《數學原理》（Principia Mathematica）是由伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素和阿弗烈·諾夫·懷特海共同撰寫數學和邏輯學著作，該書共分三卷，分別于1910年、1912年和1913年出版。該書主要探討了數學基礎和原理，強調數學與邏輯的緊密聯系，并嘗試將數學概念邏輯化。該書認為數學定理可以從邏輯原理和一些基本的數學公理推導出來，是早期分析哲學的奠基之作。
《數學原理》的成書背景根植于數學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨提出的邏輯主義，該主義認為，通過邏輯和符號系統可以表達和解決所有數學問題，而1879年弗雷格的著作《算術基礎》使邏輯主義在技術上變得合理。但隨著伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素在1901年提出羅素悖論等問題，邏輯主義面臨了新的挑戰——即僅憑邏輯原理可能無法完全建立數學的基礎。之后，羅素邀請老師懷特海合作開展研究，共同撰寫《數學原理》一書，旨在創建一個堅實的數學和邏輯體系，以證明數學可以完全建立在邏輯的基礎之上。從1902年開始，羅素和懷特海在共同討論和研究的基礎上啟動了《數學原理》第二卷的撰寫工作，羅素主要負責哲學部分，而懷特海貢獻了符號系統和大部分推導工作；在接下來的幾年中，盡管面臨個人生活和情緒上的挑戰，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素堅持完成了這部作品的寫作，直到1909年春天全書初稿完成，1910年出版第一卷，整個三卷本最終在1913年正式面世，后于1925至1927年再版。
《數學原理》深入探討了數學的邏輯基礎及其與哲學的關聯。書中強調數學與邏輯之間的緊密聯系，并主張數學理論可以通過邏輯方法來簡化和證明。在書中，作者通過形式化手段使用符號和公式進行邏輯推理，以提升數學的精確性和嚴謹性；通過引入了類型理論解決邏輯悖論，確立了集合和命題函數的層次結構，避免自引用；通過提出敘述學說區分名稱和敘述，澄清邏輯結構；通過重新解釋數學歸納法，擴展其應用范圍；并通過對選擇公理和結構概念的分析，為數學提供了堅實的邏輯基礎。第一卷主要通過重新審視傳統數學公理并質疑其必要性，擴展了數學的研究范圍，并構建了一個基于選定前提的嚴密演繹系統，同時引入類型理論解決邏輯和集合論中的矛盾和悖論，發展了一套符號邏輯以進行復雜的數學推理；第二卷在上述基礎上，進一步定義了基數并探討了它們的邏輯屬性以及適用于有限和無限數的加法、乘法和指數運算規則，同時指出了有限概念的雙重含義所帶來的理論復雜性，并展示了類型理論在解決最大基數邏輯矛盾中的關鍵作用；第三卷繼續前兩卷的內容，深化了級數理論、系統性地展開了測量理論，并引入了廣義的“向量”概念以將比例定義為關系間的一種聯系，并特別針對幾何學應用，探討了循環族，如固定平面上的角，為數學的形式化和公理化方法提供了重要的理論支撐。
《數學原理》一書在哲學研究領域通過強調“邏輯主義”的運用，令后世的數學家和邏輯學家對數學和邏輯的基礎產生了革命性的影響；在現代數學中，《數學原理》系統化地推導出數學理論，促進了數學的形式化系統和公理化方法的發展；本書的集合層次結構理論，對計算機科學的系統結構和體系架構產生了重要影響，為程序驗證等應用提供了理論基礎?！稊祵W原理》還促進了科學哲學與科學研究之間的對話，其闡述的邏輯構造論對后來的語言哲學和心靈哲學產生了影響，也對數學教育提供了重要的參考框架，影響了后續的數學教學和課程設計。此外，《數學原理》被《當代文庫》編輯委員會評定為本世紀百大最佳英文非小說中的第23位，該書也被稱為將伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素載入史冊的巨著，被后世學者認為是數理邏輯發展史上的里程碑。
作者介紹
伯特蘭·羅素
伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Bertrand Arthur William Russell）于1872年5月18日出生，是英國威爾士一個貴族家庭的孩子。幼年時父母因病去世，由祖父母撫養長大。1890年，羅素考入劍橋大學三一學院，完成數學和哲學專業的學習后曾兩度在該校任教。1908年羅素當選為皇家學會會員。1911年任亞里士多德協會主席。
伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素一生發表了60多本著作和大量的論文，他的主要作品包括《西方哲學史》《哲學問題》《心的概念》和《物的分析》等。他在數學與哲學上采取弗雷格的邏輯主義立場，并創立分析哲學，對哲學、數學和邏輯學的發展都產生了深遠的影響。與此同時，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素非常關懷政治現實，曾參與過反戰、核裁軍等社會運動，也發表過大量針對現實議題的論著，從而收獲了廣泛的社會影響。1950年，羅素獲得諾貝爾文學獎，瑞典文學院給他的頒獎詞是“褒揚他的哲學著作，它們不僅豐饒而且重要，同時，它們使他成為人性與思想自由的捍衛者”。伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素由此成為以“非文學家”身份而獲得諾貝爾文學獎的第四人。1970年2月2日，羅素在英國家中逝世，終年九十八歲。
阿弗烈·諾夫·懷特海
阿弗烈·諾夫·懷特海（Alfred North Whitehead）是在攻讀數學時期的老師，于1880年考入大學三一學院，主攻數學。1885年大學畢業，留在母校任數學和力學教師，他在母校任教25年，主要從事教學、著述和一些政治活動。1890年，羅素考取了阿爾弗雷德·懷特黑德所主持的研究班，他非常賞識羅素的才能，并且為他介紹了當時在劍橋大學任講師的新主義者麥克塔加特以及一些年輕的同學，包括后來成為著名哲學家的摩爾。1924到1937年，他應聘到哈佛大學擔任哲學教授。退休后，擔任哈佛大學名譽教授，居住在坎布里奇市。1947年12月30日，去世，終年86歲。
成書背景
