選擇公理（Axiom of Choice）是ZFC公理系統中的一條公理，常簡記為AC。該公理斷言：任給由非空集合組成的集合F，必存在選擇函數f，使得對每個A∈F，都有f(A)∈A。
選擇公理起源于19世紀后半葉良序原則的證明。1883年，格奧爾格·康托爾（Cantor,G.）提出了良序原則：“每個集合都可以被良序?！?890年，邏輯學家皮亞諾（Peano,G.）在關于常微分方程的一篇文章中首次明確提到選擇原則，并對它提出了懷疑。1904年，策梅洛（Zermelo,E.F.F.）用現代術語明確敘述了選擇公理，并由此證明了良序原則。20世紀初期，學者們肯定了選擇公理在數學各分支中的應用價值，恩斯特·策梅洛的良序定理越來越多地被用在群論、環論、布爾代數以及格論中，在線性代數和域論中也有新的應用被發現。但是，選擇公理也引起了爭議，利用該公理會得到“奇怪”的結論，如1924年，波蘭數學家斯特凡·巴拿赫（S.Banach）和塔爾斯基（A.Tarski）證明了“分球定理”。
選擇公理在集合論、抽象代數等數學分支中都有較多的等價命題，如良序定理、佐恩引理等。選擇公理相對于ZF公理系統是獨立的，由于一些爭議的存在，它具有相對相容性。可數選擇公理和相依選擇公理是選擇公理的弱形式，但也有一些公理或假設強于選擇公理。此外，該公理在數學證明中應用廣泛，如它可以證明“一個具無窮多個節點的扇樹有一個無窮支”。
定義
冪集：指由非空集合組成的集合，即集合的集合。
選擇函數：它是一個集族上的一個函數。它規定：對于所有在集族中的集合，是的一個元素。
選擇公理斷言：任給由非空集合組成的集合，必存在選擇函數，使得對每個，都有。選擇公理用形式化語言可表示為：。在ZFC公理系統中，常用表示選擇公理。
此外，選擇公理有如下變化表達：非空集合的任意笛卡爾積是非空的。一個否定的簡潔公式化表達是：存在沒有選擇函數的非空集合的一個集合。第二個版本的選擇公理聲稱：給定相互無交的非空集合的任何集合，存在著至少一個集合包含著與每個非空集合有精確的一個公共元素的集合。
簡史
背景與提出
選擇公理起源于19世紀后半葉良序原則的證明。在1883年，康托爾（Cantor,G.）提出了良序原則：“每個集合都可以被良序?！?890年，邏輯學家皮亞諾（Peano,G.）在關于常微分方程的一篇文章中首次明確提到選擇原則，并對它提出了懷疑。1904年，德國數學家恩斯特·策梅洛（Zermelo,E.F.F.）用現代術語明確敘述了選擇公理，并由此證明了良序原則。四年后，他首先給出一個集合論公理化系統，后經德國學者弗蘭克爾（Fraenkel,A.A.）等數學家的改進，最終形成ZF公理系統。在此基礎上加上選擇公理，得到的系統就是ZFC公理系統。
爭議與發展
20世紀初期，學者們肯定了選擇公理在數學各分支中的應用價值。隨著代數的抽象化發展，恩斯特·策梅洛的良序定理越來越多地被用在群論、環論、布爾代數以及格論中，在線性代數和域論中也有新的應用被發現。1922年，庫拉托夫斯基（Kuratowski）提出第一極大原理，其后由佐恩（Zorn）用良序定理嚴格論證，該原理又被稱為佐恩引理。1930年，馬爾切夫斯基（Marczewski）用選擇公理證明了序的擴張定理。1954年，斯科特（Scott）證明了格的極大理想定理等價于選擇公理。但是，該公理也引發了許多爭議，反對者給出了各種理由，利用選擇公理會得到一些“奇怪”的結論，如1924年，波蘭數學家斯特凡·巴拿赫（S.Banach）和塔爾斯基（A.Tarski）證明了“分球定理”。近年來，也有人指出選擇公理與物理學中的無信號原則產生矛盾。
等價命題
集合論
（2）直積定理：若干非空集合之直積非空。
（3）交點唯一定理：如果為不交非空集之類，則有集合存在，使對每個，恰含一個元素。
（4）極大不交子類存在定理：任意類恒含一個由互不相交的集合作成的極大子類。
