歸納推理是一種由個(gè)別到一般的推理。由一定程度的關(guān)于個(gè)別事物的觀點(diǎn)過(guò)渡到范圍較大的觀點(diǎn)，由特殊具體的事例推導(dǎo)出一般原理、原則的解釋方法。自然界和社會(huì)中的一般，都存在于個(gè)別、特殊之中，并通過(guò)個(gè)別而存在。一般都存在于具體的對(duì)象和現(xiàn)象之中，因此，只有通過(guò)認(rèn)識(shí)個(gè)別，才能認(rèn)識(shí)一般。人們?cè)诮忉屢粋€(gè)較大事物時(shí)，從個(gè)別、特殊的事物總結(jié)、概括出各種各樣的帶有一般性的原理或原則，然后才可能從這些原理、原則出發(fā)，再得出關(guān)于個(gè)別事物的結(jié)論。這種認(rèn)識(shí)秩序貫穿于人們的解釋活動(dòng)中，不斷從個(gè)別上升到一般，即從對(duì)個(gè)別事物的認(rèn)識(shí)上升到對(duì)事物的一般規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。例如，根據(jù)各個(gè)地區(qū)、各個(gè)歷史時(shí)期生產(chǎn)力不發(fā)展所導(dǎo)致的社會(huì)生活面貌落后，可以得出結(jié)論說(shuō)，生產(chǎn)力發(fā)展是社會(huì)進(jìn)步的動(dòng)力，這正是從對(duì)于個(gè)別事物的研究得出一般性結(jié)論的推理過(guò)程，即歸納推理。顯然，歸納推理是從認(rèn)識(shí)研究個(gè)別事物到總結(jié)、概括一般性規(guī)律的推斷過(guò)程。在進(jìn)行歸納和概括的時(shí)候，解釋者不單純運(yùn)用歸納推理，同時(shí)也運(yùn)用演繹法。在人們的解釋思維中，歸納和演繹是互相聯(lián)系、互相補(bǔ)充、不可分割的。
簡(jiǎn)介
一，歸納推理的定義
所謂歸納推理，就是從個(gè)別性知識(shí)推出一般性結(jié)論的推理.
例如:
直角三角形內(nèi)角和是180°;
銳角三角形內(nèi)角和是180°;
鈍角三角形內(nèi)角和是180°;
直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形是全部的三角形;
所以，一切三角形內(nèi)角和都是180°.
這個(gè)例子從直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形內(nèi)角和分別都是180°這些個(gè)別性知識(shí)，推出了"一切三角形內(nèi)角和都是180°"這樣的一般性結(jié)論，就屬于歸納推理.
傳統(tǒng)上，根據(jù)前提所考察對(duì)象范圍的不同，把歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理.完全歸納推理考察了某類事物的全部對(duì)象，不完全歸納推理則僅僅考察了某類事物的部分對(duì)象。并進(jìn)一步根據(jù)前提是否揭示對(duì)象與其屬性間的因果聯(lián)系，把不完全歸納推理分為簡(jiǎn)單枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理.
現(xiàn)代歸納邏輯則主要研究概率推理和統(tǒng)計(jì)推理.
歸納推理的前提是其結(jié)論的必要條件。首先，歸納推理的前提必須是真實(shí)的，否則，歸納就失去了意義。其次，歸納推理的前提是真實(shí)的，但結(jié)論卻未必真實(shí)，而可能為假。如根據(jù)某天有一只兔子撞到樹上死了，推出每天都會(huì)有兔子撞到樹上死掉，這一結(jié)論很可能為假，除非一些很特殊的情況發(fā)生，比如地理環(huán)境中發(fā)生了什么異常使得兔子必以撞樹為快.
我們可以用歸納強(qiáng)度來(lái)說(shuō)明歸納推理中前提對(duì)結(jié)論的支持度。支持度小于50%的，則稱該推理是歸納弱的；支持度小于100%但大于50%的，稱該推理是歸納強(qiáng)的；歸納推理中只有完全歸納推理前提對(duì)結(jié)論的支持度達(dá)到100%,支持度達(dá)到100%的是必然性支持.
二，歸納推理和演繹推理的關(guān)系
歸納推理和演繹推理既有區(qū)別，又有聯(lián)系.
二者的區(qū)別是:
1,思維進(jìn)程不同。歸納推理的思維進(jìn)程是從個(gè)別到一般。而演繹推理的思維進(jìn)程不是從個(gè)別到一般，是一個(gè)必然地得出的思維進(jìn)程。演繹推理不是從個(gè)別到一般的推理，但也不僅僅是從一般到個(gè)別的推理：演繹推理可以從一般到一般，比如從"一切非正義戰(zhàn)爭(zhēng)都是不得人心的"推出"一切非正義戰(zhàn)爭(zhēng)都不是得人心的";可以從個(gè)別到個(gè)別，比如從"羅杰·培根不是那個(gè)建立新的歸納邏輯學(xué)說(shuō)的培根"推出"那個(gè)建立新的歸納邏輯學(xué)說(shuō)的培根不是羅吉爾·培根";可以從個(gè)別和一般到個(gè)別，比如從"這個(gè)物體不導(dǎo)電"和"所有的金屬都導(dǎo)電"推出"這個(gè)物體不是金屬";還可以從個(gè)別和一般到一般，比如從"你能夠勝任這項(xiàng)工作"和"有志者事竟成或者你不能夠勝任這項(xiàng)工作"推出"有志者事竟成".在這里，應(yīng)當(dāng)特別注意的是，歸納推理中的完全歸納推理其思維進(jìn)程既是從個(gè)別到一般，又是必然地得出.
2,對(duì)前提真實(shí)性的要求不同。演繹推理不要求前提必須真實(shí)，歸納推理則要求前提必須真實(shí).
3,結(jié)論所斷定的知識(shí)范圍不同。演繹推理的結(jié)論沒(méi)有超出前提所斷定的知識(shí)范圍。歸納推理除了完全歸納推理，結(jié)論都超出了前提所斷定的知識(shí)范圍.
4,前提與結(jié)論間的聯(lián)系程度不同。演繹推理的前提與結(jié)論間的聯(lián)系是必然的，也就是說(shuō)，前提真實(shí)，推理形式正確，結(jié)論就必然是真的。歸納推理除了完全歸納推理前提與結(jié)論間的聯(lián)系是必然的外，前提和結(jié)論間的聯(lián)系都是或然的，也就是說(shuō)，前提真實(shí)，推理形式也正確，但不能必然推出真實(shí)的結(jié)論.
二者的聯(lián)系是:
1,演繹推理如果要以一般性知識(shí)為前提,(演繹推理未必都要以一般性知識(shí)為前提.)則通常要依賴歸納推理來(lái)提供一般性知識(shí).
2,歸納推理離不開演繹推理。其一，為了提高歸納推理的可靠程度，需要運(yùn)用已有的理論知識(shí)，對(duì)歸納推理的個(gè)別性前提進(jìn)行分析，把握其中的因果性，必然性，這就要用到演繹推理。其二，歸納推理依靠演繹推理來(lái)驗(yàn)證自己的結(jié)論。例如，俄羅斯化學(xué)家德米特里·門捷列夫通過(guò)歸納發(fā)現(xiàn)元素周期表，指出，元素的性質(zhì)隨元素原子量的增加而呈周期性變化。后用演繹推理發(fā)現(xiàn)，原來(lái)測(cè)量的一些元素的原子量是錯(cuò)的。于是，他重新安排了它們?cè)谥芷诒碇械奈恢茫㈩A(yù)言了一些尚未發(fā)現(xiàn)的元素，指出周期表中應(yīng)留出空白位置給未發(fā)現(xiàn)的新元素.邏輯史上曾出現(xiàn)兩個(gè)相互對(duì)立的派別——全歸納派和全演繹派。全歸納派把歸納說(shuō)成惟一科學(xué)的思維方法，否認(rèn)演繹在認(rèn)識(shí)中的作用。全演繹派把演繹說(shuō)成是惟一科學(xué)的思維方法，否認(rèn)歸納的意義。這兩種觀點(diǎn)都是片面的。正如恩格斯所說(shuō):"歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是必然相互聯(lián)系著的。不應(yīng)當(dāng)犧牲一個(gè)而把另一個(gè)捧到天上去，應(yīng)當(dāng)把每一個(gè)都用到該用的地方，而要做到這一點(diǎn)，就只有注意它們的相互聯(lián)系，它們的相互補(bǔ)充."①
三，收集和整理經(jīng)驗(yàn)材料的方法
(一)收集經(jīng)驗(yàn)材料的方法
歸納推理要以個(gè)別性知識(shí)為前提，為了獲得個(gè)別性知識(shí)，就必須收集經(jīng)驗(yàn)材料。收集經(jīng)驗(yàn)材料的方法有觀察，實(shí)驗(yàn)等.
1,觀察
這里所說(shuō)的"觀察"是"科學(xué)的觀察"的簡(jiǎn)稱。一般來(lái)說(shuō)，人們把外界的自然信息通過(guò)感官輸入大腦，經(jīng)過(guò)大腦的處理，形成對(duì)外界的感知，就是觀察。然而，盲目的，被動(dòng)的感受過(guò)程不是科學(xué)的觀察。科學(xué)的觀察是在一定的思想或理論指導(dǎo)下，在自然發(fā)生的條件下進(jìn)行(不干預(yù)自然現(xiàn)象)但有目的的，主動(dòng)的觀察。科學(xué)的觀察往往不是單純地靠眼耳鼻舌身五官去感受自然界所給予的刺激，而要借助一定的科學(xué)儀器去考察，描述和確認(rèn)某些自然現(xiàn)象的自然發(fā)生.
