復分析，是研究復函數，特別是亞純函數和復解析函數的數學理論。這些函數定義在復平面上，其值為復數，而且可微。
復分析把數學分析方法從實變數推廣到復變數。復數最初從代數方程可以存在普遍解中產生。它們采用a+bi的形式， 式中a和b是實數。a稱為這個復數的實數部分，b是復數的虛數部分，i為根號1，是虛數單位。因為復數有兩個相互獨立的分量a和b，它們在兩個變量必須同時處理時就特別有用。例如，已經證明它在流體動力學中的應用特別有價值， 因為流體中的壓強和速度處處不同。19世紀中，數學家給復數以幾何解釋，使它更易于接受。
基本介紹
復分析是研究復函數，特別是亞純函數和復解析函數的數學理論。這些函數定義在復平面上，其值為復數，而且可微。研究中常用的理論、公式以及方法包括柯西積分定理、柯西積分公式、留數定理、洛朗級數展開等。復分析的應用領域較為廣泛，在其它數學分支和物理學中也起著重要的作用。包括數論、應用數學、流體力學、熱力學和電動力學。
常用理論
復變函數
復變函數，是自變量和應變量皆為復數的函數。更確切的說，復變函數的值域與定義域都是復平面的子集。在復變分析中，自變量又稱為函數的“宗量”。
對于復變函數，自變量和應變量可分成實部和虛部：
其中和，是實數函數。
用另一句話說，就是函數的成分，
可以理解成變量x和y的二元實函數。
全純函數
全純函數（holomorphic 函數）是定義在復平面C的開子集上的，在復平面C中取值的，在每點上皆可微的函數。
復變函數為全純函數的充分必要條件是復變函數的實部和虛部同時滿足柯西-黎曼方程：
通過上面的這個方程組也可以由全純函數的實部或者虛部之一來求解另一個。
柯西積分定理
如果全純函數的閉合積分路徑沒有包括奇點，那么其積分值為0；如果包含奇點，則外部閉合路徑正向積分的值等于包圍這個奇點的內環上閉合路徑的正向積分值。
亞純函數
在復分析中，一個復平面的開子集D上的亞純函數是一個在D上除一個或若干個孤立點集合之外的區域全純的函數，那些孤立點稱為該函數的極點。
洛朗級數
復變函數f(z)的洛朗級數，是冪級數的一種，它不僅包含了正數次數的項，也包含了負數次數的項。有時無法把函數表示為泰勒級數，但可以表示為洛朗級數。
留數
在復分析中，留數是一個復數，描述亞純函數在奇點周圍的路徑積分的表現。在復分析中，留數定理是用來計算解析函數沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實函數的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。
參考資料 >