邏輯主義的觀點最早在17世紀由戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried?Wilhelm?Leibniz）提出，是一種主張數學可以被簡化為邏輯的哲學觀點。這一理論認為所有的數學真理都可以被翻譯為邏輯真理，即數學詞匯構成了邏輯詞匯的一個子集；并認為所有的數學證明都可以被重鑄為邏輯證明，即數學定理是邏輯定理的一個子集。在19世紀20年代，數學家們如波爾查諾（Bernard Bolzano）、尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）、柯西（Augustin Louis Cauchy）和卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstras）等人，通過消除數學中的模糊性和矛盾，為邏輯主義的發展奠定了基礎。到了19世紀中后期，哈密頓（William Rowan Hamilton）和其他數學家的研究進一步推動了邏輯主義的發展，他們通過有序的實數對為復數和實數提供了邏輯基礎。
1879年，弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege）在他的著作《算術基礎》（Grundgesetze der Arithmetik）中正式提出了“邏輯主義”，即認為數學概念可以歸約為邏輯概念，數學定理可以證明為邏輯定理的直接結果。之后，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素在研究弗雷格的工作時發現了“羅素悖論”，這一悖論揭示了弗雷格系統中存在的邏輯矛盾，也表明了僅憑邏輯原理可能無法完全建立數學的基礎，對邏輯主義構成了嚴重挑戰。
為了解決羅素悖論并繼續推進邏輯主義，羅素與老師阿爾弗雷德·懷特黑德于1902年開始了合作，一同創建一個堅實的數學和邏輯體系，以證明數學可以完全建立在邏輯的基礎之上，其共同的作品便是《數學原理》一書。
內容概要
第一卷
第一卷源于現代數學分析、幾何學、集合論和符號邏輯的交叉融合。伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素與懷特海通過對傳統公理的重新審視和證明，不僅質疑了這些公理的必要性，還擴展了數學的研究范圍，使其觸及了此前無法用數學方法研究的領域，如無限數的概念。
在書中，羅素為了避免廣泛的哲學討論和爭議，采取了一種教條主義的陳述方式，以確保理論的嚴謹性。他們構建了一個嚴密的演繹系統，包括對現有數學的分析和基于選定前提的重建與推導。為了展示假設和結果之間的邏輯關系，書中提供了詳盡的證明。書中還強調了一般化的重要性，即在可能的情況下，從最一般的假設出發來得出結論。此外，為了解決邏輯和集合論中的矛盾和悖論，書中引入了類型理論的概念，并根據實際需要發展出用于進行復雜數學推理的符號邏輯。
本卷分為數學邏輯（Mathematical Logic）、基數算術序言（Prolegomena to Cardinal Arithmetic）兩章內容，以及附錄和定義清單。
數學邏輯
本章內容專注于傳統上屬于符號邏輯領域或者因其普遍性而應當屬于該領域的話題，旨在建立命題、命題函數、類和關系的性質，這些性質在任何數學推理中都可能是必需的，不僅限于數學的某個分支，而是依賴于原始命題的演繹鏈條，以及形式化的計算系統。
本章構成了整個著作的邏輯基礎，并以此建立一個堅實的邏輯框架，以便后續部分能夠在此基礎上展開更復雜的數學理論。其中，命題邏輯在《數學原理》中首次被作為獨立的理論體系提出，它使用符號化語言表達命題之間的關系。書中的命題邏輯基于兩個原始連接詞：否定（～）和析取（∨），而蘊含（?）是由這兩個連接詞定義的。命題邏輯的公理化方法包括了一系列基本命題（Pp），例如：
這些公理通過模態命題（Modus Ponens）和替換規則進行推導。 該部分內容從某些關于從一個命題或斷言的命題函數推導出另一個命題的公理開始，分為A-E五個小節：
A.類型理論（The Theory of Deduction）中，推導出與通過給定命題獲得新命題的四種方式（否定、析取、并置斷言和蘊含，后兩者可以用前兩者來定義）相關的各種命題。類型理論是本書解決邏輯悖論的關鍵機制，特別是羅素悖論，其中“分支類型理論”（Ramified Theory of Types）通過限制命題和函數的類型來避免自引用和無限回歸。在類型理論中，個體、命題函數、以及命題函數的函數被分配到不同的類型層次，以確保邏輯表達式的合法性。類型理論的引入，使得《數學原理》能夠定義一個復雜的系統，稱為“類型化的關系理論”，這與弗雷格的邏輯系統有顯著的不同。
B.顯變量理論（Theory of Apparent Variables）中處理包含顯變量的命題（即涉及“所有”或“一些”概念）之間的關系，以及它們與不含顯變量的命題之間的關系。
C.類與關系（Classes and Relations）中涉及類和類比于類的關系到，展示了類和關系是“不完全符號”，并處理了類和關系的演算。并在*24中討論了類具有命題所不具有的某些屬性。在討論本節內容時，作者采用了一種稱為“語境定義”的方法，它允許從談論類的語境中消除類術語，通過這種邏輯可以合理排除了集合論中出現的悖論，如羅素悖論。
D.關系邏輯（Logic of Relations）中專門討論了關系的那些沒有類比于類的屬性，并引入了許多在整個工作中不斷需要使用的思想和符號。此外，該節還補充了一篇注釋，以對該節內容的總結及部分問題的澄清。
E.類的積與和（Products and Sums of Classes）擴展了類或關系的加法和乘法的概念，以處理加數或因子不是單獨給出，而是作為某個類的成員給出的情況。從形式化計算的角度來看，數學邏輯有三個類似分支：命題的演算、類的演算和關系的演算，每個分支都有否定、加法、乘法和蘊含或包含的類似概念。
基數算術序言
本章的研究對象上與第一章有一定的連續性，但更側重于對基數算術有直接影響的數學對象。雖然基數算術是第二章的最終目標，但所研究的對象也對序數算術和級數理論至關重要，并為為數學的數論基礎提供了嚴密的邏輯框架。
本章使用了一系列的定義和公理來構建基數算術。例如，定義基數數（定義為類的所有類似類的類）的公式是：，這個公式表明基數數是所有與給定類相似的類的類，其中相似性意味著可以通過一一對應來關聯元素。通過這些定義和公理，《數學原理》不僅為自然數提供了一個堅實的邏輯基礎，而且還展示了如何將這些概念擴展到更廣泛的數學結構，如有限和無限的基數算術。這為后續卷冊中對有理數、實數以及更高級數學概念的探討奠定了基礎。
該部分為理解基數算術奠定了基礎，同時引入了一些關鍵的數學概念和理論，這些概念和理論在后續部分中將發揮重要作用，分為A-E五個小節：
A.單元類和對（Unit Classes and Couples）中，討論了單元類和偶對，其中單元類是只包含一個給定項的類，是構建更復雜數學結構的基礎，它們代表了數的不可分割的單元，而偶對則是基于基數或序數定義的。
B.子類、子關系和相對類型（Sub-Classes,Sub-Relations,and Relative Types）探討了給定類的所有子類，并給定關系的子關系，以及“相對類型”的概念，這些在算術中尤其有用，特別是在與存在性定理相關的上下文中。
