配對公理（axiom of pairing）亦稱無序對公理，是集合論的一條重要公理。配對公理內容為，對任意集合a與b，存在只含a與b的集合{a，b}。
1874-1897年，格奧爾格·康托爾（G.Cantor）發表了一系列論文，他以“樸素的”觀點來看待集合的，但沒有明確規定對于已知集合做哪些事情是合法的。后來，羅素悖論暴露了集合論自身的矛盾，造成了數學發展史上的所謂第三次大危機。為了避免悖論，解決集合論自身的基礎問題，20世紀初開始了公理學研究方向。1908年，德國數學家恩斯特·弗里德里希·費狄南·策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo）提出了基本集合公理，1930年，他改進了該公理，形成了現在說的配對公理。后來，他陸續提出了其他公理，形成了應用廣泛的Zemelo-Freankel公理系統，簡稱ZF公理系統，該系統推動了現代數學的發展，被美國學者給予了很高的評價。
ZF公理系統還有很多其他公理，它們不是獨立存在的，配對公理可以由替換公理推出。配對公理可定義有序對、無序對的概念，且關于配對公理，有一些有趣的事情，恩斯特·策梅洛得到了自然數的模型，后經改進，得到了今天使用的自然數構造系統。
定義
配對公理亦稱無序對公理，集合論的一條重要公理。該公理斷言：對任意集合與，存在只含與的集合。這條公理可形式化為：
。
令是定域中的任意對象。配對公理蘊含存在外延，它僅有的元素是。如果沒有性質是好的，那么只存在一個外延，即壞事物。所以。但我們有，由此。所以，。由于是任意的，如果沒有性質是好的，那么配對定理蘊含是論域中僅有的對象。
簡史
背景
1874-1897年，格奧爾格·康托爾（G.Cantor）發表了一系列論文，奠定了集合論的基礎，從此集合論的概念和結果被廣泛應用于數學的各個分支。在集合論創立的初期，康托爾是以所謂“樸素的”觀點來看待集合的，沒有明確規定對于已知集合做哪些事情是合法的。1903年，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Bertrand Russell）在《數學原理》一書中提出了一個悖論，可以通過理發師的例子進行通俗的解釋。羅素悖論暴露了集合論自身的矛盾，使數學的基礎發生動搖，造成了數學發展史上的所謂第三次大危機。為了避免悖論，解決集合論自身的基礎問題，20世紀初開始了集合論公理學的研究方向。
提出
1908年，德國數學家恩斯特·策梅洛（E-Zermelo）提出了基本集合公理，1930年，他改進了該公理，形成了現在說的配對公理。后來，他陸續提出了其他公理，形成了應用廣泛的Zemelo-Freankel公理系統，簡稱ZF公理系統。
衍生概念
無序對
恰好有兩個元素的集合，并且這兩個元素之間沒有一定的順序，叫做無序對集合。
設有集，，取集使。由和形成的無序對，用表示，指集：
。
由定義知，無序對以和為僅有的成員：
。
當時，記，叫做由集形成的獨元集。在無序對中，和的地位是平等的：。比如就是一個無序對集合，對于，還可以寫作，就有。
有序對
以集為先，集為后的有序對，用表示，指集：
。
可知，有序對的兩個坐標都是唯一確定的，所以可得定理：
當且僅當且。
其他公理
1908年，恩斯特·策梅洛（E-Zermelo）給出了第一個集合論公理系統，現在人們稱它為Z系統，后經斯柯倫（Skolem）、弗蘭克爾（Frankel）等人的改進，形成了著名的ZF公理系統。ZF系統的展開是形式化的，它是以帶等詞“”和隸屬關系“”的狹謂詞演算為基礎，加上關于集合基本性質的非邏輯公理組成的形式演繹體系。它的非邏輯公理有：外延公理、空集公理、配對公理、并集公理、冪集公理、子集公理、無窮公理、替換公理、正則公理，如果加上選擇公理AC時，得到的系統就是ZFC(ZF+AC)。ZFC系統中的公理不是各自獨立的——其中配對公理可由替換公理推出。ZF公理系統推動了集合論的發展，也推動了整個現代數學的發展。加利福尼亞州大學的S·K·Stein教授這樣評價：“這些公理的威力非常之大，所有普通的數學都能夠從Zemelo-Freankel公理演繹出來。”
存在公理
存在一個沒有元素的集合。
形式表示：。
外延公理
如果的每個元素都是的一個元素，并且的每個元素也是的一個元素，那么。
形式表示：。
基礎公理
基礎公里也叫正則公里，所有的集合都是良基的。
形式表示：。
概括公理模式
令是的一個性質。對任意的集合，存在一個集合，使得當且僅當并且。
形式表示：。
冪集公理
對任意的集合，存在一個集合，使得當且僅當。
形式表示：。
并集公理
對任意的集合，存在一個集合，使得當且僅當對某個，。
形式表示：。
無窮公理
存在一個歸納集。
形式表示：。
替換公理模式
令是一條性質，并且對每個存在唯一的使得成立。對每個集合，存在一個集合，使得對每個，存在使成立。
形式表示：。
選擇公理
對于每個集合系統都有一個選擇函數。
形式表示：。
其中：可表述為：。
軼聞趣事
關于配對公理，有一些有趣的事情。首先，構造自然數的模型，如對于，恩斯特·策梅洛取了空集；對于，他取；對于，他取了（集合）；對于，他取了（集合），依此類推。因此，對于每個自然數，數字是單元集。因此，由括在對括號中的表示。
后來，約翰·約翰·馮·諾依曼（John Von Neumann）修改了恩斯特·策梅洛對自然數的構造，提出了今天所使用的系統，馮·諾依曼以這樣的方式定義自然數，即每個自然數都是所有更小的自然數的集合。因此，是空集，是集合（與策梅洛一樣），但是集合（其僅有的元素是和），是集合，…，是集合。且約翰·馮·諾依曼對自然數的定義很容易擴展到無窮序數的定義，在集合論中起著關鍵作用。
參考資料 >