觀察要遵循客觀性原則，對(duì)客觀存在的現(xiàn)象應(yīng)如實(shí)觀察。如果觀察失真，便不能得到真實(shí)可靠的結(jié)論。但是，說(shuō)觀察要遵循客觀性原則，并不是說(shuō)在觀察時(shí)應(yīng)當(dāng)不帶有任何理論觀點(diǎn)。理論總是不同程度地滲透在觀察之中。提出觀察要客觀，是要求用正確的理論來(lái)觀察事物，以免產(chǎn)生主觀主義。理論對(duì)觀察的滲透，說(shuō)明了主體在觀察中的能動(dòng)作用。氧的發(fā)現(xiàn)過(guò)程生動(dòng)地體現(xiàn)了理論對(duì)觀察的作用.1774年8月，英國(guó)科學(xué)家普利斯特里在用聚光透鏡加熱氧化汞時(shí)得到了氧氣，他發(fā)現(xiàn)物質(zhì)在這種氣體里燃燒比在空氣中更強(qiáng)烈，由于墨守陳舊的燃素說(shuō)，他稱這種氣體為"脫去燃素的空氣".1774年，法國(guó)著名的化學(xué)家安托萬(wàn)-洛朗·德·拉瓦錫正在研究磷，硫以及一些金屬燃燒后質(zhì)量會(huì)增加而空氣減少的問(wèn)題，大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)使他對(duì)燃素理論發(fā)生了極大懷疑。正在這時(shí)，普利斯特里來(lái)到巴黎，把他的實(shí)驗(yàn)情況告訴了拉瓦錫，拉瓦錫立刻意識(shí)到他的英國(guó)同事的實(shí)驗(yàn)的重要性。他馬上重復(fù)了普利斯特里的實(shí)驗(yàn)，果真得到了一種支持燃燒的氣體，他確定這種氣體是一種新的化學(xué)元素1775年4月拉瓦錫向法國(guó)巴黎科學(xué)院提出報(bào)告——金屬在煅燒時(shí)與之相化合并增加其重量的物質(zhì)的性質(zhì)——公布了氧的發(fā)現(xiàn)。實(shí)際上，在普利斯特里發(fā)現(xiàn)氧氣之前，瑞典化學(xué)家卡爾·舍勒也曾獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了氧氣，但他把這種氣體稱為"火空氣".氧的發(fā)現(xiàn)過(guò)程正如恩格斯在《資本論》第二卷序言中所說(shuō)的:"普利斯特里和舍勒已經(jīng)找出了氧氣，但不知道他們找到的是什么。他們不免為現(xiàn)有燃素范疇所束縛。這種本來(lái)可以推翻全部燃素觀點(diǎn)并使化學(xué)發(fā)生革命的元素，沒(méi)有在他們手中結(jié)下果實(shí).……(安托萬(wàn)-洛朗·德·拉瓦錫)仍不失為氧氣的真正發(fā)現(xiàn)者，因?yàn)槠渌麅晌徊贿^(guò)找出了氧氣，但一點(diǎn)兒也不知道他們自己找出了什么."
當(dāng)對(duì)象的性質(zhì)使人們難以實(shí)際作用于對(duì)象(比如在天文學(xué)研究中)或者研究對(duì)象的特點(diǎn)要求避免外界干擾(如在許多心理學(xué)的研究中)時(shí)，最適用的收集經(jīng)驗(yàn)材料的方法就是觀察了.
觀察方法有一定局限性:(1)觀察只能使我們看到現(xiàn)象，卻看不到本質(zhì)。現(xiàn)象是事物的外部聯(lián)系和表面特征，是事物的外在表現(xiàn)。本質(zhì)是事物的內(nèi)部聯(lián)系，是事物內(nèi)部所包含的一系列必然性，規(guī)律性的綜合。恩格斯說(shuō):"單憑觀察所得到的經(jīng)驗(yàn)，是決不能充分證明必然性的."①(2)觀察有時(shí)無(wú)法區(qū)分真相與假象。比如，由于地球在運(yùn)動(dòng)，所以我們?cè)诘厍蛏嫌^察恒星的相互位置，好象發(fā)生了很大的變化，這在天文學(xué)上稱為"視運(yùn)動(dòng)",可是視運(yùn)動(dòng)并不是天體的真實(shí)運(yùn)動(dòng).
2,實(shí)驗(yàn)
實(shí)驗(yàn)是人們應(yīng)用一定的科學(xué)儀器，使對(duì)象在自己的控制之下，按照自己的設(shè)計(jì)發(fā)生變化，并通過(guò)觀察和思索這種變化來(lái)認(rèn)識(shí)對(duì)象的方法.
實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)是:(1)具有簡(jiǎn)化和純化的特點(diǎn)。通過(guò)對(duì)影響某一對(duì)象的各種因素進(jìn)行簡(jiǎn)化和純化，突出主要因素，舍棄次要因素，排除與對(duì)象沒(méi)有本質(zhì)聯(lián)系的因素的干擾，達(dá)到在比較單純的狀態(tài)下來(lái)認(rèn)識(shí)對(duì)象。比如為研究某一植物在某一條件下對(duì)具有一定酸堿度的土壤的適應(yīng)情況，在實(shí)驗(yàn)室中人為地控制大自然對(duì)植物生態(tài)的影響，只就酸堿度這一特定的因素進(jìn)行考察.(2)具有強(qiáng)化條件的特點(diǎn)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，可以使對(duì)象處于一些特殊條件，極端狀態(tài)下(如超高溫，超高壓，超真空和超強(qiáng)磁場(chǎng)等),使研究對(duì)象的特殊性質(zhì)凸顯出來(lái)，從而達(dá)到認(rèn)識(shí)對(duì)象的特殊性質(zhì)的目的.1956年楊振寧和李政道提出弱相互作用下宇稱不守恒假說(shuō)。為了檢驗(yàn)這個(gè)假說(shuō)，吳健雄用了鈷60作為實(shí)驗(yàn)材料進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。可是，在常溫下鈷-60本身的熱運(yùn)動(dòng)和自旋方向雜亂無(wú)章，無(wú)法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。于是吳健雄把鈷-60冷卻到0.01K,使鈷核的熱運(yùn)動(dòng)停止，實(shí)驗(yàn)便達(dá)到了預(yù)期效果.(3)具有可重復(fù)性。任何一個(gè)實(shí)驗(yàn)事實(shí)，應(yīng)該能被重復(fù)實(shí)現(xiàn)，否則便不能成立，這是科學(xué)活動(dòng)的一個(gè)規(guī)矩。例如,1974年10月初，丁肇中在美國(guó)通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了1/4粒子的存在，同年10月15日在西歐重復(fù)了這個(gè)實(shí)驗(yàn)，馬上找到了1/4粒子，這就證明了丁肇中的實(shí)驗(yàn)是成功的.
(二)整理經(jīng)驗(yàn)材料的方法
通過(guò)觀察，實(shí)驗(yàn)等方法得到的經(jīng)驗(yàn)材料，需要經(jīng)過(guò)加工整理，才能形成科學(xué)的結(jié)論。整理經(jīng)驗(yàn)材料的方法有比較，歸類，分析與綜合以及抽象與概括等.
1,比較
比較是確定對(duì)象共同點(diǎn)和差異點(diǎn)的方法。通過(guò)比較，既可以認(rèn)識(shí)對(duì)象之間的相似，也可以了解對(duì)象之間的差異，從而為進(jìn)一步的科學(xué)分類提供基礎(chǔ)。運(yùn)用比較方法，重要的是在表面上差異極大的對(duì)象中識(shí)"同",或在表面上相同或相似的對(duì)象中辨"異".正如格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾所說(shuō):"假如一個(gè)人能看出當(dāng)前即顯而易見的差別，譬如，能區(qū)別一支筆和一頭駱駝，我們不會(huì)說(shuō)這人有了不起的聰明。同樣，另一方面，一個(gè)人能比較兩個(gè)近似的東西，如橡樹和槐樹，或寺院與教堂，而知其相似，我們也不能說(shuō)他有很高的比較能力。我們所要求的，是要能看出異中之同和同中之異."①
在進(jìn)行比較時(shí)必須注意以下兩點(diǎn):
(1)要在同一關(guān)系下進(jìn)行比較。也就是說(shuō)，對(duì)象之間是可比的。如果拿不能相比的東西來(lái)勉強(qiáng)相比，就會(huì)犯"比附"的錯(cuò)誤。比如，木之長(zhǎng)是空間的長(zhǎng)度，夜之長(zhǎng)是時(shí)間的長(zhǎng)度，二者不能比長(zhǎng)短.
(2)選擇與制定精確的，穩(wěn)定的比較標(biāo)準(zhǔn)。比如，在生物學(xué)中廣泛使用生物標(biāo)本，地質(zhì)學(xué)中廣泛使用礦石標(biāo)本，用它們來(lái)證認(rèn)不同品種的生物和礦石。這些標(biāo)本就是比較的標(biāo)準(zhǔn)。現(xiàn)在研究石隕石或登月采集的月巖物質(zhì)，也是將它們同地球上的礦石標(biāo)本比較.