C.多對一、一對多和一對一關系（On-Many,Many-One,and One-One Relations）涉及一對多、多對一和一一對應的關系，定義了相似性的概念，是基數算術的基礎。
D.選擇（Selections）引入了選擇函數的概念，允許從給定的集合中選擇特定的元素，這是現代集合論中的一個基本概念這是基數和序數乘法的基礎。
E.歸納關系（Inductive Relations）涉及數學歸納法的一般形式，它不僅適用于有限整數，且適用于所有關系，其命題在理論中極為重要，尤其是在處理有限和無限的理論中，以及在從一對多、多對一或一一對應關系導出級數的許多其他主題中，例如通過連續構造和諧音點來對射影空間的“有理”點進行排序。
附錄
第一卷的附錄部分由三個主要部分組成，包括推論規則、數學歸納法的應用，以及命題在邏輯和語言中的復雜性：
附錄A：專注于含有顯變量的命題的類型理論，解釋了如何通過基本命題構建矩陣并從中推導出新的命題。它詳細討論了命題的邏輯運算，包括否定、析取、并置斷言和蘊含，并引入了一些用于處理這些運算的基本規則和定義。
附錄B：討論了數學歸納法及其在不依賴可還原性公理時可能遇到的難題。文中提出了一種避免這些問題的方法，并通過定義歸納類的概念來簡化處理。此外，還探討了區間的概念，并證明了在特定條件下，區間可以作為一個歸納類，為數學歸納法提供了堅實的基礎。
附錄C：深入討論了命題在邏輯中的作用，區分了命題作為事實的類和作為真值載體的特定事件。它還涉及了命題在真理函數中的“透明性”以及在非真理函數中的不同表現。討論了命題分析的問題，即如何將命題分解為其組成部分，并探討了命題和命題函數在邏輯表達中的區別。
定義清單
第二卷
第二卷首先對基數（Cardinal numbers）進行了定義，并討論了它們的一般邏輯屬性，基數是用來量化集合元素數量的數學概念。隨后，文本深入探討了基數的加法、乘法和指數運算，強調這些運算規則普遍適用，不僅限于處理有限數的情況。在討論有限與無限的概念時，文本指出這一理論的復雜性部分源自“有限”的雙重含義，這在不假設乘法公理的前提下是無法統一的。 此外，類型理論在本部分中發揮了實際作用，它為解決關于最大基數的邏輯矛盾提供了方法。
整體而言，這一部分強調了類型理論在確保數學邏輯一致性方面的核心作用，同時展示了基數在數學理論和實踐中的基礎性重要性。本卷分為基數運算（Cardinal Arithmetic）、關系算術（Relation-Arithmetic）與序列（Series）前半部分三章內容。
基數運算
該章深入探討了基數理論的核心概念，包括它們的定義、運算以及與有限和無限相關的概念，旨在建立一個堅實的數學邏輯基礎，助于讀者更深入地理解有限、無限等概念在數學中的含義和應用。
展開了對基數數（Cardinal numbers）的全面研究，這些基數數是數學中用于表示集合大小的概念。此部分從定義基數數開始，通過一系列邏輯嚴密的步驟，逐步建立起基數算術的基礎?；鶖禂档亩x是基于集合間一一對應關系的概念，即如果兩個集合之間可以建立一一對應，則它們具有相同的基數。《數學原理》中基數數的定義為：，表達了一個集合x是基數數的條件，即集合x的所有元素y都能與通過一一對應z和w相匹配，其中表示z和w是相似的。
本章引入了“同構基數”（Homogenous cardinals）的概念，指的是由相似類組成的類，其成員都是相同類型的。這使得對基數數的研究更加系統化；定義了基數數的加法和乘法，這些定義允許將自然數的算術運算推廣到更一般的基數數上。例如，基數數的加法被定義為：這個定義通過配對操作將兩個集合的元素合并，從而形成一個新的基數數，它代表了兩個集合合并后的大小。
此外，本章還探討了基數數的無窮性，引入了無窮公理（Axiom of Infinity），它保證了對于任何有限集合，都存在不在該集合中的新個體，從而可以構造后繼元素，這對于自然數的構建至關重要。
該章共分為A-C三個小節：
A.基數詞的定義和邏輯性質（Definition and Logical Properties of Cardinal Numbers）闡述了基數的定義和邏輯屬性，強調了其在數學邏輯中的重要性，并解釋了如何通過避免不必要的不可定義概念來簡化數學理論。同時，它也闡明了基數與類別之間的關系，以及如何處理零和單位基數的特殊情況。
B.加法、乘法和指數（Addition,Multiplication and Exponentiation）深入探討了基數的算術運算，包括加法、乘法和指數運算，以及基數之間的大小關系。作者的目標是確保算術運算的定義具有最大普遍性，使其既適用于有限也適用于無限類別的基數。此外，定義將允許在一個和或乘積中涉及無限數量的加數或因子，并能夠處理不同類型的基數之間的運算。此外，在本節的*110·643中，作者給出了1+1=2的證明：首先定義自然數的“后繼”概念，即每個自然數n的后繼是n+1，然后利用數學歸納法，證明了1的后繼（即2）是存在的，并且是唯一的。
C.有限和無限（Finite and Infinite）中表述，雖然在定義算術運算或證明它們的正式法則時并不需要區分有限和無限，但有限基數和類別與無限基數和類別之間存在許多重要的差異，除非借助乘法公理，這兩種定義方式不能被證明是等價的。為了避免概念上的混淆，作者建議采用不同的術語來區分這兩種分類方法：第一種定義方法導致的分類稱為歸納的和非歸納的，而第二種方法導致的分類被稱為非自反的和自反的。這種區分對于深入理解有限和無限在數學中的含義及其應用至關重要。
關系算術
本章展示了如何將傳統的數的運算推廣到更一般的結構，主要探討了廣義算術。廣義算術不僅適用于序數算術，而且適用于所有關系，在處理生成序列的關系時尤為重要，并與基數算術有著密切的類比關系。該章節介紹了序數相似性、關系數、序數和、序數積等概念，并討論了這些概念如何滿足或不滿足特定的數學法則。
關系算術的核心思想是將關系視為可以進行數學操作的對象，類似于數的操作；探討了關系的序數性質，引入了“序數相似性”（Ordinal similarity）的概念，以及如何通過關系的冪（Powers of a relation）來構造關系的祖先（Ancestral）和后代（Descendants）；涉及了關系的有限和無限操作，以及如何通過關系來定義和理解數學中的無限概念。這部分共分為A-D四個小節，其內容在數學上具有開創性，為后來的數學家和邏輯學家提供了一種全新的視角來研究和理解關系和結構：
A.序數相似性和關系數（Ordinal Similarity and Relation-Numbers）定義了關系之間的關系，稱為序數相似性或類同性，這與類別之間的相似性相似，并定義了關系P的關系數，即與P相似的所有關系的類別。這與類別a的基數定義類似，即與a相似的所有類別的類別.
