，冪集公理和并集公理，修改了配對公理和子集公理，刪除了無窮性公理和選擇公理，并將替換公理模式和正則性公理加入，形成了恩斯特·策梅洛弗倫克爾公理系統，記做ZF公理系統。
冪集公理的定義與冪集的存在性定義是等價的，由它還可以定義集合論中的勒內·笛卡爾積、關系、映射等概念。ZF公理系統還包括一些其他公理，它們不是孤立存在的，冪集公理與替換公理模式相結合可推出配對公理。此外，在NBG公理系統和ZF公理系統中也存在冪集公理，如ZB公理系統中，結合模糊子集的概念，可形成模糊冪集公理。
定義
冪集公理表述為：對任何集合存在它的所有子集組成的集合（冪集），可形式化表示為。如果把記為，表示是的子集，公理又可形式化為。
冪集公理肯定了實數集的合法性，還可以定義集合論中一系列重要概念，如冪集、勒內·笛卡爾積、關系、映射等。
簡史
早期研究
19世紀70年代，德國數學家格奧爾格·康托爾（Cantor）對任意元素的集合進行研究，在一系列論文中提出無限集的勢、序型等的概念，奠定了集合論的理論基礎，康托爾在草稿中給出了冪集公理的雛形：一個完成的集合的所有子集組成的復多是一個完成的集合。在集合論的初創時期，康托爾以所謂“樸素的”觀點來看待集合，沒有明確規定對已知集合做哪些事情可以得出受到承認的集合，這些不確定性導致了后來悖論的誕生。
后續發展
為了補充康托爾集合論在理論基礎上的缺陷，德國數學家恩斯特·策梅洛（Zermelo）在1908年為集合論建立了第一個比較完整的公理系統，并始終強調冪集公理是一個完全的冪集公理，并出了冪集公理的解釋：對每個集合，相應的有另一個集合，它是的冪集，恰好包含的所有子集作為它的元素。1908年之后，人們從各種不同的角度研究推廣了策梅洛的公理系統，弗蘭克爾（Fraenkel）和斯科倫（Skolem）和約翰·馮·諾依曼（von Neumann）等人提出了替換公理模式和正則性公理。后來，恩斯特·策梅洛在1930年對原來的公理系統進行了調整，保留了外延公理，冪集公理和并集公理，修改了配對公理和子集公理，刪除了無窮性公理和選擇公理，并將替換公理模式和基礎公理加入，形成了應用廣泛的策梅洛-弗倫克爾公理系統，記做ZF公理系統。
等價形式
；
；
；
全體自然數集合的冪集記為。
以上冪集的存在性定義與ZF系統中的冪集公理定義是等價的。
衍生概念
冪集
任取冪集公理斷言存在的集合，用子集公理可在內部定義的冪集，它是指由的所有子集形成的集，即：。
例如：。
在某種意義上，是的逆運算，因為有公式。一般說，但總有，由此可得出：
。
笛卡爾積
由上述冪集的結果可定義笛卡爾積：由集與集形成的笛卡爾積集，用表示，指集。
作為的子集由子集公理肯定了它的存在。
關系
由笛卡爾積可定義集的關系：若，則叫做集到集的關系。
關系的定義域，值域及關系的逆關系分別指
；
；
。
時，在上限制，用表示，指，此時在之下的象，用表示，指使。又設是到的關系，與的復合，用表示，指，所以是到的關系，于是有，，。的子集叫做上二元關系。
映射
若到的關系具有性質：對任意，有唯一的，使，則叫做到的映射（或函數）。映射所具有的性質可寫成，是到的映射，記作。
其他公理
策梅洛-弗蘭克爾集合論公理系統（ZF系統）是格奧爾格·康托爾集合論方法的形式化處理，其原始概念是集合與屬于的關系，它不僅是一個公理系統，而且也是一個形式系統。ZF系統中添加選擇公理而得到的公理稱為ZFC公理系統。該系統中的公理大體可以分為兩類：一類是斷言集合存在的公理，這類公理包括空集公理、子集公理、配對公理、并集公理，冪集公理、無窮性公理和選擇公理以及替換公理模式；另一類是用來刻畫集合性質的公理，這類公理包括外延公理和正則性公理。在ZF集合論的標準公式化中，冪集公理和替換公理模式可以得出配對公理，所以配對公理有時會被省略。
空集公理
存在一個沒有元素的集合，形式表示：。
外延公理
如果的每個元素都是的一個元素，并且的每個元素也是的一個元素，那么.。
形式表示：。
子集公理
令是的一個性質。對任意的集合，存在一個集合，使得當且僅當并且，形式表示：。
配對公理
對任意的集合和，存在一個集合，使得，當且僅當或者，形式表示：
。
并集公理
對任意的集合，存在一個集合，使得當且僅當對某個，形式表示：
。
無窮性公理
存在一個歸納集，形式表示：。
替換公理模式
令是一條性質，并且對每個存在唯一的使得成立。對每個集合，存在一個集合，使得對每個，存在使成立。形式表示：。
基礎公理
所有的集合都是良基的，形式表示：。
選擇公理
對于每個集合系統都有一個選擇函數，形式表示：
其中，可表述為：。
其他解釋
NBG公理系統
通常，人們認為集合論悖論總是與真類有關系的，約翰·馮·諾依曼（von Neumann）在處理集合論悖論時，把真類作為某些集合或類的元素，為此建立了刻畫集合和類的兩類元素的不同于ZF的集合論公理系統。后來，該公理系統經過羅賓遜（RobINSon）、伯奈斯（Bernays）以及庫爾特·卡塞雷斯（Godel）的修改和化簡，形成了較為完善的NBG集合論系統。
NBG公理系統中的冪集公理：
。
ZB公理系統
ZB公理系統是由韋德納（A.J.Weidner）以扎德（Zadeh）開創的模糊集合論和布朗（褐色）的模糊集合論為實際背景提出的一個新的公理化系統，是一個建基于一階邏輯之上的獨立存在的公理化系統，不依賴于事先約定的其他集合論系統（比如ZFC系統或ZFA系統）。
在ZB公理系統中，為形成冪集公理，首先要定義模糊子集的概念。
模糊子集：。
ZB公理系統中的冪集公理：。
模糊冪集公理不能斷言的模糊冪集的唯一性，對于的任一子集，沒法確定唯一的度使，對于滿足條件的，都稱為的冪集。
參考資料 >