證明論（Proof theory），是數(shù)理邏輯的一個(gè)分支，它將數(shù)學(xué)證明表達(dá)為形式化的數(shù)學(xué)客體，從而通過(guò)數(shù)學(xué)技術(shù)來(lái)簡(jiǎn)化對(duì)他們的分析。證明通常用歸納式地定義的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)表達(dá)，例如鏈表，盒鏈表，或者樹(shù)，它們根據(jù)邏輯系統(tǒng)的公理和推理規(guī)則構(gòu)造。因此，證明論本質(zhì)上是語(yǔ)法邏輯，和本質(zhì)上是語(yǔ)義學(xué)的模型論形相反。和模型論，公理化集合論，以及遞歸論一起，證明論被稱為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的四大支柱之一。
證明論也可視為哲學(xué)邏輯的分支，其主要興趣在于證明論語(yǔ)義學(xué)的思想，該思想依賴于結(jié)構(gòu)證明論的技術(shù)型想法才可行。
正文
證明論
proof?Theory
研究數(shù)學(xué)證明的數(shù)學(xué)理論。數(shù)理邏輯的分支學(xué)科。數(shù)學(xué)
中的證明一向是邏輯學(xué)家研究的對(duì)象，但證明論是數(shù)學(xué)家D.戴維·希爾伯特于20世紀(jì)初期建立的，目的是要證明公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性，希爾伯特提出一整套嚴(yán)格的方案，規(guī)定只能用有限長(zhǎng)的證明，要無(wú)可辯駁地給出整個(gè)數(shù)學(xué)的無(wú)矛盾性。他打算先給出公理化的算術(shù)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性，再證明數(shù)學(xué)分析，集合論的無(wú)矛盾性。但1931年，庫(kù)爾特·卡塞雷斯證明：一個(gè)包含公理化的算術(shù)的系統(tǒng)中不能證明它自身的無(wú)矛盾性。這就是著名的哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ怼＿@個(gè)結(jié)果使希爾伯特方案成為不可能。但1936年，G.格哈德·根岑降低了戴維·希爾伯特的要求，允許使用無(wú)窮長(zhǎng)的證明，證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。到1960年，數(shù)學(xué)分析的一些片斷的無(wú)矛盾性也被證明。20世紀(jì)60年代以后，證明論不再局限于無(wú)矛盾性的證明。數(shù)學(xué)證明中的結(jié)構(gòu)，證明的復(fù)雜性，數(shù)學(xué)中不可判定問(wèn)題都成為證明論的研究課題，1977年，J.帕里斯發(fā)現(xiàn)算術(shù)理論中的一個(gè)自然的而又是不可判定的命題，這是一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)。它使算術(shù)中自然的不可判定命題的研究越來(lái)越受人注意。
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