B.關系的加法和兩個關系的乘法（Addition of Relations,and the Product of Two Relations）介紹了兩個關系P和Q的序數和，如果P和Q生成序列，那么它們的和定義為在P序列結束后添加Q序列得到的新序列，以及兩個關系P和Q的序數積，這是基于兩個關系領域中元節素的配對。同時作者在本節中定義了關系之間的加法、乘法以及指數。這些操作不是在傳統的數上進行，而是在關系的集合上進行，從而形成了一種新的數學結構。
關系的加法定義為：，這個定義表達了關系的加法可以看作是包含了關系P和關系Q中所有元素對的集合，同時還包括了那些在P中以x為起點或在Q中以y為終點的元素對；
關系的乘法則定義為：，說明了關系的乘法涉及到兩個關系域中的元素對的配對，并且按照一定的順序原則進行排列。
C.差商原則、關系乘法和指數（The Principle of First Differences,and the Multiplication and Exponentiation of Relations）介紹了關系算術中一個關鍵的原則，即“差商原則”，它在該領域的應用極為廣泛且重要。費利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）在其文章中已經闡釋并利用這一原則得到了重要結果，證明了其在關系算術中的價值。除了在關系數的乘法和指數運算中的應用，差商原則還用于序列中對不同類別集合的排序等其他方面；
D.關系數的算術（Arithmetic of Relation-Numbers）探討了關系數的算術運算及其屬性。這些算術屬性將基于先前部分中已經建立的關系的算術屬性來推導。此外，該節與“基數算術”章的B節相似，但排除了那些在“關系算術”章B、C節中已經討論過的類似主題。
序列
作者在這部分內容深入探討了序列和關系的數學理論，特別是那些能夠生成序列的關系；定義了序列關系及其屬性，說明了序列關系是不對稱、傳遞和連通的，并且闡述了序列與生成關系之間的聯系，即序列由其生成關系所完全決定，同時指出了傳遞關系在簡化序列相關命題中的應用，以及如何通過領域來確定包含在更大序列中的子序列。
該章共分為A-C三個小節：
A.一般序列理論（General Theory of Series）中講述序列關系是具有三個不同屬性的關系：多樣性（Diversity）、傳遞性（Transitivity）和連通性（Connexity）。連通性指的是關系或其逆關系在其領域內任意兩個不同成員之間都成立，同時序列關系是不對稱的、傳遞的和連通的。作者在本節定義了序列的概念，并提出了序列的基本性質。序列被定義為具有不對稱性（Asymmetrical）、傳遞性（Transitive）和連通性（Connected）的類。例如，一個序列P可以被定義為：其中xPy 表示x在序列P中先于y。
B.關于節、段、伸展和偏導數（On Sections,Segments,Stretchrs,and Derivativrs）探討了序列的子集、段（Segments）、伸縮（Stretches）和導數（Derivatives）等序列理論中的關鍵概念；定義“戴德金序列”（Dedekindian series），并證明關于序列段的序列總是戴德金序列的重要命題，即每個段的類別都有一個最大值或極限。以及收斂性、函數的極限以及連續函數的定義；
C.收斂性與函數的極限（On?Convergence,and?the?Limits?of?Functions）探討了序列的收斂性（Convergence）和函數的極限（Limits），專注于收斂性、函數的極限以及連續函數的定義。這一節的目的是展示這些數學概念可以在比傳統方法更一般的情況下被表達，并且能夠確立它們的許多屬性。同時，這種討論并不假定函數的參數或值必須是數值的或可以用數值度量的，從而允許在更廣泛的數學和邏輯框架內探討這些概念。
第三卷
本卷在第二卷的基礎上，進一步發展了級數理論，并對測量理論進行了系統的介紹。第六部分（量）的比例和測量理論是本卷的創新之處，它建立在歐幾里得《幾何原本》第五卷和布拉利-福爾蒂的工作之上，并提出了將數量視為廣義上的“向量”，從而將比例視為關系之間的關系等理論，降低了通常在此類研究中強調的向量形成群的假設的重要性。
作者發展了一種比率和實數的理論，不將比率視為簡單的整數對，而是作為兩個實際數量之間的關系。在“向量族”理論中，作者在引入數字之前就發展了它們的許多屬性，展示了測量理論是如何從兩個純理論——一個關于比例和實數的算術理論，另一個是關于向量的純理論——的結合中產生的。此外，為了幾何學的應用還討論了循環族，例如給定平面上關于給定點的角度。這些理論不僅在數學上具有創新性，而且對于后續卷中幾何坐標的引入也具有重要意義。
本卷分為第二卷“序列”續章、量（Quantity）兩章內容。
序列（續）
該部分繼續深入探討了序列的理論，這部分內容是對第二卷中序列理論的延伸和深化。第三卷的序列部分主要集中在序列的良序性、序數、以及與無限性相關的概念上，共分為D-F三小節：
D.良序序列（Well-Ordered Series），即一種特殊類型的序列，其中每個存在的子類都有一個第一項，具有許多一般序列所不具備的重要屬性。良序序列（非空）都有一個第一項，并且除了最后一個項（如果有的話）之外，每個項都有一個直接后繼；良序序列遵守一種稱為超限歸納的擴展數學歸納法，它涉及類的后繼而不是單個項的后繼等等。良序性意味著序列中的任何非空子集都有一個最小的元素。這一概念在數學中非常重要，因為它允許通過歸納推理來證明關于自然數的一般性命題，并在數學的多個領域中具有重要應用，尤其是在集合論和序理論中。
作者還在這一節中提出所有序數構成的序列是良序的，并且可以被賦予一個序數，但由于類型理論的限制，不存在一個序數來表示“所有序數”的集合，因為這樣的集合會導致邏輯上的悖論；討論了策梅洛定理（Zermelo’s theorem），該定理在選擇了公理的情況下表明，每個集合都可以被良序化。這一結果與選擇公理等價，并且展示了良序原理在集合論中的重要性。
E.有限和無限序列以及序數（Finite and Infinite Series and Ordinals）討論了有限與無限序列的區別、有限序數的屬性、最小的無限序數（第一個不可數序數，不是任何小的序數序列的極限），以及一些特殊的序數和基數序列。同時，它還提到了在序列理論中經常使用的生成關系，以及如何通過這個關系來定義序列中的中介項數量。其中，中定義序數時使用了復雜的邏輯構造，以確保避免像布拉利·福爾蒂悖論（Burali-Forti paradox）這樣的邏輯矛盾。
F.緊致序列、有理序列和連續序列（Compact Series,Rational Series,and Continuous Series）內容討論了緊湊序列（Compact series）的概念，以及與緊湊性相關的一些序列類型（德恩金連續序列、有理序列、連續序列）及其屬性，強調了緊湊性在定義和理解不同類型的數學序列中的重要性，并且指出了當緊湊性與其他性質（如德恩金連續性）結合時，可以產生具有豐富數學屬性的序列。這些概念在實分析和拓撲學中有重要應用，它們幫助數學家處理實數和實數序列的性質。