（5）基數可比定理：任二基數恒可比較大小。
（6）多個選取公理：對非空集作成的類恒有使為之有限子集（）。
（7）塔斯基相關定理：設、、、為超限基數，則以下命題與選擇公理等價：
（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）若，則；（Ⅳ）若且，則；（Ⅴ）若且，則；（Ⅵ）若，則；（Ⅶ）若，則。
（8）佐恩引理：設是一個集合，且滿足對于任意的鏈，有集合在中，那么中存在極大元，即不是中其他任意元素的子集。
（9）豪斯多夫極大值原理：令為集合上的偏序，那么存在的一個極大線性有序子集，即的子集具有線性序和以下性質：若且在下是線性序，那么。
（11）反鏈原理：每個部分序集必有一個極大反鏈（即由互相不能比大小的元素作成的一個極大子集）。
（12）序集可整序定理：每個序集恒可整序化之。
抽象代數
（13）投射原理：對每個集合及每個正常類，有到上的一個映射存在。
（14）內射原理：對每個集合及每個正常類，有到內的一個雙射存在。
（15）每個向量空間都有一組基。
（16）格的極大理想定理：每個有及另一元素之格恒含極大理想。
（17）環的極大理想定理：有單位元的非零環必有極大理想。
（18）布爾代數的極大理想定理：對布爾代數的每個由非元組成之集，必存在一個與不交的極大理想。
（19）向量空間的相補定理：任意向量空間的子空間有相補子空間使。
（20）消去廣群存在定理（選擇公理的代數形式）：在每個非空集合上恒存在一個消去廣群。
（21）每個自由阿貝爾群都是射影群。
（22）每個可分阿貝爾群都是單射群。
數學分析
（23）端點定理（選擇公理的幾何形式）：實線性賦范空間的（連續）對偶空間（即共軛空間或伴隨空間）的單位球有一端點。
點集拓撲
（24）吉洪諾夫乘積定理：任意緊空間簇的積空間都是緊致空間。
（25）弱吉洪諾夫定理：若干個拓撲同構的緊致空間的直積仍為緊致空間。
（26）任何連通空間簇的笛卡爾積都是連通的。
（27）子集乘積的閉包等于閉包的乘積。
數理邏輯
（28）萊文海姆—斯科倫—塔斯基定理：如果一集可數多個語句有無窮模型，則它有任意基數的模型。
（29）萊文海姆—斯科倫定理：無窮多個語句的集合的任意模型都有一個子模型，它的勢不超過的勢。
圖論
（30）每個連通圖都有一棵生成樹。
作用
有窮集合的定義問題
有窮集合有兩種常用的定義。
（1）對于任意的集合，如果有一自然數，使得中恰有個元素，則稱為有窮集合，不是有窮集合時，就稱為無窮集合。
（2）對于任一意合，如果有的一真子集與是一一對應的，則稱為無窮的；當不是無窮時，就稱是有窮的。
在有選擇公理時，（1）與（2）是等價的；在無選擇公理時，則不能證明它們是等價的，同樣利用力迫方法可以證明，存在著一個選擇公理不成立的模型，在其中有一集合，按照（1）它是無窮的，按照（2）它是有窮的。
函數的連續性問題
一個實變量的實值函數連續的標準定義如下：
（1），在點是連續的當且僅當對每個，存在，使得對于所有的，當時，成立。
此外，連續還可以用下面的性質刻畫。
（2），在點是連續的當且僅當對每個收斂于的序列，序列收斂于。
容易看出（1）蘊涵（2）：如果收斂于并且如果給定的，那么正如在（1）中首先找到，并且因為收斂，那么存在，當時，使得。顯然，對于所有這樣的，都有。
如果假設選擇公理成立，則（2）也蘊涵（1），因此（1）和（2）是兩個等價的連續函數的定義。現在假設（1）不成立，那么存在，使得對每個存在一個使得，但是，。特別地，對每個可以選擇一些使得并且。序列收斂于，但是序列不收斂于，故（2）也不成立。
性質
相對相容性
相對相容性：選擇公理的相容性是選擇公理不會導致邏輯矛盾的特性。由于分球怪論等與人們直覺相悖結論的出現，對選擇公理是否會導致其他邏輯矛盾產生了嚴重懷疑。用庫爾特·卡塞雷斯不完全定理只能研究選擇公理對ZF公理系統的相對相容性，即由ZF公理系統的相容性證明ZF+AC（ZFC）的相容性。