(3)要在對(duì)象的實(shí)質(zhì)方面進(jìn)行比較。例如比較兩位大學(xué)生誰(shuí)更優(yōu)秀，必須就他們的思想品德，學(xué)習(xí)成績(jī)，實(shí)踐能力等實(shí)質(zhì)方面進(jìn)行比較，而不是就性別，籍貫，家庭貧富等方面進(jìn)行比較.
2,歸類
歸類是根據(jù)對(duì)象的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，把對(duì)象按類區(qū)分開來(lái)的方法。通過(guò)歸類，可以使雜亂無(wú)章的現(xiàn)象條理化，使大量的事實(shí)材料系統(tǒng)化。歸類是在比較的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。通過(guò)比較，找出事物間的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，然后把具有相同點(diǎn)的事實(shí)材料歸為同一類，把具有差異點(diǎn)的事實(shí)材料分成不同的類。如全世界40萬(wàn)種左右植物，可把它們歸為四大類(門):藻菌植物門，真蘚門，蕨類植物門和種子植物。由門再往下分可以得出綱，目,科，屬,種各級(jí)單位.
歸類與詞項(xiàng)的劃分是有區(qū)別的.(1)思維進(jìn)程的方向不同。詞項(xiàng)的劃分是從較大的類，劃分出較小的類。而歸類則相反，它是從個(gè)體開始，上升到類，再上升到一般性更大的類.(2)作用不同。詞項(xiàng)的劃分是為了明確詞項(xiàng)。歸類則是把占有的材料系統(tǒng)化的方法。更為重要的是，由于正確的分類系統(tǒng)反映了事物的本質(zhì)特征和內(nèi)部規(guī)律性的聯(lián)系，因而具有科學(xué)的預(yù)見性，能夠指導(dǎo)人們尋找或認(rèn)識(shí)新的具體事物。例如，以查爾斯·達(dá)爾文生物進(jìn)化論為基礎(chǔ)建立起來(lái)的生物自然分類系統(tǒng)，曾預(yù)言了許多當(dāng)時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的過(guò)渡性生物。始祖鳥就是達(dá)爾文所預(yù)言并被人找到的一種。始祖鳥是介于爬行綱和鳥類之間的中間類型。它把這兩類動(dòng)物之間的空隙填補(bǔ)起來(lái)了，說(shuō)明鳥類是由爬蟲類演變而來(lái)的.
3,分析與綜合
分析就是將事物"分解成簡(jiǎn)單要素".綜合就是"組合，結(jié)合，湊合在一起".也就是說(shuō)，將事物分解成組成部分，要素，研究清楚了再湊合起來(lái)，事物以新的形象展示出來(lái)。這就是采用了分析與綜合的方法。如,分析一篇英文文章的結(jié)構(gòu)，先是得到句子，單詞，最后得到26個(gè)字母；反過(guò)來(lái)，綜合是由字母組成單詞，句子，再由句子組成文章，這些是文法所要研究的題材。再如，白色的光經(jīng)過(guò)三棱鏡，分解成紅橙黃綠青藍(lán)紫七色光；反過(guò)來(lái)，七色光又合成白色光。這就是光譜的分析與綜合，由此可以解釋彩虹的成因。分析和綜合是兩種不同的方法，它們?cè)谡J(rèn)識(shí)方向上是相反的。但它們又是密切結(jié)合，相輔相成的。一方面，分析是綜合的基礎(chǔ)；另一方面，分析也依賴于綜合，沒(méi)有一定的綜合為指導(dǎo)，就無(wú)從對(duì)事物作深入分析.
4,抽象與概括
抽象是人們?cè)谘芯炕顒?dòng)中，應(yīng)用思維能力,排除對(duì)象次要的，非本質(zhì)的因素，抽出其主要的，本質(zhì)的因素，從而達(dá)到認(rèn)識(shí)對(duì)象本質(zhì)的方法.
概括是在思維中把對(duì)象本質(zhì)的，規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，推廣到所有同類的其他事物上去的方法。如發(fā)現(xiàn)"能導(dǎo)電"這一"金屬"的共同本質(zhì)后，可把這種共同的本質(zhì)推廣到全部金屬上去，概括出全部金屬都具有"能導(dǎo)電"的本質(zhì)屬性.
第二節(jié)完全歸納推理
完全歸納推理是根據(jù)某類事物每一對(duì)象都具有某種屬性，從而推出該類事物都具有該種屬性的結(jié)論。例如:"已知歐洲有礦藏，亞洲有礦藏，非洲有礦藏，北美洲有礦藏，南美洲有礦藏，大洋洲有礦藏，南極洲有礦藏，而歐洲，亞洲，非洲，北美洲，南美洲，大洋洲，南極洲是地球上的全部大洲，所以，地球上所有大洲都有礦藏."其邏輯形式如下:
S1是P
S2是P
……
Sn是P
S1,S2,…,Sn是S類的全部對(duì)象
所以，所有S都是P
完全歸納推理的特點(diǎn)是：在前提中考察了一類事物的全部對(duì)象，結(jié)論沒(méi)有超出前提所斷定的知識(shí)范圍，因此，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的.
運(yùn)用完全歸納推理要獲得正確的結(jié)論，必須滿足兩條要求:(1)在前提中考察了一類事物的全部對(duì)象.(2)前提中對(duì)該類事物每一對(duì)象所作的斷定都是真的.
完全歸納推理有兩個(gè)方面的作用:(1)認(rèn)識(shí)作用。完全歸納推理根據(jù)某類事物每一對(duì)象都具有某種屬性，推出該類事物都具有該種屬性，使人們的認(rèn)識(shí)從個(gè)別上升到了一般。比如，上面根據(jù)"地球上的大洲"這一類事物的每個(gè)對(duì)象都有"有礦藏"這一屬性，得出"地球上所有大洲都有礦藏"的結(jié)論，就體現(xiàn)了完全歸納推理的認(rèn)識(shí)作用.(2)論證作用。因?yàn)橥耆珰w納推理的前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的，所以常被用作強(qiáng)有力的論證方法。比如對(duì)于論題"兩個(gè)特稱前提的三段論推不出結(jié)論",可以這樣論證：前提是II的三段論推不出結(jié)論，前提是OO的三段論推不出結(jié)論，前提是IO(OI)的三段論推不出結(jié)論，前提是II的三段論，前提是OO的三段論，前提是IO(OI)的三段論是兩個(gè)特稱前提的三段論的全部對(duì)象，所以，兩個(gè)特稱前提的三段論推不出結(jié)論.
完全歸納推理通常適用于數(shù)量不多的事物。當(dāng)所要考察的事物數(shù)量極多，甚至是無(wú)限的時(shí)候，完全歸納推理就不適用了，而需要運(yùn)用另一種歸納推理形式，即不完全歸納推理.
第三節(jié)不完全歸納推理
不完全歸納推理是根據(jù)某類事物部分對(duì)象都具有某種屬性，從而推出該類事物都具有該種屬性的結(jié)論。不完全歸納推理包括簡(jiǎn)單枚舉歸納推理,科學(xué)歸納推理.
一，簡(jiǎn)單枚舉歸納推理
在一類事物中，根據(jù)已觀察到的部分對(duì)象都具有某種屬性，并且沒(méi)有遇到任何反例，從而推出該類事物都具有該種屬性的結(jié)論，這就是簡(jiǎn)單枚舉歸納推理。比如，被譽(yù)為"數(shù)學(xué)王冠上的明珠"的"哥德巴赫猜想"就是用了簡(jiǎn)單枚舉歸納推理提出來(lái)的.200多年前，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)，一些奇數(shù)都分別等于三個(gè)素?cái)?shù)之和。例如:
17=3+3+11
41=11+13+17
77=7+17+53
461=5+7+449
哥德巴赫并沒(méi)有把所有奇數(shù)都列舉出來(lái)(事實(shí)上也不可能),只是從少數(shù)例子出發(fā)就提出了一個(gè)猜想：所有大于5的奇數(shù)都可以分解為三個(gè)素?cái)?shù)之和。他把這個(gè)猜想告訴了數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉。長(zhǎng)城歐拉肯定了他的猜想，并補(bǔ)充提出猜想：大于4的偶數(shù)都可以分解為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。例如:
10=5+5
14=7+7
18=9+9
462=5+457
前一個(gè)命題可以從這個(gè)命題得到證明，這兩個(gè)命題后來(lái)合稱為"哥德巴赫猜想".
民間的許多諺語(yǔ)，如"瑞雪兆豐年","礎(chǔ)潤(rùn)而雨，月暈而風(fēng)","鳥低飛，披蓑衣"等，都是根據(jù)生活中多次重復(fù)的事例，用簡(jiǎn)單枚舉歸納推理概括出來(lái)的.
