模糊數學（英文名：Fuzzy 數學）是用數學方法研究和處理具有“模糊性”現象的數學學科。模糊數學建立在集合論的基礎上，其目標是效仿人腦的模糊思維，為解決各種實際問題（特別是有人干預的復雜系統的處理問題）提供有效的思路和方法。
模糊數學的核心是模糊集合，因而也被稱為“模糊集理論”。模糊數學誕生于1965年，它的創始人是美國自動控制專家扎德（L. A. Zadeh），他在第一篇論文《模糊集合（Fuzzy set）》中，引入了“隸屬函數”這個概念，來描述差異的中間過渡，首次運用數學方法描述模糊概念。后來，他于1968年、1970年、1971年相繼提出了模糊算法、模糊決策、模糊排序的概念。1973年，扎德發表了另一篇開創性文章《分析復雜系統和決策過程的新方法綱要》，建立了研究模糊控制的基礎理論。1984年，國際模糊系統協會（International Fuzzy Systems Association，簡稱IFSA）成立，并于次年舉辦了第一次會議。1992年2月，首屆IEEE模糊系統國際會議在圣地亞哥召開，標志著模糊數學理論已被世界上最大的工程師協會IEEE所接受。此后，一些新概念、新分支相繼誕生，在傳統方向和分支上也取得了可喜進展，模糊數學理論體系更加豐富。2000年以后，模糊數學在中國迅速發展，2005年，中國劉應明院士被國際模糊系統協會（IFSA）授予“Fuzzy Fellow獎”，該獎項是模糊數學領域的最高獎項。
從純粹數學角度看，集合概念的擴充使許多數學分支都增添了新的內容，模糊數學也形成了如模糊集合論、模糊聚類分析、模糊概率、模糊語言和模糊邏輯、模糊測度和模糊積分、模糊線性規劃、模糊控制論、模糊拓撲學、模糊模式識別等眾多研究方向。模糊數學理論與成果在其他領域中應用廣泛，如在地理學中，運用模糊數學理論建立氣候要素的隸屬函數，并進行農業氣候適宜度分析，為農牧業生產提供科學依據。
學科簡介
模糊數學是用數學方法研究和處理具有“模糊性”的現象的新興數學分支，它屬于應用數學的范疇，其發展跟計算機數學、系統工程和人工智能息息相關。
模糊數學是建立在集合論的基礎上的，其目標是效仿人腦的模糊思維，為解決各種實際問題（特別是有人干預的復雜系統的處理問題）提供有效的思路和方法。模糊數學引入了“隸屬函數”這個概念，來描述差異的中間過渡，這是精確性對模糊性的一種逼近，其概念是從普通數學也就是精確數學的概念推導出來的，從模糊數學的研究和應用的方法來說，使用的完全是普通數學的方法，因此模糊數學只是精確數學的延伸和推廣。
歷史
早期研究
對模糊性的討論，可以追溯至20世紀初，哲學家伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（B. Russel）在1923年一篇題為《含糊性》的論文里專門論述過“模糊性”的問題。后來，計算機的問世為科學技術帶來一場革命性變化，也促使人們對人腦與機器進行比較研究。計算機的缺點是不像人腦思維那樣靈活、敏捷地處理模糊信息，究其原因，它是基于二值邏輯的，與之相適應的是格奧爾格·康托爾（Cantor）集合論。美國自動控制專家扎德（L. A. Zadeh）深刻地認識到這一點，于1965年發表了名為《模糊集合》的一篇論文，創造性地提出模糊集合的概念，標志著模糊數學的誕生。扎德引入了“隸屬函數”這個概念，來描述差異的中間過渡，這是精確性對模糊性的一種逼近，因而他首次成功地運用了數學方法描述模糊概念，形成了具有開創性意義的工作。后來，他于1968年、1970年、1971年相繼提出了模糊算法、模糊決策、模糊排序的概念。