證明思路：該問題由美籍奧地利數學家哥德爾（G?del,K.）于1939年解決，他用兩種在ZF公理系統中構造ZFC模型的方法（內模型法）證明了這種相對相容性。
模型1（可構造模型）：由所有可構造集組成，可構造集是由空集出發，用各種集論運算逐次構造得到的集合。中成立ZF的所有公理；另一方面，中的所有集合可以依其被構造的前后定義一個良序，所以在該模型中，選擇公理成立。
模型2（遺傳序數可定義模型HOD）：HOD中的元素是可用包含序數作參數的公式定義出的集合，該集合的元素、該集合的元素的元素等也都是可如此定義的集合。模型HOD在集論運算下封閉，它滿足ZF的所有公理。另外，因為可以將定義集合的所有可能方式加以枚舉，故可用這一枚舉及序數參數的自然良序來構造HOD上的良序，再加之HOD中元素的元素仍是HOD的元素，于是選擇公理在HOD中成立。
獨立性
獨立性：選擇公理的獨立性指選擇公理不可由其他集合論公理推導出來的特性。
證明思路：在20世紀20年代和30年代，弗蘭克爾（Fraenkel,A.A.）和莫斯托夫斯基（Mostowski,A.）等人就研究了選擇公理相對于允許有原子的集合論系統ZFA的獨立性。莫斯托夫斯基引入了稱為置換模型的結構，使選擇公理在其中為假。但是并沒有證明選擇公理（對于ZF公理系統）的獨立性，因為這個結構的基礎全域不是集合論全域，而是包羅了原子在內。事實上，在上述置換模型中，所找到的一個不能被良序的集合（它被用來否定選擇公理）是原子的集合，而不是實數集或其他真正數學上的集合。
1963年，科恩（Cohen,P.J.）將上述思想與力迫方法結合，證明了選擇公理相對于ZF系統的獨立性：設是ZFC的一個可數傳遞模型，利用力迫方法可以構造的脫殊模型，且可證明也是ZFC的傳遞模型。利用弗蘭克爾的思想，科恩定義了脫殊模型的一個子模型，即對稱模型，并證明了對稱模型是ZF公理系統的模型，但選擇公理在其中不成立。從而也就證明了選擇公理的獨立性。
相關公理
弱選擇公理
可數選擇公理ACω
定義：非空集的每一個可數族有選擇函數?？蓴颠x擇公理常記為。
聯系：可數選擇公理是選擇公理的一種較弱的形式。
相依選擇公理DC
定義：設為非空集合，為其上的二元關系。如果對任意都存在使得，則存在的元素的可數序列使得相依選擇公理通常用表示，該公理又稱依賴選擇公理、相關選擇公理。
聯系：相依選擇公理是選擇公理的一種較弱的形式。
不相容的公理
決定性公理AD
游戲：對的每一個子集，可做如下定義：甲、乙二人對局，甲選取自然數，乙選取自然數，接著甲取數，乙取數，，從而形成兩個無窮序列：
甲
乙
若所得結果序列在中，則甲勝，否則乙勝。甲的策略為一函數，使得對任何。乙的策略也為一函數，使得對任何，。對甲（乙）來說是必勝策略，假設甲（乙）運用它作游戲時不管乙（甲）采取怎樣的做法，他必勝。
游戲稱為決定的，若甲、乙二人中有一人必有必勝策略。
決定性公理：對每一個，游戲是決定的。決定性公理常簡記為。
聯系：決定性公理與選擇公理不相容。
相關爭議
有關集合定義的爭論
選擇公理有悖于定義集合的初衷。在利用集合研究問題時，人們總是認為集合中的所有元素都具有一個共同的特性，就像格奧爾格·康托爾最初思考的那樣。而選擇公理則破壞了這個特性，因為所要組建的新的集合中的元素是來自各種集合的，元素之間是互不相識的。羅素（Bertrand Russell）舉例說：一百雙鞋子，宣布從每雙鞋子中選出左腳的那只，這種選擇如果有是清晰的；如果是一百雙襪子，如何從每一雙中選出一只呢？如何能分辨出這種選擇呢？對于康托爾最初的定義他提出了理發師的悖論，使得人們不能從“共性”出發來定義集合；可是人們從更為一般性的角度來定義集合時，他又提出鞋子、襪子的悖論，使得人們無法從一般中回歸到“特性”。
分球怪論