簡(jiǎn)單枚舉歸納推理的邏輯形式如下:
S1是P
S2是P
……
Sn是P
S1,S2,…,Sn是S類的部分對(duì)象，并且其中沒(méi)有S不是P
所以，所有S是(或不是)P
簡(jiǎn)單枚舉歸納推理的結(jié)論是或然的，因?yàn)槠浣Y(jié)論超出了前提所斷定的知識(shí)范圍。數(shù)學(xué)家華羅庚在《數(shù)學(xué)歸納法》一書中，對(duì)簡(jiǎn)單枚舉歸納推理的或然性做了很好的說(shuō)明:
"從一個(gè)袋子里摸出來(lái)的第一個(gè)是紅玻璃球，第二個(gè)是紅玻璃球，甚至第三個(gè)，第四個(gè)，第五個(gè)都是紅玻璃球時(shí)，我們立刻就會(huì)猜想:'是不是袋子里所有的球都是紅玻璃球'但是，當(dāng)我們有一次摸出一個(gè)白玻璃球時(shí)，這個(gè)猜想失敗了。這時(shí)，我們會(huì)出現(xiàn)另一個(gè)猜想:'是不是袋里的東西全都是玻璃球'當(dāng)有一次摸出一個(gè)木球時(shí)，這個(gè)猜想又失敗了。那時(shí)，我們又會(huì)出現(xiàn)第三個(gè)猜想:'是不是袋里的東西都是球'這個(gè)猜想對(duì)不對(duì)，還必須繼續(xù)加以檢驗(yàn)，要把袋里的東西全部摸出來(lái)，才能見個(gè)分曉."①
要提高簡(jiǎn)單枚舉歸納推理的可靠性，必須注意以下兩條要求:(1)枚舉的數(shù)量要足夠多，考察的范圍要足夠廣.(2)考察有無(wú)反例。通常把不注意以上兩條要求因而樣本過(guò)少，結(jié)論明顯為假的簡(jiǎn)單枚舉歸納推理稱為"以偏全"或"輕率概括".魯迅在《內(nèi)山完造作序》里寫到:"一個(gè)旅行者走進(jìn)了下野的有錢的大官的書齋，看見有許多很貴的硯石，便說(shuō)中國(guó)是'文雅的國(guó)度';一個(gè)觀察者到上海市來(lái)一下，買幾種猥褻的書和圖畫，再去尋尋奇怪的觀覽物事，便說(shuō)中國(guó)是'色情的國(guó)度'."在這篇文章中，魯迅更進(jìn)一步揭示了此類人因?yàn)槊杜e的數(shù)量不夠多或考察的范圍不夠廣，不注意考察有無(wú)反例，以致"以偏賅全"或"輕率概括"而最后必然要陷入的窘境:"倘到窮文人的家里或者寓里去，不但無(wú)所謂書齋，連硯石也不過(guò)用著兩角錢一塊的家伙。一看見這樣的事，先前的結(jié)論就通不過(guò)去了，所以觀察者也就有些窘."
簡(jiǎn)單枚舉歸納推理是歸納推理中最簡(jiǎn)單的一種方法。但是，盡管如此，其意義卻不可忽視.(1)簡(jiǎn)單枚舉歸納推理有助發(fā)現(xiàn)的作用。當(dāng)還不能找到概括的充分根據(jù)，但已有相當(dāng)?shù)牟牧蠒r(shí)，就要運(yùn)用簡(jiǎn)單枚舉歸納推理，作出初步概括，推出一個(gè)或然性結(jié)論，以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)。因而，形成假說(shuō)時(shí)常用到簡(jiǎn)單枚舉歸納推理。例如，在波義耳定律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，簡(jiǎn)單枚舉歸納推理就起了一定的作用。羅伯特·波義耳從自己所掌握的許多實(shí)驗(yàn)事實(shí)中，概括出"在一定條件下，氣體體積和它所受到的壓強(qiáng)成反比"這一定律(2)簡(jiǎn)單枚舉歸納推理也可以用作論證的方法，在論證過(guò)程中發(fā)揮一定的作用。比如，胡適晚年有這樣一段談話:"凡是大成功的人，都是有絕頂聰明而肯做笨功夫的人。不但中國(guó)如此，西方也如此。像孔子，他說(shuō)'吾嘗終日不食，終夜不寢，以思，無(wú)益，不如學(xué)也',這是孔子做學(xué)問(wèn)的功夫。孟子就差了。漢代的鄭玄的大成就，完全是做的笨功夫。宋朝的朱夫子，他是一個(gè)絕頂聰明的人，他十五六歲時(shí)就研究禪學(xué)，中年以后才改邪歸正。他說(shuō)的'寧詳毋略，寧近毋遠(yuǎn)，寧下毋高,寧拙毋巧'十六個(gè)字，我時(shí)常寫給人家的。他的《四書章句集注》,除了《大學(xué)》早成定本外，其余仍是隨時(shí)修改的。現(xiàn)在的《四書集注》,不知是他生前已經(jīng)印行的本子，還是他以后修改未定的本子。如陸九淵，王守仁，也是第一等聰明的人。像顧炎武，少年時(shí)大氣磅礴，中年時(shí)才做實(shí)學(xué)，做笨的功夫，你看他的成就!"在這里，胡適為了論證"凡是大成功的人，都是有絕頂聰明而肯做笨功夫的人"的觀點(diǎn)，用的就是簡(jiǎn)單枚舉歸納推理.
二，科學(xué)歸納推理
科學(xué)歸納推理是根據(jù)某類事物中部分對(duì)象與某種屬性間因果聯(lián)系的分析，推出該類事物具有該種屬性的推理。例如:
金受熱后體積膨脹;
銀受熱后體積膨脹;
銅受熱后體積膨脹;
鐵受熱后體積膨脹;
因?yàn)榻饘偈軣岷螅肿拥哪哿p弱，分子運(yùn)動(dòng)加速，分子彼此距離加大，從而導(dǎo)致膨脹，而金，銀,銅，鐵都是金屬;
所以，所有金屬受熱后體積都膨脹.
上例在前提中不僅考察了一類事物的部分對(duì)象有某種屬性，而且進(jìn)一步指出了對(duì)象與屬性之間的因果聯(lián)系，由此推出結(jié)論。這就是科學(xué)歸納推理.
科學(xué)歸納推理的形式如下:
S1是P
S2是P
……
Sn是P
S1,S2,…,Sn是S類的部分對(duì)象，其中沒(méi)有Si(1≤i≤n)不是P;并且科學(xué)研究表明,S和P之間有因果聯(lián)系
所以，所有S都是P
科學(xué)歸納推理與簡(jiǎn)單枚舉歸納推理相比，有共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。它們的共同點(diǎn)是：都屬于不完全歸納推理，前提中都只是考察了一類事物的部分對(duì)象，結(jié)論則都是對(duì)一類事物全體的斷定，斷定的知識(shí)范圍超出前提。不同點(diǎn)是:(1)推理根據(jù)不同。簡(jiǎn)單枚舉歸納推理僅僅根據(jù)已觀察到的部分對(duì)象都具有某種屬性,并且沒(méi)有遇到任何反例。科學(xué)歸納推理則不是停留在對(duì)事物的經(jīng)驗(yàn)的重復(fù)上，而是深入進(jìn)行科學(xué)分析，在把握對(duì)象與屬性之間因果聯(lián)系的基礎(chǔ)上作出結(jié)論.(2)前提數(shù)量對(duì)于兩者的意義不同。對(duì)于簡(jiǎn)單枚舉歸納推理來(lái)說(shuō)，前提中考察的對(duì)象數(shù)量越多，范圍越廣，結(jié)論就越可靠。對(duì)于科學(xué)歸納推理來(lái)說(shuō)，前提的數(shù)量不具有決定性的意義，只要充分認(rèn)識(shí)對(duì)象與屬性之間的因果聯(lián)系，即使前提的數(shù)量不多，甚至只有一兩個(gè)典型事例，也能得到可靠結(jié)論。正如恩格斯所說(shuō)，十萬(wàn)部蒸汽機(jī)并不比一部蒸汽機(jī)更能說(shuō)明熱能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。佛教《百喻經(jīng)》中有一則故事說(shuō)到，從前有一位富翁想吃芒果，打發(fā)他的仆人到果園去買，并告訴他:"要甜的，好吃的，你才買."仆人拿好錢就去了。到了果園，園主說(shuō):"我這里樹上的芒果個(gè)個(gè)都是甜的，你嘗一個(gè)看."仆人說(shuō):"我嘗一個(gè)怎能知道全體呢我應(yīng)當(dāng)個(gè)個(gè)都嘗過(guò)，嘗一個(gè)買一個(gè)，這樣最可靠."仆人于是自己動(dòng)手摘芒果，摘一個(gè)嘗一口，甜的就都買回去。帶回家去，富翁見了，覺(jué)得非常惡心，一齊都扔了。這則故事非常有諷刺意味地說(shuō)明了，簡(jiǎn)單枚舉歸納推理在有些情況下是又笨又懶的辦法，其笨在重復(fù)，其懶在不思考。當(dāng)我們觀察到一些S具有屬性P后，應(yīng)當(dāng)開始思考，為什么這些S會(huì)有屬性P呢也就是，去弄清楚S和P究竟有沒(méi)有因果聯(lián)系。通過(guò)把握對(duì)象與屬性之間的因果聯(lián)系，我們就可以嘗數(shù)個(gè)芒果而知一棵樹上全部芒果是甜還不是不甜，比如，我們可以想到，芒果的甜與不甜和園中土壤，日照等有因果聯(lián)系，因而同一座園起碼同一棵樹的芒果其甜是差不太多的.(3)結(jié)論的可靠性不同。雖然二者的前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是或然的，歸納強(qiáng)度不必然等于1.但科學(xué)歸納推理考察了對(duì)象與屬性之間的因果聯(lián)系，因而，科學(xué)歸納推理的歸納強(qiáng)度比簡(jiǎn)單枚舉歸納推理的歸納強(qiáng)度大，也就是說(shuō)，科學(xué)歸納推理與簡(jiǎn)單枚舉歸納推理相比，結(jié)論的可靠程度大.