20世紀70年代到90年代，模糊數學逐步確立了其在科學技術領域的一席之地。1973年，扎德發表了另一篇開創性文章《分析復雜系統和決策過程的新方法綱要》，該文建立了研究模糊控制的基礎理論，在引入語言變量這一概念的基礎上，提出了用模糊IF-THEN規則來量化人類知識。1975年，馬姆達尼（Mamdani）和阿西利安（Assilian）創立了模糊控制器的基本框架，并將模糊控制器用于控制蒸汽機，其研究成果《帶有模糊邏輯控制器的語言合成實驗》是關于模糊理論的另一篇具有開創性的文章。1980年，日本學者菅野道夫（Sugeno）開創了日本的首次模糊數學的應用——控制一家富士電子水凈化工廠，1983年他又開始研究模糊機器人，這種機器人能夠根據呼喚命令來自動控制汽車的停放。1987年，來自日立制作所的安信（Yasunobu）和宮本（Miyamoto）給仙臺地鐵開發完成了模糊系統，使仙臺地鐵成為當時最先進的地鐵系統。
后續發展
1984年，國際模糊系統協會（International Fuzzy Systems Association，簡稱IFSA）成立，并于次年舉辦了第一次會議。1987年，國防科技大學創辦了《模糊系統與數學》雜志，中國已經成為模糊數學研究的四大中心（美國、歐洲、日本、中國）之一。1992年2月，首屆IEEE模糊系統國際會議在圣地亞哥召開，標志著模糊理論已被世界上最大的工程師協會——IEEE所接受，1993年，IEEE創辦了模糊系統會刊。此后一些新概念、新分支相繼提出，在傳統方向和分支上也相繼取得可喜進展，模糊數學理論體系更加豐富，格值模糊集、區間值模糊集、直覺模糊集、二型模糊集等得到深入研究，模糊拓撲學、模糊測度與模糊積分、模糊自動機理論、模糊優化、模糊數據庫理論、模糊圖論、模糊認知圖、模糊神經網絡、模糊支撐向量機及模糊集的公理化等諸多方向有了長足進步，模糊集理論與概率論、粗糙集理論等相結合，在智能信息處理的諸多方面發揮著越來越廣泛而重要的作用。
2000年以后，模糊數學在中國迅速發展。2005年，中國劉應明院士被國際模糊系統協會（IFSA）授予“Fuzzy Fellow獎”，“Fuzzy Fellow獎”是模糊數學領域的最高獎項，專門授予得到國際公認的、在模糊數學領域做出杰出貢獻的科學家。2005年8月，中國運籌學會模糊信息與工程分會在中國科學技術協會的批準下成立，標志著模糊數學的研究取得了階段性的進展，為模糊集理論及其應用在中國的發展起到巨大的推動作用。
基本內容
模糊集合論
在數學上，概念的外延可以通過“集合”來表達，然而，日常生活中涉及的眾多的概念常有內涵的“模糊性”，這必然導致外延的“不清晰性”。例如對于“長、短”、“年輕、年老”這些概念，都不存在明確的邊界，中間經歷了一個量變到質變的連續過渡過程，然而“經典集合”必定是清晰的，所以不能用經典集合理論去刻畫模糊概念的外延，故而扎德（L. A. Zadeh）提出了模糊集的概念。扎德將普通集合論里特征函數的取值范圍由推廣到閉區間，于是便得到模糊集的定義。
模糊集：設在論域上給定一個映射
，
則稱為上的模糊（Fuzzy）集，稱為的隸屬函數（或稱為對的隸屬度）。為簡便計，“模糊（Fuzzy）”記為“”，即“模糊集”寫為“集”。
根據以上定義知，模糊集合實質上是論域到的一個映射，叫“模糊子集”更合理。經典集合可用特征函數完全刻畫，因而經典集合可看成模糊集的特例（即隸屬函數只取兩個值的模糊集）。而對于模糊子集的運算，實際上可以轉換為對隸屬函數的運算，隸屬函數是刻畫模糊集合最基本的概念，合理地構造隸屬函數是模糊數學應用的關鍵。
模糊聚類分析
對事物按一定要求進行分類的數學方法，叫做聚類分析。模糊聚類分析是利用事物之間存在的模糊關系將事物進行動態分類的一種數學方法。設有個不同的事物，記為，若已知上的模糊等價關系為，則相應于不同的水平，由等價關系(的水平集）可使分為不同的類。越小，分類越粗；越大，分類越細。由于分類是隨水平動態的，就可以選擇恰當的使得分類效果達到最佳。
聚類方法：直接建立上的模糊等價關系往往是比較困難的，一般先不考慮傳遞性，建立上的一個模糊相似關系，然后再求它的傳遞閉包，即得一個模糊等價關系，并利用所得的模糊等價關系進行分類。這種方法稱為傳遞閉包法?；谀：P系進行模糊聚類的具體方法，還有最大樹聚類法和編網聚類法。
模糊概率