量
該章旨在闡述數字在測量應用方面的種類。為此需要考慮數字的一般化形式，且討論的數字僅限于整數（基數或序數）。該部分主要涉及數字在測量方面的應用，包括數字的一般化、量的種類、向量族的測量，以及循環向量族的特殊測量問題。
本部分標志著從純粹的數學邏輯和數論問題的重要的轉向，將物理世界中量度（Measurement）和物理量（Quantities）進行了數學處理，深入探討了如何將數學應用于實際的物理量度，包括對向量、比率、實數以及它們在幾何和物理學中應用的討論。不僅展示了數學概念如何在實際問題中發揮作用，還體現了作者試圖建立一個全面數學體系的雄心，這個體系能夠從邏輯的基礎出發，解釋和理解自然界的現象。本章共分為A-D四個小節：
A.數的推廣（Generalization of Number）主要圍繞數列的定義、關系的冪運算、無號比率（即不考慮正負號的比率）的定義以及實數的引入和運算規則展開，強調了數學運算中定義的精確性，以及在引入新的數學概念（如實數）時，保持運算性質的重要性。其中將比率（Ratios）的定義表示為：，其中R和S表示兩個關系，n和m是互質的整數，和分別表示R的n次冪和S的m次冪。當時，x與y之間存在n與m的比率關系。
B.向量族（Vector-Families）一節中，作者所處理是“量的種類”：例如，質量、空間距離、速度，每種都構成一種量，并將每種量視為“向量族”，即具有相同共軛域的一一關系類，并且它們的域都被包含在它們的共軛域（Converse domain）中。該部分解釋了將量視為向量的原因，并考慮不同類型的向量族，目的是獲得可以通過比率或實數進行測量的族。
C.測量（Measurement），即通過測量發現向量族成員之間的比率或由實數表示的關系。如果一個向量族包含一個成員（單位），使得任何其他成員必然與包含一種關系，這種關系要么是比率，要么是實數，那么這個向量族就是可測量的。將展示某些類型的向量族在這種意義上是可測量的，并且這樣定義的測量具有我們期望它擁有的數學屬性。例如，如果兩個物體具有相同的重量或長度關系，它們就被認為是等價的。
D.循環族（Cyclic Families）是一類特殊的量度問題，涉及到如角度或橢圓直線這樣不開放的家族。循環族的測量需要一種特殊的理論，以適應這些循環或周期性的性質。應用于這類族的測量理論呈現出特殊的特點，因為可以將任意數量的完整旋轉加到一個向量上而不會改變它。因此，不存在兩個向量之間的單一比率，而是有許多比率，通常從中選擇一個作為主要比率。
重要概念
《數學原理》一書中的多個重要哲學概念，在數學哲學領域的深遠影響，它們不僅對數學的基礎產生了重要影響，也對邏輯學和語言哲學產生了深刻的啟示。
邏輯主義
邏輯主義是一種哲學立場，它認為數學概念可以歸約為邏輯概念，數學定理可以通過邏輯推理從邏輯公理中得到證明。在《數學原理》一書中，作者強調了純粹數學能夠完全基于邏輯的前提和概念推導出來。為了應對悖論（如羅素悖論），書中引入了類型理論，通過區分命題和集合的層次來避免自引用和循環定義的問題。此外，命題函數和類的概念被用來構建數學的邏輯基礎，而符號邏輯的使用則使得數學推理得以形式化，從而減少歧義和錯誤?！稊祵W原理》中的數學歸納法被重新解釋為一種定義，而非原理，有助于在邏輯框架內處理自然數的推理。關系算術的引入允許數學結構的邏輯性質被形式化，使得數學結構可以被邏輯地分析和理解。邏輯主義以此為數學提供一個堅實的邏輯基礎，并對后來的數學邏輯和數理哲學產生了深遠的影響。
類型說
類型說是一種由伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素在《數學原理》中提出的邏輯學理論，旨在解決數學和邏輯中出現的悖論，尤其是羅素悖論。該理論通過建立一個嚴格的層次結構來避免邏輯自引用，即一個集合或命題函數不能包含自身作為成員或值。在這個層次結構中，每個類型的集合或命題函數都是建立在前一個類型基礎之上的，確保了集合的成員必須是比該集合本身低一類型的。類型說中，命題函數和命題被明確區分，命題函數是一種含有變量的邏輯表達式，它對于特定的變量值表達一個命題。此外，類型說還規定了不同類型之間的操作規則，限制了命題函數的應用，以保證邏輯表達式的合理性。通過這些方法，類型說試圖消除悖論產生的邏輯矛盾，確保數學和邏輯推理的一致性，并在《數學原理》中被用來構建數學的基礎，對邏輯學和數學哲學產生了深遠的影響。盡管類型說在理論上提供了解決悖論的方案，但它也帶來了一定的技術復雜性，并非所有邏輯學家和數學家都完全接受這一理論。
敘述學說
敘述學說是伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素在《數學原理》中提出的一種邏輯分析方法，用以區分名稱和敘述在邏輯和語言中的根本差異。該學說認為，名稱如“沃爾特·司各特（Scott）”直接指代一個特定的對象，而敘述如“《威弗雷》的作者”則描述了一個對象的屬性或關系，并不直接指代任何對象。羅素通過敘述學說分析含有敘述的命題，主張這類命題實際上是關于那些滿足敘述條件的對象，而非敘述本身。這種方法有助于澄清存在句的邏輯結構，如“《威弗雷》的作者存在”被解釋為存在某個人寫了《威弗雷》，而非指存在一個對象是“《威弗雷》的作者”。敘述學說在解決邏輯悖論、提高語言精確性、簡化邏輯表達方面發揮了重要作用，對邏輯學和語言哲學產生了深遠的影響，并最終被廣泛接受為現代邏輯分析的一個重要工具。
數學歸納法
數學歸納法是一種廣泛應用于數學證明中的方法，用于確立關于自然數的普遍命題。在《數學原理》一書中，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素和阿爾弗雷德·懷特黑德提出數學歸納法不應被視為一個獨立的數學原理，而是作為一種定義來理解。這種方法包含基礎步驟和歸納步驟：基礎步驟證明命題對于最小的自然數成立，而歸納步驟證明如果命題對于某個自然數成立，則對于它的后繼數也成立。書中進一步將數學歸納法與祖先關系的概念聯系起來，通過定義“后代”來闡釋有限性的概念，從而使得數學歸納法可以推廣到更廣泛的結構上。該種方法不僅為數學歸納法提供了堅實的邏輯基礎，而且通過類型說的概念，確保了數學的嚴格性和無矛盾性，極大地簡化了對無限多命題的證明過程，對數學理論和實踐產生了深遠的影響。
選擇公理
選擇公理是數學中的一個關鍵性原則，它允許從任意多個非空集合中各選擇一個元素，即便這些集合是無限的。在《數學原理》一書中，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素與阿爾弗雷德·懷特黑德將其與數學歸納法和乘法公理聯系起來，擴展了數學歸納法的應用范圍，使其適用于無限集合的情形。選擇公理在簡化數學證明和處理涉及無限集合的問題時發揮著重要作用，盡管它曾引起一些爭議，特別是關于無限選擇的可行性。該公理與類型說相結合，為數學提供了堅實的邏輯基礎，確保了數學的嚴格性和無矛盾性。選擇公理在現代數學的多個分支中都是不可或缺的，包括代數、拓撲學和實分析等，它使得數學家能夠在不改變集合本質結構的前提下進行選擇，對于數學理論和實踐的發展具有深遠的影響。
