連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（continuum hypothesis）是關(guān)于連續(xù)統(tǒng)基數(shù)的假設(shè)。其最早版本的表述為：實數(shù)的每個無窮子集或者是可數(shù)的，或者與連續(xù)統(tǒng)等勢。
1878年，德國數(shù)學家格奧爾格·康托爾（Cantor,G.F.P.）在《數(shù)學雜志》撰文提出了連續(xù)統(tǒng)問題，他認為的任何無窮子集要么可數(shù)，要么具有的勢，該假設(shè)記為CH。他后來在《關(guān)于無窮線性點集（6）》中，證明了假設(shè)的一種特殊情形。1900年，戴維·希爾伯特（David Hillbert）在國際數(shù)學家會議上的講演中提出了數(shù)學領(lǐng)域中尚未解決的23個重大課題，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題被列為第一名，所以它也被稱為“希爾伯特第一問題”，他還試圖用證明論的原則解決連續(xù)統(tǒng)問題，但其證明引發(fā)了爭議。后來，數(shù)學家庫爾特·卡塞雷斯（Goedel）和沃爾特·科恩（P.J.Cohen）的一些工作成果推進了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的研究。1938年，哥德爾證明了從公理集合論的ZFC系統(tǒng)推不出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定，即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZFC系統(tǒng)是相容的。1963年7月，科恩創(chuàng)造了力迫法，證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和ZFC系統(tǒng)是相對獨立的。結(jié)合哥德爾和科恩的結(jié)果，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在ZF系統(tǒng)中是不可判定的。
連續(xù)統(tǒng)假設(shè)可以用基數(shù)的形式表示出來，即。同時，該假設(shè)還具有多種其他的等價形式，由它可以推出許多重要的數(shù)學結(jié)論，如存在實數(shù)集的一個不可數(shù)集，它的每個連續(xù)像的測度為零。將連續(xù)統(tǒng)假設(shè)進行推廣，可得到廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)GCH，它可以應(yīng)用于冪運算的簡化。在連續(xù)統(tǒng)問題的探索中，許多新方法被發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，這為集合論增添了新內(nèi)容，對整個數(shù)學基礎(chǔ)研究起了巨大的推動作用。
定義
連續(xù)統(tǒng)問題：是否有一個實數(shù)的無窮子集，它既不能與有一一對應(yīng)，也不能與有一一對應(yīng)？這就是“連續(xù)統(tǒng)問題”的表述之一。
最早版本的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)：實數(shù)的每個無窮子集或者是可數(shù)的，或者與連續(xù)統(tǒng)等勢，簡記為CH。
簡史
早期研究
1878年，德國數(shù)學家格奧爾格·康托爾爾（Cantor,G.F.P.）在《數(shù)學雜志》撰文提出了連續(xù)統(tǒng)問題，即除了自然數(shù)集的勢和實數(shù)集的勢，的無窮子集是否還有其他的勢。他認為結(jié)論是否定的，即的任何無窮子集要么可數(shù)，要么具有的勢，這就是康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，記為CH。1884年，在康托爾發(fā)表的《關(guān)于無窮線性點集（6）》中，康托爾完成了在解決連續(xù)統(tǒng)假設(shè)征途上的第一大進展，他證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的一種特殊情形：中的任何閉子集或為可數(shù)或與連續(xù)統(tǒng)等勢。后來，格奧爾格·康托爾曾宣布他已經(jīng)證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，但最終發(fā)現(xiàn)原來的證明有錯誤而未公布，直至臨終前都沒能解決這一難題。
后續(xù)發(fā)展
進入20世紀，連續(xù)統(tǒng)問題的影響力逐漸擴大。1900年，希爾伯特（David Hilbert）在第二屆國際數(shù)學家大會上的著名講演中，提出了數(shù)學領(lǐng)域中尚未解決的23個重大課題，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題被列為第一名，所以也稱它為“希爾伯特第一問題”。1925年6月4日，希爾伯特在明斯特發(fā)表題為《論無限》的著名演講，在這篇文章中，他試圖用證明論的原則解決連續(xù)統(tǒng)問題。然而他的證明是框架式的，論證不甚嚴密且有錯誤論斷，不久就遭到了批評。弗蘭克爾（A.Fraenkel) 指出，希爾伯特其實并未證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，只是指出了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相容性的一種可能的證明。