概率是表示事件隨機出現的統計規律，隨機事件發生或不發生是不確定的，但是一旦發生后，事件卻是明確的，而模糊數學所研究的對象，就是本身也不分明的模糊事件。扎德對于可能性的研究中闡明了模糊數學跟概率論的不同，使模糊數學作為獨立的一門數學分支的重要意義更加明確，他進一步把模糊數學和概率論聯系起來，發展成模糊概率這一新的分支。模糊與概率的關系分為三種：事件本身是模糊的，而概率值是普通數值，稱為模糊事件的概率；事件本身明確但概率是模糊的，稱為事件的模糊概率；事件和概率都是模糊的，稱為模糊事件的模糊概率。
模糊事件的概率：在概率空間上的模糊事件的概率定義為
，
這里的積分是勒貝格積分，它存在則要求可測。若和是實數域上的可積函數，則模糊事件的概率計算可表示如下：
，
其中為概率密度函數。若是有限集，，，則有
。
模糊語言和模糊邏輯
模糊語言
模糊語言是以模糊集合論為工具對自然語言的一種數學描述，模糊語言是用四元組表示的系統，這里
（1）是論域，即對象、作用、關系、概念的集合；
（2）是表現中模糊子集名稱的言詞、單詞或本語的模糊子集，稱為是術語集合；
（3）是的嵌入集，是符號及其組合的匯集。術語是由它得出的，即是上的模糊子集；
（4）是命名關系，它是上的模糊關系。
構造模糊語言是，其中是論域；是對于術語集合的嵌入集合；是的語法規則所組成的集合，是為計算中隸屬函數提供算法的；是的語義規則所組成的集合，是為計算命名關系的隸屬函數提供算法的。
模糊邏輯
模糊邏輯是一類非經典邏輯，是在模糊集理論上發展起來的推理理論。模糊邏輯的基礎是模糊命題，它比二值邏輯里的命題更能符合人腦的思維。1965年扎德發表了模糊集合的論文以后，第二年就有人作了關于數理邏輯模糊化的內部報告，1974年以后，由于模糊控制論的誕生，模糊邏輯得到了飛速的發展。它的主要特點，除了命題不是取絕對的真假值外，還有就是推理的“似然”性，即推理不是確切的。
模糊測度和模糊積分
模糊測度
模糊測度是一種特殊的非可加測度，由菅野道夫（Sugeno. M）于1974年提出，它的研究是與具有主觀性復雜系統的評價問題緊密相關的。模糊測度區別于經典測度的本質特征是以“單調性”代替經典測度的“可加性”，是經典測度的推廣。目前，也有人將建立在模糊冪集構成的代數上的測度稱為模糊測度。
定義：設某一集合，的子集合、等與區間的值相對應，當函數具有以下性質時，稱為模糊測度：
（1）有界性：，；
（2）單調性：如果，則；
（3）連續性：如果或者，則。
模糊積分
以模糊測度為基礎建立的積分稱為模糊積分，是一種區別于勒貝格積分的非可加積分。模糊積分是由菅野道夫于1972年提出的。
定義：設是可測空間，是模糊測度，，函數是可測的，則關于模糊測度在集合上的模糊積分定義為
。
模糊線性規劃
模糊線性規劃是經典線性規劃的一種推廣，經典規劃問題的目標函數和約束條件都是明確的，但是，在實際問題中常常碰到模糊的目標函數和約束條件，故模糊的規劃問題被提出。模糊規劃是將線性約束的邊界模糊化，從而使人們能在較寬松的條件下求得優化的條件與優化的極值。
模糊線性規劃問題：實值函數在論域的一個模糊子集上的極值問題，稱為模糊規劃問題。對于通常的線性規劃問題，即在約束條件下，求目標函數的極值?？紤]約束條件的軟化，這里“”表示對“”的一種放寬，并確定它的隸屬函數為：
，
這即是模糊線性規劃問題。
模糊控制論
模糊控制論是模糊數學的一部分，它誕生于1974年，創始人是英國工程師馬丹尼（Mamdani），他首先把模糊數學用在蒸汽機和鍋爐控制方面的研究，并且發表了模糊控制論方面的第一篇論文。模糊控制論是在控制方法上應用了模糊數學的知識，但卻是確定性的工作，它不僅能夠成功地實現控制，而且能夠模擬人的思維方法對一些無法構造數學模型的問題進行控制。
數學模型：設為上的個模糊集，稱為觀測量；為上的個模糊集，稱為控制量。根據人的經驗，有，于是得到上的模糊關系（作為模糊控制器）
。
任給一個觀測結果，是上的模糊集，作為輸入，則由
即得輸出，即模糊控制量。
基本方法：模糊控制理論以模糊數學為基礎，以模糊集合、模糊關系、模糊推理來模仿人的思維來判斷綜合推理，處理和解決常規方法難以解決的問題，模糊控制的基本原理可用下圖表示：
