正弦定理（英文：law of sines）是三角學中的一個基本定理，它指出“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑”，即a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2r = D（r為外接圓半徑，D為直徑）。對于，如果為的外接圓半徑，則正弦定理的數學表達式為：
其中，為三角形的三個角，為三個角的對邊。
正弦定理揭示了三角形更一般的內在規律，刻畫了三角形六個基本元素中四個元素的關系，是解三角形的基本根據之一，在解三角形中具有重要的應用。
歷史
早期人們對三角學的研究是處于天文學發展的需要。10世紀時，波斯天文學家阿布爾·威發（Abu al-Wafa' al-Buzjani）在精編三角函數表用于天文臺工作之余，首先發現了平面和球面三角形的正弦定理，并發表在其天文學著作《天文學大全》。
13世紀時，波斯天文學家納西爾丁(Nasir ad-Din, al-Tusi）在其著作《橫截線原理書》中，首次對正弦定理進行了陳述。《橫截線原理書》是數學史上流傳至今最早的三角學專著，自此三角學開始脫離天文學，成為數學的一個獨立分支。
在歐洲，1464 年，德國數學家雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus)完成了著作《論各種三角形》，這是歐洲第一部三角學專著，在該專著中講述一般三角形的正弦定理并給出了證明。
定義
角的正弦是指直角三角形中，該角的對邊和斜邊的比值。正弦定理描述的是任意三角形中三條邊與對應角的正弦之間存在這樣一個關系：在一個三角形中，各邊長和它所對的角的正弦的比值相等，且比值為該三角形外接圓的直徑（半徑的2倍）長度。
如右圖所示，中，所對的邊分別為，則有：
（為的外接圓半徑）
在解三角形問題中，若已知兩角和一邊，或者已知兩邊和其中一邊所對的角，可使用正弦定理求其余的元素。
證明
比值關系證明
作輔助弧線證明
如圖所示, 在中, 不妨假設， 以較長的邊為半徑， 分別以點為圓心作兩段弧，分別交于兩點, 交的延長線于點，過點 分別作垂線。
在和 中，有
也就是：
同理，，定理得證。
利用三角形面積公式證明
由三角形的面積公式可知以下等式成立：
即：
顯然，。
同理有，定理得證。
外接圓直徑證明
利用垂直平分線證明
如圖所示, 作的外接圓圓，連接,,取線段中點，連接，由三角形邊長的垂直平分線過外接圓圓心可知，。在中，，則有：
也就是：。
同理，可證和，定理得證。
通過在外接圓中作輔助三角形證明
如圖所示, 作 的外接圓圓， 過 點作圓 的直徑, 則 ，由直徑所對應的角是圓周角可得. 于是，在中, 有：
因為同弦對應的圓周角相等，所以. 故。
同理，可證和，定理得證。
相關推論
中，所對的邊分別為，為的外接圓半徑，則由正弦定理可推出
(1)
(2)
(3)
(4)
證明：根據(1)可以得到
所以
同理可證
(5)
證明：根據(1)可以得到
所以.
相關定理
定理1
在中，如果以三個角的正弦值作為三條邊，可構成一個新的三角形，記為，則有以下結論成立。
(1)以為邊可作成一個三角形。
證明：
容易知道，并且有
同理可得：定理得證。
(2)由正弦定理可知，新三角形與原三角形是相似的，即。
(3)由于，即和的三個角對應相等： 。
(4) 的正弦定理可表示為：，由于，因此也就是說，的外接圓的直徑為 1。
(5) 由的面積公式可得到的面積為：。
定理2
已知銳角, 以為邊可作成一個三角形。如右圖所示，如果分別以為頂點，為半徑畫圓，則此三圓必交于的垂心。
證明：
在中,
，
因此，
同理，
因此，
上式也被稱為第一類正弦定理。
在中，分別為三條邊，由推論1可知，
即，定理得證。
定理3
銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于外接圓的直徑與內切圓的直徑之和。
證明:
設的垂心為，則有：
由上式可得：
即
結合可知：
，定理得證。
定理4
如右圖所示，設銳角的垂心到三角形三邊的距離分別為，則有：
證明：
銳角中，四點共圓。
由圖可知，
即。
同理，
故，定理得證。
應用
解三角形
一般地，的三個角及其所對的邊，稱為三角形的六個基本元素。已知三角形六個基本元素中的幾個，求其他元素的過程叫做解三角形。
正弦定理應用于解三角形主要有以下兩種情形：
(1) 已知兩角和任意邊，求其余兩邊和一角
舉例：在中，已知，求(保留兩個有效數字)
因為所以
(2) 已知兩邊與其中一邊的對角，求其余兩角和第三邊
舉例：在中，已知求(精確到)和(保留兩位有效數字)
已知，所以，因此也是銳角。因為
所以
所以
物理動態平衡問題
柔軟輕繩的一端固定，其中間某點拴一重物，用手拉住繩的另一端，初始時，垂直且被拉直，與之間的夾角為.現將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角不變，在由垂直被拉到水平的過程中，探究和上張力的變化。
在求解矢量三角形邊角關系的物理問題時，除正交分解法之外，此問題還可通過正弦定理解決，常可使一些本來復雜的運算獲得簡捷的解答。設將拉到與豎直方向的夾角為，點受力圖如圖所示。
由三角形內角和可得，.可以得到力的三角形如圖所示
由正弦定理可以得到.
