柯西積分公式是一把鑰匙，他開啟了許多方法與定理；他刻畫出了解析函數的又一種定義；人們對它的研究極具意義，讓解析函數論能夠單獨脫離于實函數而充滿活力！。奧古斯丁-路易·柯西積分公式本身就是 柯西積定律是理最直接、最重要的推論。其證明過程是很簡潔的。這是解析函數與一變量微可微函數本質區別。其公式如右圖所示，它給出了一個很有用的估計導數的方法.
公式推導
柯西積分公式本身就是 柯西積分定理最直接、最重要的推論。利用我們所熟知的 柯西積分定理，
其證明過程是很簡潔的。在此不再贅述。
推論應用
柯西積分公式是一把鑰匙，他開啟了許多方法與定理，以下就是重要的幾個例子：
平均值定理
如果函數f（z）在圓│ξ-Zo│
解析函數無窮可微性
一個解析函數不僅有一階偏導數, 而且有各高階導數, 它的 值也可用函數在邊界上的值通過積分來表示. 這一點和實變函數完全不同. 一個實變函數在某一區間上可導, 它的導數在這區間上是否連續也不一定, 更不要說它有高階導數存在了. 而利用柯西積分公式可以做數學歸納法證明如下定理：解析函數f(z)的導數仍為解析函數, 它的n階導數為:(見右圖) n！/ 2πi （ ∮c f（z）/（z-Zo）^(1+n) dz）由定理可知，由函數在區域D內的 解析性，不僅推出其導數的連續性，而且也推出其各階導數在D內存在且連續。這是解析函數與一元實變量可微函數本質區別。這便是解析函數所具有的極好的性質，也使得人們對它的研究更具意義，讓解析函數論能夠單獨脫離于實函數而充滿活力!
其公式如右圖所示，它給出了一個很有用的估計導數的方法.
Liouville定理
有界整函數必為常數。利用柳維爾定理可以行反證法簡潔證明代數基本定理：一元n次方程在復數域內必有解
Morera定理
即柯西積分定理的逆定理:(柯西積分定理：設C是一條簡單閉曲線，函數f（z）在以C為邊界的有界區域D內解析，在閉區域D‘上連續，那么有:f(z)對曲線的閉合積分值為零。)如果函數f(z)在區域D內連續，并且對于D內的任一條簡單閉曲線C，我們有∮c f(z) dz =0那么f(z)在區域D內解析。他刻畫了解析函數的又一種定義.
公式推廣
設C為任意簡單逐段光滑曲線,f(ξ)是在C上有定義的可積函數，則具有如下形式的積分稱為奧古斯丁-路易·柯西型積分:
1 / 2πi （ ∮c f（ξ）/ξ-z dξ） z不屬于C
對于復變函數的研究頗具意義
參考資料 >