結構概念
結構概念在《數學原理》中是通過關系算術得到精確定義的，它指的是在邏輯上可以互換而不改變次序的關系的特性。這一概念允許數學家分析和比較不同關系之間的共同邏輯特性，特別是當這些關系在次序上是類似的時候。結構不僅與邏輯性質緊密相關，而且它在數學的多個分支，包括幾何學中，對于理解不同幾何對象之間的共同性質具有重要作用。此外，結構概念在經驗科學中也非常重要，因為它意味著具有相同結構的關系在邏輯上具有相同的性質，這對于理解自然界的規律和模式至關重要。羅素強調了關系算術提供的符號技術，這種技術使得結構概念的應用更為精確和廣泛。結構概念不僅在理論數學中占有重要地位，而且在實際問題，如辭典編輯問題等，既展示了其應用價值，又促進了對數學對象和概念的深入理解。
成書過程
皮亞諾的啟迪
1900年7月，首屆世界哲學大會（World Congress 哲學）在巴黎舉行，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素與阿爾弗雷德·懷特黑德決定參加這次大會，羅素更是受邀在會上宣讀論文。會議上，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素遇見了意大利數學、邏輯學家皮亞諾（Giuseppe Peano），并在會議討論中見識到皮亞諾嚴密的數學邏輯，其在參加任何辯論時都會占據上風。羅素請求皮亞諾送予自己他的全部著作，并在會議之后進行潛心研究。羅素也因此通過皮亞諾的著作印證了其創造的符號正好是自己尋求多年的、可用來進行邏輯分析的工具，為自己的研究工作提供了一種強有力的新技術。9月，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素將皮亞諾的學派方法推廣到關系邏輯上，開始與導師阿爾弗雷德·懷特黑德每晚討論數學分析的各類問題，通過幾個星期的徹夜研討，發現了自身對基本概念、像序和基數的種種問題的最后答案。在這一階段，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素甚至認定：“以前留給哲學家任其暖昧不明的思想去發揮的領域都可以由精確的公式來征服。”
同年的從10月開始起筆，到年末最后一天，羅素完成了《數學的原理》（The Principles of 數學）（又譯為《數學基礎》）的手稿，羅素在書中初步闡明了“數學與邏輯是同一的”這一觀點，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素認為要完善這一論題，需要更新邏輯。此前，阿爾弗雷德·懷特黑德也曾于1898年出版了自己的數學著作《泛代數論》(A Treatise on Universal Algebra)，成為兩人合作完成《數學原理》的契機。
羅素悖論的困擾
1901年的春季學期，劍橋大學教授梅特蘭（Frederic William Maitland）去馬德拉群島休養，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素與妻子愛麗絲·皮爾索爾·史密斯（Alys Pearsall Smith）同懷特海一家舉家搬到梅特蘭教授在唐寧學院的房子。此時，懷特海夫人伊芙琳的心臟病已較為嚴重，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素夫婦和懷特海都擔心她的病情以及對懷特海著書狀態的影響。在春季學期結束時，羅素與妻子再度回到費恩赫斯特。
5月，羅素開始論證格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）提出的猜想（即最大數不存在，亦稱“最大基數悖論”），并通過研究弗雷格的理論進而提出“羅素悖論”，一個具有自指性質的悖論：對于任意一個集合A，A要么是自身的元素，即；A要么不是自身的元素，即。根據康托爾集合論的概括原則，可將所有不是自身元素的集合構成一個集合S1，即。
伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素試圖將康托爾的證明應用于所有存在事物的類上，從而引發了關于那些不是它們自身元素的類的思考。這種思考進一步引導他提出了一個問題：所有這種不是它們自身元素的類構成的類，是否是它自身的元素。然而，無論他給出的答案是肯定還是否定，都導致了邏輯上的矛盾。這促使他進一步思考如何完善和發展數學邏輯體系，以應對這類悖論帶來的挑戰。1901年下半年，羅素決定擱置該問題，并繼續完成《數學的原理》，并于秋天在劍橋大學授課兩個學期的數理邏輯，以及講演《數學的原理》的大綱。5月23日，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素正式完成了《數學的原理》一書，開始出版，并在之后開始致力于其中數學的細節論述，成為后來《數學原理》第一卷的內容。
第二卷的開始
1901年夏，羅素與阿爾弗雷德·懷特黑德開始討論第二卷事宜，從邏輯出發推導數學的課題令懷特海產生了極大興趣。這一時期，懷特海已經開始寫作《泛代數論》的第二卷，但這兩卷實際上論述的是相同的課題，所以決定與羅素聯手合著《數學原理》的第二卷，羅素也為老師的加入感到高興。
根據他們的合作協議，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素主要負責該項目的哲學部分，包括撰寫本書的引言，介紹理論背景。在技術推導方面，除了那些從皮亞諾那里繼承的以外，阿爾弗雷德·懷特黑德又創造了大部分的符號系統，完成了大部分的推導工作。為了確保著作的質量，他們采取了嚴格的審稿制度。每個部分都經過了三遍以上的修改，每當一個人完成初稿后，都會將其交給另一個人進行審閱和修改。
著書期間的插曲
在《數學原理》的撰寫期間，羅素對政治問題依舊保有持續的關注，尤其是自由貿易與帝國主義的問題。原先，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素受到休因斯關于帝國主義和關稅同盟的影響，但在1901年經濟危機后，他的觀點出現了顯著的轉變。他開始堅定地支持自由貿易，并轉變為和平主義者，這一轉變反映了他對時代變遷的敏銳洞察和深刻思考。