科學(xué)歸納推理倡導(dǎo)一種面對(duì)知識(shí)和結(jié)論不輕信而加以思考的習(xí)慣。這種習(xí)慣在資訊發(fā)達(dá)的時(shí)代尤顯重要。想想，我們的媒體經(jīng)常給我們傳播一些多么自相矛盾的"科學(xué)知識(shí)",這一點(diǎn)就不難明白了。比如，媒體有時(shí)候說(shuō)，飯后百步走好；有時(shí)候又說(shuō)，飯后百步走不好。再如，有時(shí)候說(shuō)，隔夜茶不能喝，喝了有害健康；有時(shí)候又說(shuō)，研究表明，隔夜茶可以喝，與喝非隔夜茶一樣。諸如此類，叫人簡(jiǎn)直不知所措。而科學(xué)歸納推理由于其主要特點(diǎn)是考察對(duì)象與屬性之間的因果聯(lián)系，因而有助于引導(dǎo)人們?nèi)ヌ角笫挛锏谋举|(zhì)，發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，從而比較可靠地把感性認(rèn)識(shí)提升到理性認(rèn)識(shí).
第四節(jié)概率推理
M·克萊因在《西方文化中的數(shù)學(xué)》中寫到:"不用說(shuō)關(guān)于我們未來(lái)的事情，甚至從現(xiàn)在起的一小時(shí)后，也均無(wú)任何肯定的東西存在。一分鐘后，我們腳下的地面可能就會(huì)裂開。但是，宣稱這種可能性嚇唬不了我們，因?yàn)槲覀冎溃霈F(xiàn)這種情況的概率極小。換句話說(shuō)，正是一個(gè)事件是否發(fā)生的概率，決定了我們對(duì)該事件的態(tài)度和行動(dòng)."①那種在某種條件下可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，我們稱之為隨機(jī)事件或偶然事件，如從一副橋牌中抽出一張紅桃K集團(tuán)股份有限公司.事實(shí)上，當(dāng)我們觀察了大量的同類隨機(jī)事件后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中存在著一定的規(guī)律性。概率就是對(duì)大量隨機(jī)事件所呈現(xiàn)的規(guī)律的數(shù)量上的刻畫，通常用P(A)表示。運(yùn)用概率推理，我們可以獲知某事件發(fā)生的可能性有多大，或者說(shuō)某事件發(fā)生的機(jī)會(huì)有多大。在這個(gè)意義上，可以說(shuō)概率推理即關(guān)于機(jī)會(huì)的推斷.
一，計(jì)算概率值的定義
在日常生活中，我們僅僅滿足于估計(jì)一個(gè)事件的概率是高還是低而已。但是，這種估計(jì)過(guò)于寬泛，不能滿足諸如在工業(yè)，經(jīng)濟(jì)，保險(xiǎn)，醫(yī)療，社會(huì)學(xué)，心理學(xué)等等許多問(wèn)題上的需要。因?yàn)樵谏鲜銮樾沃校仨氈罍?zhǔn)確的概率值。要達(dá)到這個(gè)目的，就要求助于數(shù)學(xué)。依靠數(shù)學(xué)計(jì)算出來(lái)的概率值，才能夠可靠地指引我們的行動(dòng).
一般地，計(jì)算概率值的定義是：如果有n種等可能性,而有利于某事件發(fā)生的情形是m,則該事件發(fā)生的概率是m/n,不發(fā)生的概率是(n-m)/n.在這個(gè)定義下，如果事件是不可能的，則事件的概率為0/n,即為0;如果事件是完全確定的，則概率是n/n,即為1.因此，概率值在從0到1的范圍內(nèi)變化，即從不可能性到確定性。所謂等可能性，就是說(shuō)出現(xiàn)的可能性相同。比如，一個(gè)子有6個(gè)面，若在骰子的形狀上或在扔骰子的方式中，沒(méi)有任何因素有利于某一面的出現(xiàn)，則骰子6面出現(xiàn)的可能性相同，也就是骰子具有6種等可能性。按照計(jì)算概率值的這個(gè)定義，從52張普通的未擦肥皂的一副撲克牌中，選取一張牌"A"的概率就是4/52,即1/13.因?yàn)檫@里有52種等可能性，其中有4種是有利的。但是，如果全部可能性不是等可能的，則這個(gè)計(jì)算概率值的定義就不適用。比如，一個(gè)人穿過(guò)街頭只有兩種可能性：或者安全穿過(guò)，或者沒(méi)有安全穿過(guò)。但是，不能由此斷定說(shuō)一個(gè)人安全穿過(guò)街頭的概率是1/2,因?yàn)?"安全穿過(guò)"和"沒(méi)有安全穿過(guò)"這兩種可能性并不是等可能的.
應(yīng)當(dāng)注意的是，概率告訴我們的是大量選取中所發(fā)生的情況。比如，從52張一副的撲克牌中選取"A"的概率是1/13,這并不意味著，如果一個(gè)人在這副撲克牌中取了13次，就一定會(huì)選中一張"A".他可能取了30次或40次，也沒(méi)有得到一張"A".不過(guò)，他取的次數(shù)越多，則取得A的次數(shù)與取牌總次數(shù)之比將會(huì)趨近于1/13.另外，這也并不意味著，如果一個(gè)人取了一張"A",比如說(shuō)正好是第一次取得的，下一次取出一張"A"的概率就必定小于1/13.概率依然將是相同的，即為1/13,即使3張"A"被連續(xù)取出來(lái)時(shí)也是如此。因?yàn)椋桓迸萍葲](méi)有記憶也沒(méi)有意識(shí)，因此已經(jīng)發(fā)生的事情不會(huì)影響未來(lái).
定義
例如：在一個(gè)平面內(nèi)，直角三角形內(nèi)角和是180°；銳角三角形內(nèi)角和是180°；鈍角三角形內(nèi)角和是180°；直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形是全部的三角形；所以，平面內(nèi)的一切三角形內(nèi)角和都是180°。
這個(gè)例子從直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形內(nèi)角和分別都是180°這些個(gè)別性知識(shí)，推出了“一切三角形內(nèi)角和都是180°“這樣的一般性結(jié)論，就屬于歸納推理。
傳統(tǒng)上，根據(jù)前提所考察對(duì)象范圍的不同，把歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理。完全歸納推理考察了某類事物的全部對(duì)象，不完全歸納推理則僅僅考察了某類事物的部分對(duì)象。并進(jìn)一步根據(jù)前提是否揭示對(duì)象與其屬性間的因果聯(lián)系，把不完全歸納推理分為簡(jiǎn)單枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理。
現(xiàn)代歸納邏輯則主要研究概率推理和統(tǒng)計(jì)推理。歸納推理的前提是其結(jié)論的必要條件。
其次，歸納推理的前提是真實(shí)的，但結(jié)論卻未必真實(shí)，而可能為假。如根據(jù)某天有一只兔子撞到樹上死了，推出每天都會(huì)有兔子撞到樹上死掉，這一結(jié)論很可能為假，除非一些很特殊的情況發(fā)生，比如地理環(huán)境中發(fā)生了什么異常使得兔子必以撞樹為快。
我們可以用歸納強(qiáng)度來(lái)說(shuō)明歸納推理中前提對(duì)結(jié)論的支持度。支持度小于50%的，則稱該推理是歸納弱的；支持度小于100%但大于50%的，稱該推理是歸納強(qiáng)的；歸納推理中只有完全歸納推理前提對(duì)結(jié)論的支持度達(dá)到100%，支持度達(dá)到100%的是必然性支持。
歸納推理的數(shù)理邏輯通用演算形式為：s1?p+s2?p+s3?p+〈n〉（s?p）=?×（s?p）。
演繹對(duì)比
歸納推理和演繹推理既有區(qū)別、又有聯(lián)系。
區(qū)別
1，思維進(jìn)程不同。
歸納推理的思維進(jìn)程是從個(gè)別到一般，而演繹推理的思維進(jìn)程不是從個(gè)別到一般，是一個(gè)必然地得出的思維進(jìn)程。
演繹推理不是從個(gè)別到一般的推理，但也不僅僅是從一般到個(gè)別的推理：演繹推理可以從一般到一般，比如從“一切非正義戰(zhàn)爭(zhēng)都是不得人心的“推出“一切非正義戰(zhàn)爭(zhēng)都不是得人心的“；
可以從個(gè)別到個(gè)別，比如從“羅吉爾·培根不是那個(gè)建立新的歸納邏輯學(xué)說(shuō)的培根“推出“那個(gè)建立新的歸納邏輯學(xué)說(shuō)的培根不是羅吉爾·培根“；可以從個(gè)別和一般到個(gè)別，比如從“這個(gè)物體不導(dǎo)電“和“所有的金屬都導(dǎo)電“推出“這個(gè)物體不是金屬“；還可以從個(gè)別和一般到一般，比如從“你能夠勝任這項(xiàng)工作“和“有志者事竟成或者你不能夠勝任這項(xiàng)工作“推出“有志者事竟成“。在這里，應(yīng)當(dāng)特別注意的是，歸納推理中的完全歸納推理其思維進(jìn)程既是從個(gè)別到一般，又是必然地得出。