化簡公式可以得到
因為不變，所以保持不變。從增大到過程中，一直在增大，所以增大。因為，在從增大到過程中，先從一個鈍角減小到，再從減小為銳角，而是最大的正弦值，所以先增大后減小，因此先增大后減小。
工業測量
漸進成形技術是一種通過局部變形的累積產生整體變形的無模成形技術。周六如認為數控漸進成形中材料厚度變化遵循正弦定理，成形極限和厚度有很大關系。通過比較板料厚度的差異，并與正弦定理的預測值進行對比，分析正弦定理的適用范圍和精確性，以求增強對漸進成形過程中板料壁厚變化的控制，提高板料的成形極限與成形能力，從而加工出高質量的金零件。
相關定理
正弦定理、余弦定理和射影定理是解三角形的三個基本定理。正弦定理和余弦定理刻畫的是6個基本元素中4個基本元素的關系，射影定理刻畫的是6個基本元素中5個基本元素的關系，這三個定理是互相等價的。三面角正弦定理描述了三面角的三個面角和三個二面角的關系。球面三角形的正弦定理描述了頂點不在同一大圓的球面上的三角形角的正弦關系。
余弦定理
余弦定理描述的是三角形的三條邊與某個角的關系，其數學表達式為：
在解三角形問題中，應用余弦定理可以在已知兩邊及其夾角時求出第三邊，已知三邊長度，應用余弦定理可以求出三個角。應用余弦定理求得的邊和角是唯一的。
射影定理
射影定理描述的是三角形的三條邊與某兩個角的關系，即三角形的某一邊等于另外兩邊在該邊上的投影之和，其數學表達式為：
三面角正弦定理
若三面角的三個面角分別為它們所對的二面角分別為，如圖，分別為分別為，則有
球面三角形的正弦定理
基本概念
除了在平面幾何中，在球面三角學中也有對應的正弦定理，稱為球面三角正弦定理。
在球面三角學中，球面上兩個大圓弧相交構成的角稱為球面角，大圓弧稱為球面角的邊，大圓弧的交點稱為球面角的頂點。
在球面上不在同一大圓上的三個點用三條大圓劣弧聯結起來所圍成的圖形,稱為球面三角形。球面三角形具有六個元素：三條大圓劣弧稱為球面三角形的邊，通常用表示, 各邊長度等于由球心測得的相鄰頂點之間的角距離；三條大圓劣弧所構成的角叫作球面三角形的角,通常用等表示。如右圖所示，三點構成球面三角形（紅線部分），三個球面角分別為。
在球面三角形中，各邊的正弦與其對角的正弦成比例，這是球面三角形的正弦定理。如右圖所示，在球面三角形中，三個角為及其所對的邊分別為，則球面三角形的正弦定理可用以下數學公式描述：
證明
在球面中，
由于
整理可得：
容易看到上式右端是關于，也就是對于也成立。
即，由于等式各項均為正，
因此有，定理得證。
定理推廣
高維歐式空間的正弦定理
平面（二維）幾何的正弦定理可以推廣到更高維的維歐氏空間 中。中的維 單形的維頂角的正弦定理表述如下：設中的維 單形的頂點集，其維面的維體積為所對應的維頂角為, 則有：
式中，維頂角的正弦值由以下表達式定義：
為，表達式如下：
。
當時，即可得到平面幾何中三角形的正弦定理。
雙曲函數
雙曲函數是由指數函數和確定的一系列函數。
雙曲正弦: ；
雙曲余弦: ；
雙曲正切: ；
雙曲余切: 。
由歐拉公式可知，雙曲函數與正弦函數存在著緊密的關系。
由 可知；
由可知；
由可知；
由可知。
在中，雙曲函數同樣存在與正弦定理類似的規律，用數學公式表示為：
(這里表示雙曲函數)
稱該定理為羅氏正弦定理，結合正弦定理，還可得到雙曲函數與三角形的邊的關系：
。
參考資料 >
正弦定理.術語在線.2023-05-03
law of sines.britannica.2023-05-03
球面三角正弦定律.術語在線.2023-05-03