利用選擇公理會得到一些反直覺的存在。1924年，波蘭數學家斯特凡·巴拿赫（S.Banach）和塔爾斯基（A.Tarski）證明了“分球定理”：任意閉集可以分為兩個不相交的子集，，即且，并且和、每一個都全等。在直觀上這條定理等于說一個球可以重新做成兩個與原來一樣大的球，從而經過次重新做，就能得到個與原來一樣大的球。這是與人們的經驗相悖的。
衍生理論
ZFC公理系統
1908年，恩斯特·策梅洛給出了第一個集合論公理系統，現在人們稱它為Z系統，后經斯科倫、弗蘭克爾等人的改進，形成了著名的ZF公理系統。然而，ZF公理系統的展開是形式化的，它是以帶等詞“”和隸屬關系“”的狹謂詞演算為基礎，加上關于集合基本性質的非邏輯公理組成的形式演繹體系。它的非邏輯公理有：外延公理、空集公理、配對公理、并集公理、冪集公理、子集公理、無窮性公理、替換公理模式、正則性公理。如果加上選擇公理AC時，得到的公理系統就是ZFC（ZF+AC）。
其他解釋
NBG公理系統與MK公理系統：NBG公理系統簡稱GB公理系統，首先由約翰·馮·諾依曼（J.Von Neumann）在1925年提出，后來伯奈斯（Bernays）于1937年作了改進并進一步發展了這個公理系統，再經過庫爾特·卡塞雷斯的改進和整理加以采用。在NBG公理系統中，引入了類的概念，并區分了集合和真類，集合既可以集合為其元素，也可為其他類的元素，但規定真類只能以集合為其元素，真類本身不能作為任何類的元素。MK公理系統，也稱QM公理系統，將NBG公理系統B組公理進行了替換，加強了NBG公理系統。GB公理系統和MK公理系統中的整體選擇公理蘊含選擇公理，比選擇公理更強。
連續統假設與可構成性公理：連續統假設是康托爾于1883年提出的假設，即可數無窮集的基數的后面就是連續統的基數。將其推廣可得到廣義連續統假設：對任意超限基數來說，在與之間不存在另外的基數。庫爾特·卡塞雷斯從1935年起開始研究連續統假設及廣義連續統假設，并證明了ZF公理系統與廣義連續統假設是協調一致的。在證明過程中利用了可構成性公理，即“一切集合是可構成的”?？蓸嫵尚怨硖N含連續統假設和選擇公理。因此，可構成性公理、廣義連續統假設強于選擇公理。
直覺類型論：直覺類型論由馬丁·諾夫（P.Martin-L?f）創建，來源于為解決集合論中的邏輯悖論而提出的分支類型論。其重要觀點是“命題和類型是等同的”。在直覺類型論中，選擇公理具有與ZFC公理系統不同的表現形式，是可被證明的定理。
應用例題
抽象代數
例1：設為布爾環，是的理想且，則存在的素理想，使得且。
證明：設是布爾環的理想且。令。則。顯然構成一個偏序集，這里為通常的集合之間的包含關系。下面證明中的每一個鏈都有上界。
設是中的一個鏈，令。易證，從而是中的鏈的一個上界。根據佐恩引理，中有極大元，設為。由得且。下證為的素理想。事實上，倘若存在使得。則由的極大性知，這里為的由所生成的理想，于是存在，，使得。同理，存在，使得，故
，這與矛盾，故為的素理想。
泛函分析
定義1：設為實向量空間，為上的泛函，如果對任意及非負數都有，，則稱為半線性泛函。
定義2：設為實線性空間，為上一子空間上的線性泛函，為上的一子空間上的線性泛函。如果且對任意都有，則稱為的線性擴張，記為。顯然是一偏序。
例2（巴拿赫定理）：設為實向量空間上的半線性泛函，為上的一子空間上的且滿足對任意都有的線性泛函，則存在上的線性泛函，使得對任意都有且為的線性擴張。
證明：令，則滿足佐恩引理中的條件。從而由佐恩引理知，中存在極大元。設為的極大元，不難證明在上處處有定義。
圖論
例3：一個具無窮多個節點的扇樹有一個無窮支。
證明：設是一個扇樹，考慮具無窮多個后繼的所有節點子集，在中每一節點都在中有一個立即后繼，引用選擇公理：有一個映射使是的立即后繼，而是無窮的，，定義，，就不會有一個最終點，因為，所以，從而就是一個無窮支。
參考資料 >
滿足f(x+y)=f(x)+f(y)的函數是什么樣子的？.搜狐-多塔數學網.2024-06-30