2，對(duì)前提真實(shí)性的要求不同。
歸納推理要求大前提，小前提必須為真。演繹推理則沒(méi)有這個(gè)要求。
3，結(jié)論所斷定的知識(shí)范圍不同。演繹推理的結(jié)論沒(méi)有超出前提所斷定的知識(shí)范圍。歸納推理除了完全歸納推理，結(jié)論都超出了前提所斷定的知識(shí)范圍。
4，前提與結(jié)論間的聯(lián)系程度不同。演繹推理的前提與結(jié)論間的聯(lián)系是必然的，也就是說(shuō)，前提真實(shí)，推理形式正確，結(jié)論就必然是真的。歸納推理除了完全歸納推理前提與結(jié)論間的聯(lián)系是必然的外，前提和結(jié)論間的聯(lián)系都是或然的，也就是說(shuō)，前提真實(shí)，推理形式也正確，但不能必然推出真實(shí)的結(jié)論。
聯(lián)系
1，演繹推理如果要以一般性知識(shí)為前提，（演繹推理未必都要以一般性知識(shí)為前提）則通常要依賴歸納推理來(lái)提供一般性知識(shí)。
2，歸納推理離不開演繹推理。其一，為了提高歸納推理的可靠程度，需要運(yùn)用已有的理論知識(shí)，對(duì)歸納推理的個(gè)別性前提進(jìn)行分析，把握其中的因果性，必然性，這就要用到演繹推理。其二，歸納推理依靠演繹推理來(lái)驗(yàn)證自己的結(jié)論。例如，俄羅斯化學(xué)家德米特里·門捷列夫通過(guò)歸納發(fā)現(xiàn)元素周期表，指出，元素的性質(zhì)隨元素原子量的增加而呈周期性變化。后用演繹推理發(fā)現(xiàn)，原來(lái)測(cè)量的一些元素的原子量是錯(cuò)的。于是，他重新安排了它們?cè)谥芷诒碇械奈恢茫㈩A(yù)言了一些尚未發(fā)現(xiàn)的元素，指出周期表中應(yīng)留出空白位置給未發(fā)現(xiàn)的新元素。
邏輯史上曾出現(xiàn)兩個(gè)相互對(duì)立的派別——全歸納派和全演繹派。全歸納派把歸納說(shuō)成唯一科學(xué)的思維方法，否認(rèn)演繹在認(rèn)識(shí)中的作用。全演繹派把演繹說(shuō)成是唯一科學(xué)的思維方法，否認(rèn)歸納的意義。這兩種觀點(diǎn)都是片面的。正如恩格斯所說(shuō)：“歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是必然相互聯(lián)系著的。不應(yīng)當(dāng)犧牲一個(gè)而把另一個(gè)捧到天上去，應(yīng)當(dāng)把每一個(gè)都用到該用的地方，而要做到這一點(diǎn)，就只有注意它們的相互聯(lián)系，它們的相互補(bǔ)充。“
整理方法
通過(guò)觀察，實(shí)驗(yàn)等方法得到的經(jīng)驗(yàn)材料，需要經(jīng)過(guò)加工整理，才能形成科學(xué)的結(jié)論。整理經(jīng)驗(yàn)材料的方法有比較，歸類，分析與綜合以及抽象與概括等。
比較
比較是確定對(duì)象共同點(diǎn)和差異點(diǎn)的方法。通過(guò)比較，既可以認(rèn)識(shí)對(duì)象之間的相似，也可以了解對(duì)象之間的差異，從而為進(jìn)一步的科學(xué)分類提供基礎(chǔ)。運(yùn)用比較方法，重要的是在表面上差異極大的對(duì)象中識(shí)“同“，或在表面上相同或相似的對(duì)象中辨“異“。正如格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾所說(shuō)：“假如一個(gè)人能看出當(dāng)前即顯而易見的差別，譬如，能區(qū)別一支筆和一頭駱駝，我們不會(huì)說(shuō)這人有了不起的聰明。同樣，另一方面，一個(gè)人能比較兩個(gè)近似的東西，如橡樹和槐樹，或寺院與教堂，而知其相似，我們也不能說(shuō)他有很高的比較能力。我們所要求的，是要能看出異中之同和同中之異。“
在進(jìn)行比較時(shí)必須注意以下兩點(diǎn)：
(1)要在同一關(guān)系下進(jìn)行比較。也就是說(shuō)，對(duì)象之間是可比的。如果拿不能相比的東西來(lái)勉強(qiáng)相比，就會(huì)犯“比附“的錯(cuò)誤。比如，木之長(zhǎng)是空間的長(zhǎng)度，夜之長(zhǎng)是時(shí)間的長(zhǎng)度，二者不能比長(zhǎng)短。
(2)選擇與制定精確的，穩(wěn)定的比較標(biāo)準(zhǔn)。比如，在生物學(xué)中廣泛使用生物標(biāo)本，地質(zhì)學(xué)中廣泛使用礦石標(biāo)本，用它們來(lái)證認(rèn)不同品種的生物和礦石。這些標(biāo)本就是比較的標(biāo)準(zhǔn)。研究石隕石或登月采集的月巖物質(zhì)，也是將它們同地球上的礦石標(biāo)本比較。
(3)要在對(duì)象的實(shí)質(zhì)方面進(jìn)行比較。例如比較兩位大學(xué)生誰(shuí)更優(yōu)秀，必須就他們的思想品德，學(xué)習(xí)成績(jī)，實(shí)踐能力等實(shí)質(zhì)方面進(jìn)行比較，而不是就性別，籍貫，家庭貧富等方面進(jìn)行比較。
歸類
歸類是根據(jù)對(duì)象的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，把對(duì)象按類區(qū)分開來(lái)的方法。通過(guò)歸類，可以使雜亂無(wú)章的現(xiàn)象條理化，使大量的事實(shí)材料系統(tǒng)化。歸類是在比較的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。通過(guò)比較，找出事物間的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，然后把具有相同點(diǎn)的事實(shí)材料歸為同一類，把具有差異點(diǎn)的事實(shí)材料分成不同的類。如全世界40萬(wàn)種左右植物，可把它們歸為四大類(門)：藻菌植物門，真蘚門，蕨類植物門和種子植物。由門再往下分可以得出綱，目，科，屬，種各級(jí)單位。
歸類與詞項(xiàng)的劃分是有區(qū)別的。
(1)思維進(jìn)程的方向不同。詞項(xiàng)的劃分是從較大的類，劃分出較小的類。而歸類則相反，它是從個(gè)體開始，上升到類，再上升到一般性更大的類。
(2)作用不同。詞項(xiàng)的劃分是為了明確詞項(xiàng)。歸類則是把占有的材料系統(tǒng)化的方法。更為重要的是，由于正確的分類系統(tǒng)反映了事物的本質(zhì)特征和內(nèi)部規(guī)律性的聯(lián)系，因而具有科學(xué)的預(yù)見性，能夠指導(dǎo)人們尋找或認(rèn)識(shí)新的具體事物。例如，以查爾斯·達(dá)爾文生物進(jìn)化論為基礎(chǔ)建立起來(lái)的生物自然分類系統(tǒng)，曾預(yù)言了許多當(dāng)時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的過(guò)渡性生物。始祖鳥就是達(dá)爾文所預(yù)言并被人找到的一種。始祖鳥是介于爬行綱和鳥類之間的中間類型。它把這兩類動(dòng)物之間的空隙填補(bǔ)起來(lái)了，說(shuō)明鳥類是由爬蟲類演變而來(lái)的。
分析與綜合
分析就是將事物“分解成簡(jiǎn)單要素“。綜合就是“組合，結(jié)合，湊合在一起“。也就是說(shuō)，將事物分解成組成部分，要素，研究清楚了再湊合起來(lái)，事物以新的形象展示出來(lái)。這就是采用了分析與綜合的方法。
如，分析一篇英文文章的結(jié)構(gòu)，先是得到句子，單詞，最后得到26個(gè)字母；反過(guò)來(lái)，綜合是由字母組成單詞，句子，再由句子組成文章，這些是文法所要研究的題材。再如，白色的光經(jīng)過(guò)三棱鏡，分解成紅橙黃綠青藍(lán)紫七色光；反過(guò)來(lái)，七色光又合成白色光。這就是光譜的分析與綜合，由此可以解釋彩虹的成因。
分析和綜合是兩種不同的方法，它們?cè)谡J(rèn)識(shí)方向上是相反的。但它們又是密切結(jié)合，相輔相成的。一方面，分析是綜合的基礎(chǔ)；另一方面，分析也依賴于綜合，沒(méi)有一定的綜合為指導(dǎo)，就無(wú)從對(duì)事物作深入分析。
抽象與概括
抽象是人們?cè)谘芯炕顒?dòng)中，應(yīng)用思維能力，排除對(duì)象次要的，非本質(zhì)的因素，抽出其主要的，本質(zhì)的因素，從而達(dá)到認(rèn)識(shí)對(duì)象本質(zhì)的方法。