1902年，羅素加入了“系數”小會餐俱樂部，與悉尼·韋伯 (Sidney James Webb）在內的成員從帝國主義的視角探討政治問題。羅素在這個俱樂部中，被部分成員對戰爭的狂熱渴望感到震驚，這與他自身的和平主義立場形成鮮明對比。與此同時，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素還積極投身于婦女參政權的運動中。他認識到爭取更廣泛的公民權更符合當時執政的自由黨人的利益，并最終選擇脫離正統的婦女參政權團體，轉而加入倡導成年人參政的團體，以此表達他對民主與平等的堅定追求。此外，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素還參與了與皇家學會相關的籌款活動，從中汲取了團隊合作和資金管理的經驗教訓，為日后的工作和研究提供了有益的參考。
摹狀詞與類型論的提出
在撰寫《數學原理》一書期間，阿爾弗雷德·懷特黑德已經積欠了劍橋大學商人們大筆賬款，為了分擔懷特海的養家義務，并促使他繼續完成《數學原理》的撰寫，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素開始暗地里向伊芙琳提供必要的錢財，捐出自己得到的所有資金甚至為此借款。
1903年和1904年兩個夏天，羅素在撰寫上遇到了邏輯思維和情緒上的雙重打擊，他一邊下定決心，不讓任何困難阻止自己完成《數學原理》，但也非常懷疑自己的全部余生都會耗費在這堆白紙上。1905年，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素和妻子搬至牛津大學附近新建的房子，并發現了“摹狀詞理論”，開啟了解決羅素邏輯思維問題的第一步。他認識到，摹狀詞在一個非常重要的方面與實詞不同:它們在單獨使用時不具任何意義，只是當它們組合在句子中時才賦子意義。伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素也開始進一步解構此前的悖論困擾。
羅素曾將相關推論寫為《指稱論》（On Denoting）于1905年送交《精神》（Mind）雜志的編輯斯托特教授，也因此發現其適用于日常生活語言描述的論證，也同樣適于基本上屬于數學方面的邏輯悖論。1906年5月，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素特別論述了其中的一種方法，即“類型論”（Theory of Types），拋棄了“類”的概念和“一般命題”的概念，他認為這些都僅僅是人們頭腦中的臆想，試圖以排除識別類別的必要性，來削弱悖論的力度。
對于敘述理論的精確表達法，羅素寫為1908年《美國數學雜志》（American Journal of 數學）的《以類型論為基礎的數理邏輯》（Mathematical Logic as Based on the Theory of Types）一文，將五年前寫入《數學的原理》一書中的一些粗線條的內容發展成為一種成型的理論。但對于伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素的解決辦法，阿爾弗雷德·懷特黑德并不完全接受，羅素則認為自己心頭的云霧盡散，已見晴空，自發現類型論以后他只想寫完一本關于這一理論的書。
完稿與出版
在著書的后半階段，懷特海被自己的教學工作打斷，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素開始承擔剩余工作的絕大部分內容。從1907年到1910年，羅素每年約投入8個月時間，每天10到12小時去完成《數學原理》的寫作。該書的手稿在羅素的房子里堆積如山，乃至于他每次外出散步都會害怕房子失火而過度緊張。工作和心理的雙重壓力令羅素幾近崩潰，他甚至一度站在牛津大學附近的肯寧頓的人行橋上，望著行駛的火車準備一躍而下。
1909年春，《數學原理》完稿在即，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素與阿爾弗雷德·懷特黑德夫婦一起去康沃爾度過了一個短暫的假期，開始面對沒有《數學原理》相累的未來，但羅素依然心心念念著完成完成書著，等到出版問世后對阿爾弗雷德·懷特黑德能有經濟上的幫助。同年秋天，懷特海開始洽談出版事宜。伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素認為此時已經是“茫茫大海中，陸地已在望”，但《數學原理》依然有著很多難以逾越的障礙，任何一家出版社的排字模具都無法覆蓋該書中全部字符代碼，其過長的篇幅也讓出版商不得不向二人提出修改建議。對于刪減問題，懷特海認為應刪去了該書對各種學術流派"最具力度”的或者說最富永久性的論述，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素對此表示贊同。
1910年《數學原理》終于成書，共計三卷、五百頁，并于1913年正式出版。出版前，劍橋大學出版社預計該書的出版將造成600英鎊的虧損，決定與作者利潤五五分成，條件是皇家學會或其他渠道出300英鎊贊助費。但皇家學只出資200英鎊，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素與阿爾弗雷德·懷特黑德則自掏腰包，每人貼補了50英鎊。出版社為第1卷印刷750本，第2、3卷各印500本。在1911年第二卷印刷過程中，懷特海發現了符號主義的困難，導致出版進程被打亂。為了解決這個問題，在第二卷的開頭插入了一個長篇的“符號約定序言”。此外，在《數學原理》第三卷之后，懷特海還有寫作了關于幾何學的第4卷，但并未完成及出版。
后續與再版
伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素曾認為自己一經完稿將會感到一種輕松和如釋重負，但在書稿真正脫手后卻帶來精神上的解脫和空虛，以至于自己的個人生活因撰寫《數學原理》這一工作消失而亂成一團。
1922年美國哲學家魯道夫·卡爾納普（Paul Rudolf Carnap）向伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素索要《數學原理》的副本時，這部作品已經售罄。作為回應，羅素向卡爾納普發送了一份35頁的手寫摘要，其中包含了該作品的一些重要定義和定理。由于無法獲得用于第二次印刷的印版，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素開始該書準備第二版，并于1925至1927年出版。第二版中，第一卷與新的引言一起重新排版，并附有三個附錄；第二卷也進行了重新排版；第三卷是通過影印復制，所以頁碼與第一版第三卷相同。
在完成該書后，師生兩人逐漸關系冷淡。在《數學原理》第二版中，羅素在書中加入了一些新的思想理論，但依舊用兩人共同署名，對此，懷特海自1925年起直到逝世前都對其不滿并不能釋懷。
1999年，蘭登書屋（Random House）的《當代文庫》（The Modern Library）編輯委員會選出本世紀百大最佳英文非小說，《數學原理》位列第23位。