1938年，庫爾特·卡塞雷斯（Goedel）在他的文章《選擇公理和廣義連續(xù)統(tǒng)假說的相容性》中，除了證明了廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相對于ZF的相容性，同時也表達了這樣一個觀點：集合的直觀概念是模糊的，不允許我們判定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真假。哥德爾證明了從公理集合論的ZFC系統(tǒng)推不出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定，即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZFC系統(tǒng)是相容的。在哥德爾的結(jié)果之后，人們希望能夠從ZF系統(tǒng)內(nèi)證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1963年7月，美國數(shù)學家沃爾特·科恩（P.J.Cohen）創(chuàng)造了威力極大的力迫法，解決了相反的問題，他證明了從 ZFC 推不出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。這就說明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和ZFC系統(tǒng)是相對獨立的。同時，科恩還證明了如果ZF系統(tǒng)是相容的，選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)都獨立于這個公理系統(tǒng)，即從ZF系統(tǒng)不能推出選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。結(jié)合庫爾特·卡塞雷斯在1938年建立的相對相容性，這就證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在ZFC系統(tǒng)中是不可判定的。
相關(guān)概念
基數(shù)
定義：彼此等價的所有集合的共同特征的標志稱為基數(shù)。有限集合的基數(shù)稱為自然數(shù)。
對于集合和，如果，則稱的基數(shù)等于的基數(shù)，記為；如果，則稱的基數(shù)不大于的基數(shù)，記為；如果，且的基數(shù)不等于的基數(shù)，則稱的基數(shù)小于的基數(shù)，記為。
聯(lián)系：1891年，G.康托爾證明了任何一個集合的冪集（即它的一切子集構(gòu)成的集合）的勢都大于這個集合的勢，人們才認識到無窮集合也可以比較大小。自然數(shù)集是最小的無窮集合，其勢記作阿列夫零，通常用表示自然數(shù)集的勢，用表示實數(shù)集合（連續(xù)統(tǒng)）的勢。康托爾證明了連續(xù)統(tǒng)勢等于自然數(shù)集的冪集的勢，他猜測實數(shù)集與它的每個不可數(shù)子集等勢。即不存在基數(shù)，滿足，這一猜測被后人稱為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。由于，，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)可等價地表示為，是后繼基數(shù)。
等價命題
（1）平面上所有的點的集合是兩個集合的并，其中一個集合在所有與軸平行的直線上至多是可數(shù)的，另一個集合在軸的所有平行線上至多是可數(shù)的。
（2）平面是可數(shù)條曲線的并。
（3）存在著實函數(shù)的單葉函數(shù)序列，使得對于任意的不可數(shù)的實數(shù)集合，序列中除去有窮個函數(shù)外，所有的函數(shù)都映為全體實數(shù)集合。
（4）存在一簇集合（其中為自然數(shù)，為實數(shù)）使得
（5）存在實變數(shù)函數(shù)序列，使得對于任意的實數(shù)序列，以及每個，至多除去可數(shù)個值（它依賴于序列），對應(yīng)地有一個無窮遞增的指標序列（依賴于和序列），使得等式。
（6）存在一個線性解析集合，它不是少于個波雷耳可測集的并集合。
（7）全體實數(shù)集是可數(shù)個遞增的集合的并。
（8）在希爾伯特空間中，存在一個不可數(shù)的點集，它的每個不可數(shù)子集不能同胚于歐幾里得空間的一部分。
（9）連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等價于下述命題和的合取：
：每一個，,是第一范疇集；
：存在一，，且和每一無處稠密集的交是至多可數(shù)的。
（10）連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等價于下述命題和的合取：
：存在，，且和測度為零的集合的交是至多可數(shù)的。
相關(guān)推論
由連續(xù)統(tǒng)假設(shè)可以推出許多重要結(jié)論：
（1）存在實數(shù)集的一個不可數(shù)子集，它和的每一個無處稠密集合的交集至多是可數(shù)的。
（2）存在實數(shù)集的一個不可數(shù)集，它的每個連續(xù)像的測度為零。
（3）在的一個不可數(shù)子集上，存在一個連續(xù)函數(shù)，使得它在的任一不可數(shù)子集上不是一致連續(xù)的。
（4）存在一些實數(shù)集，在它們上面存在類、類、類的貝爾函數(shù)，但在每個集上不存在類貝爾函數(shù)。
相關(guān)觀點
肯定
謝爾賓斯基（Siepinski）對于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)持肯定態(tài)度，在接受廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的前提下證明了許多重要結(jié)論，其中包括選擇公理。盡管仍有少部分數(shù)學家不接受選擇公理，但發(fā)現(xiàn)新的公理證明廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，從而證明選擇公理，無疑具有重大意義。
爭議