概括是在思維中把對(duì)象本質(zhì)的，規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，推廣到所有同類的其他事物上去的方法。如發(fā)現(xiàn)“能導(dǎo)電“這一“金屬“的共同本質(zhì)后，可把這種共同的本質(zhì)推廣到全部金屬上去，概括出全部金屬都具有“能導(dǎo)電“的本質(zhì)屬性。
完全歸納法
概念
完全歸納推理是??根據(jù)某類事物每一對(duì)象都具有某種屬性，從而推出該類事物都具有該種屬性的結(jié)論。
例子
例如：“已知?dú)W洲有礦藏，亞洲有礦藏，非洲有礦藏，北美洲有礦藏，南美洲有礦藏，大洋洲有礦藏，南極洲有礦藏，而歐洲，亞洲，非洲，北美洲，南美洲，大洋洲，南極洲是地球上的全部大洲，所以，地球上所有大洲都有礦藏。“其邏輯形式如下：
S1是P
S2是P
……
Sn是P
S1，S2，…，Sn是S類的全部對(duì)象
所以，所有S都是P
完全歸納推理的特點(diǎn)是：在前提中考察了一類事物的全部對(duì)象，結(jié)論沒(méi)有超出前提所斷定的知識(shí)范圍，因此，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的。
運(yùn)用完全歸納推理要獲得正確的結(jié)論，必須滿足兩條要求：(1)在前提中考察了一類事物的全部對(duì)象。(2)前提中對(duì)該類事物每一對(duì)象所作的斷定都是真的。
作用
完全歸納推理有兩個(gè)方面的作用：
(1)認(rèn)識(shí)作用。完全歸納推理根據(jù)某類事物每一對(duì)象都具有某種屬性，推出該類事物都具有該種屬性，使人們的認(rèn)識(shí)從個(gè)別上升到了一般。比如，上面根據(jù)“地球上的大洲“這一類事物的每個(gè)對(duì)象都有“有礦藏“這一屬性，得出“地球上所有大洲都有礦藏“的結(jié)論，就體現(xiàn)了完全歸納推理的認(rèn)識(shí)作用。
(2)論證作用。因?yàn)橥耆珰w納推理的前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的，所以常被用作強(qiáng)有力的論證方法。比如對(duì)于論題“兩個(gè)特稱前提的三段論推不出結(jié)論“，可以這樣論證：前提是II的三段論推不出結(jié)論，前提是OO的三段論推不出結(jié)論，前提是IO(OI)的三段論推不出結(jié)論，前提是II的三段論，前提是OO的三段論，前提是IO(OI)的三段論是兩個(gè)特稱前提的三段論的全部對(duì)象，所以，兩個(gè)特稱前提的三段論推不出結(jié)論。
完全歸納推理通常適用于數(shù)量不多的事物。當(dāng)所要考察的事物數(shù)量極多，甚至是無(wú)限的時(shí)候，完全歸納推理就不適用了，而需要運(yùn)用另一種歸納推理形式，即不完全歸納推理。
不完全法
概念
不完全歸納推理是??根據(jù)某類事物部分對(duì)象都具有某種屬性，從而推出該類事物都具有該種屬性的結(jié)論。不完全歸納推理包括簡(jiǎn)單枚舉歸納推理，科學(xué)歸納推理。
簡(jiǎn)單歸納推理
在一類事物中，根據(jù)已觀察到的部分對(duì)象都具有某種屬性，并且沒(méi)有遇到任何反例，從而推出該類事物都具有該種屬性的結(jié)論，這就是簡(jiǎn)單枚舉歸納推理。比如，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠“的“哥德巴赫猜想“就是用了簡(jiǎn)單枚舉歸納推理提出來(lái)的。200多年前，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)，一些奇數(shù)都分別等于三個(gè)素?cái)?shù)之和。例如：
17=3+3+11
41=11+13+17
77=7+17+53
461=5+7+449
哥德巴赫并沒(méi)有把所有奇數(shù)都列舉出來(lái)(事實(shí)上也不可能)，只是從少數(shù)例子出發(fā)就提出了一個(gè)猜想：所有大于5的奇數(shù)都可以分解為三個(gè)素?cái)?shù)之和。他把這個(gè)猜想告訴了數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉。長(zhǎng)城歐拉肯定了他的猜想，并補(bǔ)充提出猜想：大于4的偶數(shù)都可以分解為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。例如：
10=5+5
14=7+7
18=7+11
462=5+457
前一個(gè)命題可以從這個(gè)命題得到證明，這兩個(gè)命題后來(lái)合稱為“哥德巴赫猜想“。
民間的許多諺語(yǔ)，如“瑞雪兆豐年“，“礎(chǔ)潤(rùn)而雨，月暈而風(fēng)“，“鳥低飛，披蓑衣“等，都是根據(jù)生活中多次重復(fù)的事例，用簡(jiǎn)單枚舉歸納推理概括出來(lái)的。
簡(jiǎn)單枚舉歸納推理的邏輯形式如下：
S1是P
S2是P
……
Sn是P
S1，S2，…，Sn是S類的部分對(duì)象，并且其中沒(méi)有S不是P
所以，所有S是(或不是)P
簡(jiǎn)單枚舉歸納推理的結(jié)論是或然的，因?yàn)槠浣Y(jié)論超出了前提所斷定的知識(shí)范圍。數(shù)學(xué)家華羅庚在《數(shù)學(xué)歸納法》一書中，對(duì)簡(jiǎn)單枚舉歸納推理的或然性做了很好的說(shuō)明：
“從一個(gè)袋子里摸出來(lái)的第一個(gè)是紅玻璃球，第二個(gè)是紅玻璃球，甚至第三個(gè)，第四個(gè)，第五個(gè)都是紅玻璃球時(shí)，我們立刻就會(huì)猜想：'是不是袋子里所有的球都是紅玻璃球'但是，當(dāng)我們有一次摸出一個(gè)白玻璃球時(shí)，這個(gè)猜想失敗了。這時(shí)，我們會(huì)出現(xiàn)另一個(gè)猜想：'是不是袋里的東西全都是玻璃球'當(dāng)有一次摸出一個(gè)木球時(shí)，這個(gè)猜想又失敗了。那時(shí)，我們又會(huì)出現(xiàn)第三個(gè)猜想：'是不是袋里的東西都是球'這個(gè)猜想對(duì)不對(duì)，還必須繼續(xù)加以檢驗(yàn)，要把袋里的東西全部摸出來(lái)，才能見個(gè)分曉。“
要提高簡(jiǎn)單枚舉歸納推理的可靠性，必須注意以下兩條要求：(1)枚舉的數(shù)量要足夠多，考察的范圍要足夠廣。(2)考察有無(wú)反例。通常把不注意以上兩條要求因而樣本過(guò)少，結(jié)論明顯為假的簡(jiǎn)單枚舉歸納推理稱為“以偏賅全“或“輕率概括“。
魯迅在《內(nèi)山完造作序》里寫到：“一個(gè)旅行者走進(jìn)了下野的有錢的大官的書齋，看見有許多很貴的硯石，便說(shuō)中國(guó)是'文雅的國(guó)度'；一個(gè)觀察者到上海來(lái)一下，買幾種猥褻的書和圖畫，再去尋尋奇怪的觀覽物事，便說(shuō)中國(guó)是'色情的國(guó)度'。“在這篇文章中，魯迅更進(jìn)一步揭示了此類人因?yàn)槊杜e的數(shù)量不夠多或考察的范圍不夠廣，不注意考察有無(wú)反例，以致“以偏賅全“或“輕率概括“而最后必然要陷入的窘境：“倘到窮文人的家里或者寓里去，不但無(wú)所謂書齋，連硯石也不過(guò)用著兩角錢一塊的家伙。一看見這樣的事，先前的結(jié)論就通不過(guò)去了，所以觀察者也就有些窘。“
簡(jiǎn)單枚舉歸納推理是歸納推理中最簡(jiǎn)單的一種方法。但是，盡管如此，其意義卻不可忽視。
(1)簡(jiǎn)單枚舉歸納推理有助發(fā)現(xiàn)的作用。當(dāng)還不能找到概括的充分根據(jù)，但已有相當(dāng)?shù)牟牧蠒r(shí)，就要運(yùn)用簡(jiǎn)單枚舉歸納推理，作出初步概括，推出一個(gè)或然性結(jié)論，以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)。因而，形成假說(shuō)時(shí)常用到簡(jiǎn)單枚舉歸納推理。例如，在??波義耳定律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，簡(jiǎn)單枚舉歸納推理就起了一定的作用。羅伯特·波義耳從自己所掌握的許多實(shí)驗(yàn)事實(shí)中，概括出“在一定條件下，氣體體積和它所受到的壓強(qiáng)成反比“這一定律。
(2)簡(jiǎn)單枚舉歸納推理也可以用作論證的方法，在論證過(guò)程中發(fā)揮一定的作用。比如，胡適晚年有這樣一段談話：“凡是大成功的人，都是有絕頂聰明而肯做笨功夫的人。不但中國(guó)如此，西方也如此。像孔子，他說(shuō)'吾嘗終日不食，終夜不寢，以思，無(wú)益，不如學(xué)也'，這是孔子做學(xué)問(wèn)的功夫。中國(guó)數(shù)學(xué)家和語(yǔ)言學(xué)家周海中對(duì)梅森素?cái)?shù)研究多年，他運(yùn)用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，于1992年首先給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式，從而揭示了梅森素?cái)?shù)的重要規(guī)律，為人們探究這一素?cái)?shù)提供了方便。后來(lái)這一科研成果被國(guó)際上稱為“周氏猜測(cè)”。