影響
哲學研究
作為邏輯主義哲學的代表作，《數學原理》試圖將數學建立在邏輯的基礎上，這一邏輯主義的立場對后來的哲學研究產生了重要影響，尤其是在數學哲學和邏輯哲學領域，這一邏輯主義的立場對20世紀的數學哲學和數理邏輯產生了重要影響。如書中引入的哲學概念——命題函數、邏輯構造和類型理論等，對哲學的其他領域產生了廣泛影響；伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素在書中運用了新的數理邏輯工具來分析傳統的哲學問題，其闡述的邏輯系統和方法論啟發了后來的數學家和邏輯學家，包括庫爾特·卡塞雷斯（Kurt G?del）的不完全性定理。
該書的出版也持續激發著后來的哲學探索。它提出的諸多問題和解決方案，成為了后續哲學家研究和討論的重要基礎，也同時推動了哲學教育和研究的進步，特別是在邏輯學和數學哲學這兩個領域，為哲學研究者提供了全新的研究工具和思考視角，促進了哲學與科學之間的對話，尤其是在邏輯學、數學和哲學的交叉領域。
數學理論
《數學原理》嘗試系統化地推導出數學理論，為后來的數學邏輯研究提供了重要的基礎和工具。這些研究領域包括模型論、證明論和遞歸論等。
在數學概念方面，《數學原理》通過邏輯概念來表述數學概念，并嘗試僅用邏輯原理來推導數學原則；為了克服邏輯和數學中的一些悖論，引入了類型理論，特別是復雜的“類型化理論”（Ramified theory of types），并為解決類型理論中出現的一些問題引入無窮公理（Axiom of infinity）和可還原性公理（Axiom of reducibility），這些公理和理論的引入，使得《數學原理》在處理數學概念和原則時，采取了與當時主流的公理集合論不同的方法；避免了將數學分析歸結為算術的方法，這與當時的公理化集合論有所不同等。共同為物理和幾何學中數學的應用提供了理論支持，并明確了數學與邏輯之間的復雜關系，以及數學推導中邏輯的作用和限制。
此外，《數學原理》一書的出版對數學教育和研究產生了影響，尤其是在高等數學和邏輯學的教學中，它為數學家和邏輯學家提供了新的工具和視角。
計算機科學
在計算機科學的基礎理論方面，《數學原理》的形式邏輯奠定了程序設計語言構建的理論基石，書中引入的類型理論，通過確保程序邏輯的嚴密性，幫助避免了類型錯誤，在現代編程語言如ML和Haskell中得到了體現。同時，該書也為數據結構的設計、類型理論的發展、形式系統的構建、計算理論的研究、模型論的應用、計算機邏輯的深化以及數理邏輯在程序驗證中的運用提供了堅實的理論支撐。
在計算機算法方面，《數學原理》展示了邏輯如何用于構建算法和計算模型，為理解計算機執行任務的方式和算法設計提供了重要的邏輯基礎。其中的遞歸函數和計算理論是理解計算機計算能力的核心；而其中的數理邏輯工具，也在自動定理證明和知識表示等計算機科學領域中發揮著重要作用，如命題邏輯和謂詞邏輯等；在應用方面，《數學原理》關于邏輯構造和命題函數的理論推動了人工智能領域的發展，如知識表示、邏輯推理和自然語言處理等方面，書中對數學和邏輯的系統化處理也為計算機應用的復雜性提供了方法論上的支持。此外，數學家們在20世紀50年代開始利用計算機研究《數學原理》中一些定理的證明，也取得了突出的成果。
語言與認知
伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素提出了基于感覺材料的邏輯構造論，這一理論試圖消解自然語言的本體論設定，提升語言表達的精確性。作者在書中通過展示邏輯如何澄清日常語言中的模糊性，促進了語言的清晰和精確表達。對命題函數的討論，為語言表達的意義和指稱提供了理論基礎。此外，書中的類型理論為分析語言和思維的分類與層級結構提供了工具，有助于深化人類社會對語言邏輯結構和認知功能的理解。
在思維認知方面，《數學原理》對知識的分類和性質進行了深入探討，區分了真理的知識與事物的知識、親知的知識與描述的知識；提出的邏輯構造理論幫助我們理解概念構建和認知過程，特別是在知識表示、邏輯推理和自然語言處理等方面，并在構建模擬人類認知的過程中提供了系統化處理方法。通過對《數學原理》的解讀，有助于學者對語言哲學和邏輯學的交叉研究，深化了人類語言與思維之間關系的理解，同時避免了語言“悖論”的產生。
評價
德裔美籍哲學家魯道夫·卡爾納普（Rudolf Carnap）評價：阿爾弗雷德·懷特黑德和伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素通過邏輯斯蒂導出數學已經嚴格地證明了，數學（不僅算術和分析而且幾何）所做的只是這樣的結構陳述。
德國數學家赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）評價：任何具備現實頭腦的人都不會相信這樣一個不自然的體系。
奧地利哲學家路德維?！ぞS特根斯坦（Ludwig Josef Johann Wittgenstein）評價：數學的真正基礎是像“1”那樣來自算術實踐的東西，而不是用幾百頁篇幅才能推出“1”來的《數學原理》。
馬克思主義學者艾倫·伍德（Alan Wood）評價：須知他的書（即伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素的《數學原理》）已經成了名著，名著可以說就是一本大家沒有讀過而以為通曉的書。
加拿大阿爾伯特大學哲學系教授伯納德·林斯基（Bernard Linsky）評價：《數學原理》改變了《數學原則》中的初始命題，帶來了新的證明，一些定理和引理隨著論題的發展而被刪除了，但《數學原則》中盡量多的結果還是被保留下來。 《數學原理》中的命題邏輯系統是一個逐步演化的結果。
專業傳記作家羅納德·W·克拉克（Ronald William Clark）評價：在與艾麗絲婚姻關系破裂后的苦惱歲月里，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素與阿爾弗雷德·懷特黑德合作完成了那部使他載入史冊的巨著——《數學原理》。這部著作就像馬克思的《資本論》一樣，更多的是為人們所議論，而不是閱讀。但是它第一次打下了數學的基礎。
中國社科院哲學研究所主任張家龍評價：以伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素為代表的邏輯主義在數理邏輯發展史上具有重要的歷史地位。阿爾弗雷德·懷特黑德和羅素的巨著《數學原理》是數理邏輯發展史上的一個里程碑，也是經典著作，起了承先啟后、繼往開來的偉大作用。
英國哲學家克里斯·格雷林（Anthony C.Grayling）評價：他（羅素）在邏輯史和哲學史上的地位已經確立下來。羅素后來在許多活動領域之所以能取得成就，大部分是由于他已經贏得了《數學原理》所賦予他的奧林匹斯山神的崇高地位。
參考資料 >
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