庫爾特·卡塞雷斯：在《康托的連續(xù)統(tǒng)問題是什么?》中，哥德爾對連續(xù)統(tǒng)假設(shè)抱著否定的態(tài)度，對它的否證依賴于在ZF中添加更強大的公理，而探求這樣的新的公理則是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)給人的任務(wù)，這樣的新的公理的提出將最終證明或者否證連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。
武丁：1985年，武丁（Woodin）假設(shè)ZFC+存在任意大的可測的武丁基數(shù)，那么ZFC+CH是對命題完備的。也就是說，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)可能確實是三階算術(shù)中具有代表性的問題，若直接將連續(xù)統(tǒng)假設(shè)作為公理，就可以得到對完備的理論。這可以視作對連續(xù)統(tǒng)假設(shè)來自外在性辯護的有利證據(jù)，但尚不足以令人斷定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立。事實上，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定也可以獲得類似的外在性辯護。另一種觀點認為，武丁對連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的解答是一個非常復雜的功利主義論點，它更多地基于一般絕對性的可取性，而不是理論的內(nèi)容。
費弗曼：數(shù)學家費弗曼（Solomon Feferman）認為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不是一個確定的數(shù)學問題。即使在的水平上，在其表述中使用的任意集和函數(shù)的概念本質(zhì)上也是不確定的。如果一個命題相對于任何被證明的公理集而言是不可判定的，那么它就是絕對不可判定的，但絕對不可判定的概念似乎假定所討論的陳述具有明確的數(shù)學意義，因此具有明確的真值。而連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是否具有明確的數(shù)學意義也是一個問題，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是集合論語言中的一個確定陳述，無論是正式的還是非正式的，它只與有關(guān)，這種語言涉及的概念在數(shù)學實踐中很少被用到。
其他
蔻尼：連續(xù)統(tǒng)問題是要求回答連續(xù)統(tǒng)的勢應(yīng)該在無窮基數(shù)的無窮序列的哪個位置上，到目前為止還沒有一個肯定的回答。蔻尼（Konig）在研究無窮基數(shù)的運算時，得出了蔻尼不等式，此不等式雖然不能說明應(yīng)該等于什么，但是從它的推論可以得知不能等于無窮序列中的某些值，這是對的限制性結(jié)果。在數(shù)學中，這類限制性結(jié)果雖然沒有直接解決問題，但是它仍然很重要。
哈姆金斯：如果ZFC公理都是一致的，那么連續(xù)統(tǒng)假設(shè)既不能被證明，也不能被集合論中通常的ZFC公理所反駁。然而，事實證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定在集合論的任何模型上都是強制的，這遠遠超出了單純的獨立性。
(1)，不坍縮任何基數(shù)，使得。
(2) ，不添加新實數(shù)，使得。
從這個意義上說，集合理論的每個模型都非常接近與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相反答案的模型。由于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定很容易被強制，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)就像一個燈開關(guān)，可以通過移動到更大的強迫擴展來打開和關(guān)閉。例如，新宇宙與原始宇宙擁有相同的大基數(shù)。經(jīng)過幾十年的經(jīng)驗和研究，集合論專家現(xiàn)在對如何在不同的集合理論模型中實現(xiàn)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)或其否定有了深刻的理解——以無數(shù)種方式強迫它或它的否定，同時控制其他集合理論的性質(zhì)。
相關(guān)理論
ZFC公理系統(tǒng)
1908年，德國數(shù)學家恩斯特·策梅洛（Zermelo,E.F.F.）提出了一個公理系統(tǒng)，恩斯特·策梅洛最初建立了7條集合論公理和相關(guān)定理，弗蘭克爾（Fraenkel,A.A.）對公理進行了修改，斯克倫（Skolem,A.T.）補充了替換公理模式和正則公理，進而形成了著名的ZF系統(tǒng)。該公理系統(tǒng)包括外延公理、空集公理、配對公理、并集公理、冪集公理、子集公理、無窮公理、替換公理模式和正則公理，再加上選擇公理，就得到了ZFC公理系統(tǒng)。
選擇公理（交點唯一定理）：設(shè)是由互不相交的非空集合構(gòu)成的非空集合，則存在集合，使得為單點集。
聯(lián)系：1936-1939年間，庫爾特·卡塞雷斯提出并證明了選擇公理和廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相對于ZF的相容性，在這一過程中創(chuàng)造了“可構(gòu)成集”的模型，并且還證明了從公理集合論的ZFC系統(tǒng)推不出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定，即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZFC系統(tǒng)是相容的。1963年，科恩證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和選擇公理對于ZF公理系統(tǒng)是獨立的，即它們不能以ZF公理系統(tǒng)為基礎(chǔ)加以證明。
