直角三角形是一個幾何圖形，是有一個角為直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形兩種。其符合勾股定理，具有一些特殊性質(zhì)和判定方法。其固定邊長比例結(jié)合三角函數(shù)（SohCahToa）可求解未知變量，并涉及等腰直角三角形分割正方形等幾何場景。
圖示
直角三角形如圖所示：分為兩種情況，有普通的直角三角形，還有等腰直角三角形（特殊情況)在直角三角形中，與直角相鄰的兩條邊稱為直角邊，直角所對的邊稱為斜邊。直角三角形直角所對的邊也叫作“弦”。若兩條直角邊不一樣長，短的那條邊叫作“勾”，長的那條邊叫作“股”。
判定定理
等腰直角三角形是一種特殊的三角形
等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)：具有穩(wěn)定性、內(nèi)角和為180°。兩直角邊相等，兩銳角為45°，斜邊上中線、角平分線、垂線三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為此三角形外接圓的半徑R。
特殊性質(zhì)
它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：
1、直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖，（勾股定理)
2、在直角三角形中，兩個銳角互余。如圖，若
3、直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點，外接圓半徑R=C/2）。該性質(zhì)稱為直角三角形斜邊中線定理。
4、直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。例如有些三角形的內(nèi)角有一些簡單的關系，例如45–45–90度三角形，這是各角有特殊關系的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關系，例如各邊的比例可以用自然數(shù)表示，例如3:4:5，或是可以用黃金比例表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關系或角關系，可以快速計算一些幾何問題而不需用到較復雜的公式。
5、如圖，Rt△ABC中，，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：
（1）。
（2）。
（3）。
射影定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。是數(shù)學圖形計算的重要定理。
6、在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°。
證明方法多種，下面采取較簡單的幾何證法。
先證明定理的前半部分，Rt△ABC中，
∵
∴（直角三角形兩銳角互余）
取AB中點D，連接CD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可知
∴△BCD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）
∴
再證明定理的后半部分，Rt△ABC中，
取AB中點D，連接CD,那么（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
又∵
∴
∴
∴
7、如圖，
在Rt△ABC中，AD是斜邊上的高，則：
證明：
兩邊乘以2，再平方得
運用勾股定理，再兩邊除以,最終化簡即得
性質(zhì)8:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
判定方法
判定1：有一個角為90°的三角形是直角三角形。
判定2：若，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一個三角形30°內(nèi)角所對的邊是某一邊的一半，則這個三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形。
判定4：兩個銳角互為余角（兩角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若兩直線相交且它們的斜率之積互為負倒數(shù)，則兩直線互相垂直。那么這個三角形為直角三角形。
判定6：若在一個三角形中一邊上的中線等于其所在邊的一半，那么這個三角形為直角三角形。參考直角三角形斜邊中線定理
判定7：一個三角形30°角所對的邊等于某一鄰邊的一半，則這個三角形為直角三角形。
判定3和7的證明：
已知△ABC中，，∠A，∠C對的邊分別為a，c，且
證法1：
正弦定理，在△ABC中，有
將a與c的關系及∠A的度數(shù)代入之后化簡得
又∵
∴
證法2
反證法，假設，過B作于D
在Rt△ABD中,∵
∴（30°的直角邊等于斜邊的一半）
又∵
∴
但BD是B到直線AC的垂線段，根據(jù)垂線段最短可知，從而出現(xiàn)矛盾。
（或從得，那么△ABC中就有兩個直角，這是不可能的事情）
∴假設不成立，
證法3
利用三角形的外接圓證明
作△ABC的外接圓，設圓心為O，連接OC,OB
∵，A在圓上
∴
∵
∴△BOC是等邊三角形,
又∵
∴AB是直徑
∴(直徑所對的圓周角是直角)
基本簡介
等腰直角三角形的邊角之間的關系：
（1）三角形三內(nèi)角和等于180°；
（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；
（3）三角形的一外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；
（4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；
（5）在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊.
等腰直角三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線.
（1）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.
（三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等）.
（2）三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點的距離的2倍。
（3）三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。
（4）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的二分之一。
（5）三角形的一條內(nèi)角平分線與兩條外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。
注意：
①任意三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部 .
②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。
（直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊中點。）
④銳角三角形垂心、外心在三角形內(nèi)部。
⑤任意三角形的旁心一定在三角形的外部。
相關線段
中線：頂點與對邊中點的連線，平分三角形。
角平分線：平分三角形一內(nèi)角的線段。
高線：三角形中一頂點向?qū)呑鞯拇咕€
勾股定理
勾股定理
如果直角三角形兩直角邊分別為A，B，斜邊為C，那么即直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方。如果三角形的三條邊A，B，C滿足;，還有變形公式： ，如：一條直角邊是a，另一條直角邊是b，如果a的平方與b的平方和等于斜邊c的平方那么這個三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）由畢達哥拉斯在公元前550年提出。
應用舉例
如圖1，是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點
立柱為BC，DE垂直于橫梁AC，，求BC、DE要多長？
解：∵
又
∵點D是AB的中點,
斜邊公式
（一）已知兩條直角邊的長度，可按公式：計算斜邊。
（二）如已知一條直角邊和一個銳角，可用直角三角函數(shù)計算斜邊。
直角三角形ABC的六個元素中除直角C外，其余五個元素有如下關系：
例：角A等于30°，角A的對邊是4米，計算斜邊C是多少？
查表
三角函數(shù)
三角函數(shù)值除了查表，也可以用電腦系統(tǒng)自帶的計算器，計算。
開始——程序——附件——計算器。這個計算器有兩種模式，點‘查看’有一個下拉菜單，有標準型和科學型，選擇科學型，輸入度數(shù)后正弦點sin，余弦點cos，正切點tan，值就直接顯示出來了。
這里有一個度和度分秒轉(zhuǎn)換的問題。如 18.69度，其中整數(shù)18就是18°，那么，用這里整數(shù)41就是41分，再
再用這個24就是秒。
也可以用計算器直接轉(zhuǎn)換：輸入度數(shù)18.69——鉤上Hyp——再點dms
就顯示出18.4124，這就是18度41分24秒。
如要轉(zhuǎn)換回去就輸入18.4124——鉤上Inv——再點dms,就轉(zhuǎn)換了。
有一點請注意，顯示度分秒時，小數(shù)點后面是一位數(shù)或三位數(shù)如：
15.3； 15.302，應讀作15度30分；和15度30分20秒。
解直角三角形
含義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即3條邊和2個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素的過程，叫做解直角三角形。
1.三條邊的關系：
2.歸納
利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程：
參考資料 >