設計模糊控制器時，一般先要將系統的輸入變量偏差、偏差變化率進行模糊量化處理，把系統輸入變量偏差及偏差變化率的實際變化范圍稱為這些變量的基本論域。然后使用模糊控制規則如得出量化論域上的模糊集，但被控對象只能接受精確值的控制量，這就需要進行輸出信息的模糊判別，也就是要把模糊量轉化為精確量，常用的模糊判別方式有：最大隸屬度法、加權平均法、中位數法等。
模糊拓撲學
模糊拓撲學是模糊數學理論中發展最迅速，成果最豐富的分支之一。模糊拓撲空間是通常拓撲空間的推廣，指具有由模糊冪集構成的拓撲結構的空間。模糊拓撲空間這一概念是由張（C. L. Chang）在1968年給出的，1976年洛溫（R. Lowen）又提出了模糊拓撲空間的另一種更強一些的定義。
模糊拓撲空間：設是非空集上的一族模糊子集，稱是上的模糊拓撲，若滿足：
（1）對任何，；
（2）對任何，有；
（3）對任何，有，
此時稱為模糊拓撲空間，也可以簡稱是模糊拓撲空間。而稱為是開集，當時稱是閉集。
模糊模式識別
模式識別就是機器識別、計算機識別或機器自動識別，目的在于讓機器自動識別事物。在日常生活和實際問題中有些模式界線是不明確的，相應的識別問題稱為模糊模式識別。模糊模式識別問題一般分為兩類：一類模式庫是模糊的，而待識別對象是分明的，要用模糊模式識別的直接方法解決，按“最大隸屬原則”歸類，主要應用于個體的識別；另一類模式庫和待識別對象都是模糊的，要用模糊模式識別的間接方法來解決，按“擇近原則”歸類，一般用于群體模型的識別。
最大隸屬原則：最大隸屬原則是模糊數學的基本原則之一，是用模糊集理論進行模式識別的一種直接方法。設即論域上的個模糊子集，為一具體識別對象，若存在，使
，
則稱相對地隸屬于，這即是最大隸屬原則，在實際應用中，可以用來進行疾病診斷、機器故障診斷或進行癌細胞的識別等。
擇近原則：設，若存在，使
，
則稱與最貼近，即判定與為一類，該原則稱為擇近原則?？梢?，要從一群模糊集，中判定歸于的哪一類（為已知），即當識別對象是模糊集而不是單個元時，這是用擇近原則，即計算與的貼近度，貼近度最大的兩個模糊集為一類。
基本方法
隸屬函數
定義：給定一個非空集合，上的一個模糊子集是由一個映射來定義的，該映射稱為的隸屬函數。
隸屬函數是用于表征模糊集合的數學工具，應用模糊數學理論解決實際問題時，首先需要建立模糊集的隸屬函數。隸屬函數也是經典子集特征函數概念的推廣，是刻畫模糊子集本質特征的映射。經典集合論的特征函數只允許取兩個值，故與二值邏輯相對應，從而可以按照布爾代數的法則來進行。模糊數學是將二值邏輯推廣至可取閉區間任意值的、無窮多個值的連續值邏輯，因此也要把特征函數做適當的推廣，這就是隸屬函數。
確定方法：隸屬程度的思想是模糊數學的基本思想，元素屬于模糊集的隸屬度是客觀存在的，所以隸屬函數的確定過程本質上說應該是客觀的，但是事實上現在還沒有一個完全客觀的評定標準。在許多情況下經常是初步確定粗略的隸屬函數，然后通過“學習”和實踐檢驗逐步修改和完善化，而實際效果也是檢驗和調整隸屬函數的依據。在實際應用中確定隸屬函數的方法有：直覺法、推理法、模糊統計法、三分法、二元對比排序法、模糊分布法、人工神經網絡法、群智能算法等。
相關工具
模糊計算機
模糊計算機是以模糊數學為理論數學基礎，由模糊集成電路（或非邏輯、不規則集成電路）構成的，用于控制領域和推斷判斷領域的電子計算機。傳統的計算機采用的是由和兩個數組成的二進制邏輯，而模糊數學中的邏輯值可以可以取到之間的一切值，即邏輯判斷的結論不僅是“是”與“非”，而是有無限種可能。模糊計算機主要由五個部分組成：模糊存儲器、模糊推理機、取大電路、去模糊電路、控制器。它有如下三個特點：（1）使用模糊硬件；（2）進行模糊邏輯運算而不是布爾邏輯運算；（3）處理由“正大”，“近似為零”，“或多或少”等語言信息，而非二進制信息。
