對稱差是數學術語之一，指的是兩個集合中只屬于其中一個集合而不屬于另一個集合的元素組成的集合。這個概念在集合論中相當于布爾邏輯中的異或運算。對稱差通常用符號{\displaystyle A\operatorname {\triangle } B}表示，有時也用{\displaystyle \oplus }符號表示。
概念
集合論中的數學術語，即兩個集合的對稱差是只屬于其中一個集合，而不屬于另一個集合的元素組成的集合。 集合論中的這個運算相當于布爾邏輯中的 異或運算。集合 A 和 B 的對稱差通常表示為 AΔB。例如：集合 {1,2,3} 和 {3,4} 的對稱差為 {1,2,4}。所有學生的集合和所有女性的集合的對稱差為所有男性學生和所有女性非學生組成的集合。
性質
對稱差運算具有以下主要性質：
- 交換律：{\displaystyle A\operatorname {\triangle } B=B\operatorname {\triangle } A}
- 結合律：{\displaystyle (A\operatorname {\triangle } B)\operatorname {\triangle } C=A\operatorname {\triangle } (B\operatorname {\triangle } C)}
- 單位元：{\displaystyle \varnothing \operatorname {\triangle } A=A}（空集是單位元）
- 逆元：{\displaystyle A\operatorname {\triangle } A=\varnothing }
- 分配律：{\displaystyle A\cap (B\operatorname {\triangle } C)=(A\cap B)\operatorname {\triangle } (A\cap C)}
需要注意的是，對稱差不滿足以下恒等式：
- {\displaystyle A\operatorname {\triangle } (B\cap C)\neq (A\operatorname {\triangle } B)\cap (A\operatorname {\triangle } C)}
- {\displaystyle A\cup (B\operatorname {\triangle } C)\neq (A\cup B)\operatorname {\triangle } (A\cup C)}
- {\displaystyle A\operatorname {\triangle } (B\cup C)\neq (A\operatorname {\triangle } B)\cup (A\operatorname {\triangle } C)}
參考資料 >