科學(xué)歸納推理
科學(xué)歸納推理是??根據(jù)某類事物中部分對(duì)象與某種屬性間因果聯(lián)系的分析，推出該類事物具有該種屬性的推理。例如：
金受熱后體積膨脹；
銀受熱后體積膨脹；
銅受熱后體積膨脹；
鐵受熱后體積膨脹；
因?yàn)榻饘偈軣岷螅肿拥哪哿p弱，分子運(yùn)動(dòng)加速，分子彼此距離加大，從而導(dǎo)致膨脹，而金，銀，銅，鐵都是金屬；
所以，所有金屬受熱后體積都膨脹。
上例在前提中不僅考察了一類事物的部分對(duì)象有某種屬性，而且進(jìn)一步指出了對(duì)象與屬性之間的因果聯(lián)系，由此推出結(jié)論。這就是科學(xué)歸納推理。
科學(xué)歸納推理的形式如下：
S1是P
S2是P
……
Sn是P
S1，S2，…，Sn是S類的部分對(duì)象，其中沒(méi)有Si(1≤i≤n)不是P；并且科學(xué)研究表明，S和P之間有因果聯(lián)系
所以，所有S都是P
科學(xué)歸納推理與簡(jiǎn)單枚舉歸納推理相比，有共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。
它們的共同點(diǎn)是：都屬于不完全歸納推理，前提中都只是考察了一類事物的部分對(duì)象，結(jié)論則都是對(duì)一類事物全體的斷定，斷定的知識(shí)范圍超出前提。
不同點(diǎn)是：(1)推理根據(jù)不同。簡(jiǎn)單枚舉歸納推理僅僅根據(jù)已觀察到的部分對(duì)象都具有某種屬性，并且沒(méi)有遇到任何反例。科學(xué)歸納推理則不是停留在對(duì)事物的經(jīng)驗(yàn)的重復(fù)上，而是深入進(jìn)行科學(xué)分析，在把握對(duì)象與屬性之間因果聯(lián)系的基礎(chǔ)上作出結(jié)論。
(2)前提數(shù)量對(duì)于兩者的意義不同。對(duì)于簡(jiǎn)單枚舉歸納推理來(lái)說(shuō)，前提中考察的對(duì)象數(shù)量越多，范圍越廣，結(jié)論就越可靠。對(duì)于科學(xué)歸納推理來(lái)說(shuō)，前提的數(shù)量不具有決定性的意義，只要充分認(rèn)識(shí)對(duì)象與屬性之間的因果聯(lián)系，即使前提的數(shù)量不多，甚至只有一兩個(gè)典型事例，也能得到可靠結(jié)論。正如恩格斯所說(shuō)，十萬(wàn)部蒸汽機(jī)并不比一部蒸汽機(jī)更能說(shuō)明熱能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。
(3)結(jié)論的可靠性不同。雖然二者的前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是或然的，歸納強(qiáng)度不必然等于1。但科學(xué)歸納推理考察了對(duì)象與屬性之間的因果聯(lián)系，因而，科學(xué)歸納推理的歸納強(qiáng)度比簡(jiǎn)單枚舉歸納推理的歸納強(qiáng)度大，也就是說(shuō)，科學(xué)歸納推理與簡(jiǎn)單枚舉歸納推理相比，結(jié)論的可靠程度大。
科學(xué)歸納推理倡導(dǎo)一種面對(duì)知識(shí)和結(jié)論不輕信而加以思考的習(xí)慣。這種習(xí)慣在資訊發(fā)達(dá)的時(shí)代尤顯重要。想想，我們的媒體經(jīng)常給我們傳播一些多么自相矛盾的“科學(xué)知識(shí)“，這一點(diǎn)就不難明白了。
比如，媒體有時(shí)候說(shuō)，飯后百步走好；有時(shí)候又說(shuō)，飯后百步走不好。再如，有時(shí)候說(shuō)，隔夜茶不能喝，喝了有害健康；有時(shí)候又說(shuō)，研究表明，隔夜茶可以喝，與喝非隔夜茶一樣。諸如此類，叫人簡(jiǎn)直不知所措。而科學(xué)歸納推理由于其主要特點(diǎn)是考察對(duì)象與屬性之間的因果聯(lián)系，因而有助于引導(dǎo)人們?nèi)ヌ角笫挛锏谋举|(zhì)，發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，從而比較可靠地把感性認(rèn)識(shí)提升到理性認(rèn)識(shí)。
概率
M·克萊因在《西方文化中的數(shù)學(xué)》中寫到：“不用說(shuō)關(guān)于我們未來(lái)的事情，甚至從當(dāng)下起的一小時(shí)后，也均無(wú)任何肯定的東西存在。一分鐘后，我們腳下的地面可能就會(huì)裂開。但是，宣稱這種可能性嚇唬不了我們，因?yàn)槲覀冎溃霈F(xiàn)這種情況的概率極小。
換句話說(shuō)，正是一個(gè)事件是否發(fā)生的概率，決定了我們對(duì)該事件的態(tài)度和行動(dòng)。“那種在某種條件下可能現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，我們稱之為隨機(jī)事件或偶然事件，如從一副橋牌中抽出一張紅桃K。事實(shí)上，當(dāng)我們觀察了大量的同類隨機(jī)事件后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中存在著一定的規(guī)律性。
概率就是對(duì)大量隨機(jī)事件所呈現(xiàn)的規(guī)律的數(shù)量上的刻畫，通常用P(A)表示。運(yùn)用概率推理，我們可以獲知某事件發(fā)生的可能性有多大，或者說(shuō)某事件發(fā)生的機(jī)會(huì)有多大。在這個(gè)意義上，可以說(shuō)概率推理即關(guān)于機(jī)會(huì)的推斷。
概率值
在日常生活中，我們僅僅滿足于估計(jì)一個(gè)事件的概率是高還是低而已。但是，這種估計(jì)過(guò)于寬泛，不能滿足諸如在工業(yè)，經(jīng)濟(jì)，保險(xiǎn)，醫(yī)療，社會(huì)學(xué)，心理學(xué)等等許多問(wèn)題上的需要。因?yàn)樵谏鲜銮樾沃校仨氈罍?zhǔn)確的概率值。要達(dá)到這個(gè)目的，就要求助于數(shù)學(xué)。依靠數(shù)學(xué)計(jì)算出來(lái)的概率值，才能夠可靠地指引我們的行動(dòng)。
一般地，計(jì)算概率值的定義是：如果有n種等可能性，而有利于某事件發(fā)生的情形是m，則該事件發(fā)生的概率是m/n，不發(fā)生的概率是(n-m)/n。在這個(gè)定義下，如果事件是不可能的，則事件的概率為0/n，即為0；如果事件是完全確定的，則概率是n/n，即為1。
因此，概率值在從0到1的范圍內(nèi)變化，即從不可能性到確定性。所謂等可能性，就是說(shuō)出現(xiàn)的可能性相同。比如，一個(gè)骰子有6個(gè)面，若在骰子的形狀上或在扔骰子的方式中，沒(méi)有任何因素有利于某一面的出現(xiàn)，則骰子6面出現(xiàn)的可能性相同，也就是骰子具有6種等可能性。
按照計(jì)算概率值的這個(gè)定義，從52張普通的未擦肥皂的一副撲克牌中，選取一張牌“A“的概率就是4/52，即1/13。因?yàn)檫@里有52種等可能性，其中有4種是有利的。但是，如果全部可能性不是等可能的，則這個(gè)計(jì)算概率值的定義就不適用。比如，一個(gè)人穿過(guò)街頭只有兩種可能性：或者安全穿過(guò)，或者沒(méi)有安全穿過(guò)。但是，不能由此斷定說(shuō)一個(gè)人安全穿過(guò)街頭的概率是1/2，因?yàn)椋鞍踩┻^(guò)“和“沒(méi)有安全穿過(guò)“這兩種可能性并不是等可能的。
應(yīng)當(dāng)注意的是，概率告訴我們的是大量選取中所發(fā)生的情況。比如，從52張一副的撲克牌中選取“A“的概率是1/13，這并不意味著，如果一個(gè)人在這副撲克牌中取了13次，就一定會(huì)選中一張“A“。他可能取了30次或40次，也沒(méi)有得到一張“A“。不過(guò)，他取的次數(shù)越多，則取得A的次數(shù)與取牌總次數(shù)之比將會(huì)趨近于1/13。另外，這也并不意味著，如果一個(gè)人取了一張“A“，比如說(shuō)正好是第一次取得的，下一次取出一張“A“的概率就必定小于1/13。概率依然將是相同的，即為1/13，即使3張“A“被連續(xù)取出來(lái)時(shí)也是如此。因?yàn)椋桓迸萍葲](méi)有記憶也沒(méi)有意識(shí)，因此已經(jīng)發(fā)生的事情不會(huì)影響未來(lái)。
參考資料 >