大基數(shù)公理
粗略地說，大基數(shù)公理是一個斷言，即具有某種性質(zhì)的基數(shù)存在，而且人們能夠證明只有非常大的基數(shù)才能具有性質(zhì)。這樣的的例子是：不可達性和可測性。是不可達的，如果是正則的并且蘊涵。是可測的，如果存在一個勢為的集合，以及定義在的所有子集上的函數(shù)，只取和為值，，在單元集合上是，，并且如果對每個以及的基數(shù)，那么。
聯(lián)系：大基數(shù)公理可以判定許多自然的獨立問題，但它仍舊無法證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。大基數(shù)公理趨向于是絕對的，如果它們在ZFC的一個模型中為真，那么它們在該模型的科恩擴張中就趨向于真。這命題可以更精確地陳述如下：一個模型的科恩擴張是由的一個元素生成的，是中的一個偏序。科恩擴張相對于的一個基數(shù)是溫和的，如果的基數(shù)在中為真。在相對于為溫和的科恩擴張下，的所有標準大基數(shù)的性質(zhì)都保持不變。另一方面，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真值可能由于科恩擴張而有所改變，在那里，在中有非常小的基數(shù)。這意味著，對于一個大基數(shù)公理A，如果存在ZFC+A的模型，那么就存在ZFC+A+CH的模型以及ZFC+A+非CH的模型。然而，大基數(shù)公理在給出廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的部分結(jié)果方面已取得成功。一個緊致基數(shù)的存在，蘊涵對所有充分大的奇異強極限基數(shù)（即奇異基數(shù)使得蘊涵），成立。
推廣
廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)
猜想內(nèi)容： 集合與直線上所有點的集合大小相同，因此集合被稱為連續(xù)統(tǒng)。有這樣一個問題：是否存在大于且小于的集合？格奧爾格·康托爾推測沒有中間大小，這種猜想被稱為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。更一般地說，對于任意無窮集S，沒有集合的大小介于S與其冪集之間，這個猜想被稱為廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。
康托爾（Cantor,G.F.P.）提出的連續(xù)統(tǒng)猜想可以表述為如下形式：
（CH）
進一步推廣，對任意序數(shù)，都有
（GCH）
這個命題稱為廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，通常記作GCH。
應(yīng)用
如果廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)GCH成立，則可以將基數(shù)的冪運算簡化如下：
定理：令，為無窮基數(shù)，同時假設(shè)廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立，則
意義
在數(shù)學的發(fā)展過程中，人們很早就認識到有窮和無窮具有質(zhì)的不同。但在相當長的時間里，數(shù)學家們并未意識到“無窮”之間的不同，格奧爾格·康托爾引進了基數(shù)和序數(shù)的概念，用來比較“無窮”中的大小，提出了著名的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題，雖然到目前為止仍未得到最后結(jié)論，但就其所取得的重大進展來看，對整個數(shù)學基礎(chǔ)研究起了巨大的推動作用，并且在哲學上具有重要意義。
（1）幾何學：一旦證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定都成立，可以連想到幾何學中的平行公理（第五公設(shè)）和否定的第五公設(shè)，由于否定的第五公設(shè)的發(fā)現(xiàn)，導致非歐幾里得幾何的產(chǎn)生。設(shè)想如果連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定都成立，那么在通常的集合論公理中加上連續(xù)統(tǒng)假設(shè)所構(gòu)成的集合論稱為“康托集合論”，在通常的集合論公理中加上連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定所構(gòu)成的另一種集合論，可稱之為“非康托集合論”。非歐幾何的創(chuàng)立，在整個數(shù)學內(nèi)部引起了深刻的變革，促進了幾何學和形式化公理方法的發(fā)展。
（2）邏輯學：庫爾特·卡塞雷斯和科恩的工作成果問世后，大大促進了數(shù)理邏輯的發(fā)展。科恩原創(chuàng)的“力迫法”可視為古典邏輯中一般概念（句式的有效性）再作布爾代數(shù)的推廣。科恩的關(guān)于獨立性證明提出以后，許多數(shù)學家和邏輯學家致力于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨立性問題的研究。
（3）哲學：兩千多年來，數(shù)學的發(fā)展同哲學緊密相關(guān)，同時對哲學產(chǎn)生重要影響，促進了哲學的發(fā)展。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題也同數(shù)學基礎(chǔ)某些分支相類似，涉及帶有根本性質(zhì)的哲學問題。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在現(xiàn)有公理集合論中是無法證明的。那么，何處尋找能夠判定這一命題的新公理；找到后又如何去論證這些公理是可以接受的？后者實際上就是數(shù)學基礎(chǔ)的哲學問題。
參考資料 >