研究進展：1985年，第一個模糊邏輯片設計制造成功，每秒鐘能運行八萬次模糊邏輯推理，之后又有每秒鐘進行64.5萬次以上模糊推理的邏輯片。自1986年，在仙臺市地鐵管理中，利用模糊計算機判斷行車情況比司機調節所發生的判斷錯誤少了70%。1990年，日本松下電器把模糊計算機裝在洗衣機里，并通過光學傳感器，對衣服的數量、骯臟程度、用水量、應投放洗滌劑量做出判斷，調節合適的洗衣程序。模糊計算機還能用于地震災情判斷、疾病醫療診斷、發酵工程控制、?？諏Ш窖惨暤确矫妗?/p>
舉例
模糊推理機：模糊推理機是具有模糊信息處理功能的模糊計算機的雛形樣機，它的理論基礎是模糊集合論，其功能是模仿人的思維、判斷、推理、決策來處理數字計算機所難以解決的控制問題。模糊推理機的出現，除了具有科學上的意義外，在模糊控制領域，由軟件實現過渡到了硬件實現，它作為一種基本工具，可以方便迅速地進行知識獲取等工作。
研究進展：1987年，在第二屆國際模糊系統協會大會上，山川烈率先推出了模糊推理機，利用它成功地進行了著名的倒擺控制實驗。1988年，北京師范大學數學系汪培莊領導的研究集體，以他提出的因素空間、模糊落影理論等為基礎，在張洪敏和東北大學自控系的努力下，成功研制了世界第二臺、中國第一臺模糊推理機，用它也成功地實現了倒擺控制實驗。該推理機由于采用了比山川烈更為簡捷的線路設計，推理速度從山川烈的每秒1千萬次提高到每秒1.5千萬次，并且體積只有山川烈模糊推理機的十分之一。
應用
計算機科學
專家系統是計算機科學人工智能技術的一個重要分支，運用模糊數學中的模糊集理論，對規則內部和觀察事實引入隸屬度的概念，允許使用模糊量詞，并用模糊邏輯進行推理，形成模糊專家系統，能更精確、更合理地模擬領域專家的經驗。模式識別是人工智能最早研究的領域之一，運用模糊數學理論對模式識別的對象進行模糊化形成模糊子集，建立隸屬函數，之后利用最大隸屬原則或擇近原則識別，使計算機系統具有模擬人類通過感官接受外界信息、識別和理解周圍環境的感知能力，模糊數學已成為人工智能領域不可缺少的理論基礎。
醫學
模糊數學是將主觀的數字化和客觀的模糊程度相結合，將實際問題中的各種影響因素用集合的形式表現出來，所以由于醫學指標的模糊性，奠定了模糊數學在疾病診斷上的實際應用價值。對于臨床癥狀這類模糊概念，運用模糊數學的思想建立相應的模糊集合和隸屬函數，進而使用模糊積分的思想進行模糊診斷。模糊數學在醫學診斷中的應用，主要運用模糊邏輯運算規則，將上的模糊集利用模糊規則庫中轉化為到上的模糊映射關系，建立一個模糊關系矩陣來表示病人癥狀與診斷結論之間的因果關系。
地理學
氣象中的許多問題是典型的的模糊性問題。例如，在農業生態氣候適宜度的研究中，以農作物生長發育所需的溫度和降水量為基礎，運用模糊數學中隸屬函數的方法，建立氣候要素的適宜度曲線、適宜態及隸屬函數，對該區氣候因子（溫度、降水）進行數理轉化，以計算各種農作物生育全過程的溫度適宜度、降水適宜度、水溫綜合適宜度，進行農業氣候適宜度分析，為農作物的健康生長提供參考。在羌塘高原地區旱情等級監測中，利用模糊數學的隸屬度理論，建立藏北地區基于溫度植被干旱指數TVDI的干旱等級劃分標準，可以為氣象部門更好地服務于農牧業生產提供科學依據。
工程學
電力設備的故障診斷中同時存在具有隨機性和模糊性的不確定因素，面對日趨復雜的電力系統故障診斷，基于模糊數學方法可以建立電纜線路多級模糊風險評判模型。在對電纜線路組件不同風險狀態量進行分類分析的基礎上，得到電纜線路組件所對應風險狀態量的隸屬度與電纜線路風險因素集，針對不同運維檢修人員的不同評估意見，通過該模型確定風險評判中的各個風險因素的向量與重要程度系數，對多層模糊算法則是采用加權平均模型進行改進與完善，最終為電纜線路狀態檢修工作提供了新的技術支持與理論依據。
參考資料 >
劉應明院士.中國科學院學部.2024-07-03
Welcome To International Fuzzy Systems Association.IFSA.2024-07-03
川大劉應明院士獲國際模糊數學界杰出人物獎.中國科學院.2024-07-03
分會介紹.中國運籌學會.2024-07-09