不可數集（uncountable set）是不可數的無限集合。
19世紀初期，數學界對數學分析的批判運動促進了集合論的誕生。1873年12月7日，格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）在給尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）中的信中說，他已成功證明了實數集是不可數的。從1878年開始，格奧爾格·康托爾把勢（基數）定義為等勢集合的共同屬性，并用表示自然數集的勢，用表示實數集的勢并提出了著名的連續統假設。1883年，他證明了康托爾定理：任何一個集合的勢都小于它的冪集的勢。
不可數集合與自然數集合之間不存在一一對應的映射。自然數的所有子集的集合是不可數的。不可數集有交、并、差、補等運算，滿足集合的基本運算性質，如交換律、結合律等。
不可數集可應用在數學分析、概率論、計算機、物理等領域。概率的概念是建立在不可數集合上的。輸入信號總可以分解成隨機序列，隨機序列中的每個符號的取值可以是取自連續的可數集，也可以取自連續的不可數集。
定義
有限集合與無限集合
若集合只有有限個元素，稱集合是有限集合。若集合不是有限的，稱集合是無限的或者無窮的。
可數無限集合與可數集合
若集合與自然數集等勢，稱集合是一個可數無限集合。若集合是有限的或是可數無限的，稱集合是可數的。
不可數集
定義1
一個無限集如果不是可數的，稱為不可數集。
定義2
如果不存在從集合到正整數集的單射，稱集合是不可數集。
定義3
若集合的基數既不是有限的，又不等于，稱集合是不可數集。其中（讀作“阿列夫零”）表示可數集或自然數集的基數。
定義4
若集合的基數嚴格大于，稱集合是不可數集。
概念
基數與等勢
定義1
對于有限集合，稱的元素個數為集合的基數（cardinal）或階（order），記為，或。除此之外約定。對于無限集合，形式地記。
定義2
已知集合、，若存在雙射，則稱、是等勢的或有相同的基數。記作或或。
自然數基數
自然數集的基數記作。
連續統基數
實數集以及與對等的一直線上所有點組成的點集的基數記為。
簡史
集合的思想可以追溯到古希臘的原子論學派，他們把直線看做一些原子的排列。19世紀初期，數學界對數學分析的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，波爾查諾（Bolzano.B）發表著作《無窮悖論》，肯定了實無窮的存在，建立了集合等價的概念，還注意到無窮集合的某些真部分有可能等價于整體的情況。
1870年格奧爾格·康托爾（Cantor.G.F.B）在1871年至1872年的論文中明確提出了點集、點集的導集、導集的導集等由實數構成的更復雜的集合。1873年12月7日，康托爾在給戴德金（Dederkind.J.W.R）中的信中說，他已成功證明了實數集是不可數的。康托爾在1874年提出了集合的定義。在集合概念產生后，進一步定義了集合的子集、交集。并集、映射等系列概念。
從1878年開始，格奧爾格·康托爾把勢（基數）定義為等勢集合的共同屬性，并用表示自然數集的勢，用表示實數集的勢并提出了著名的連續統假設。1883年，他證明了康托爾定理：任何一個集合的勢都小于它的冪集的勢。從1883年起，格奧爾格·康托爾研究有序集，利用良序概念建立序數理論，把數學歸納法推廣為更一般的超限歸納法。1895年，在康托爾發表的題為《關于超窮集合論的基礎》的論文中，給出了超限基數和超限序數的定義，引進了符號，并把它們按序型的大小排成序列，定義了基數和序數的加法、乘法和乘方運算，討論了各自的算術理論，即集合論的基數理論和序數理論。
類型
正整數列集合
定理1：設是一切無限正整數列所成的集合，則不可數。
證明：用反證法。假設可數，則的所有元素可以排成如下的一個序列，記為序列(1)：
把每個數列列出來構成一個表：
其中且當時與不全相同。作一個正整數列：那么必是序列(1)中的某一項，設，由數列相等的意義，有其中等式顯然是矛盾的，所以為可數集的假設不能成立。故為不可數集。
實數集
證明：因為，令若能證是不可數集，則也為不可數集。下面用反證法證明
假設是可數的，則必可表示為,其中是間的任一實數。
設其中（如0.2和0.123可記為0.1999…和0.12299…），設
其次，構造一個實數使
這樣與所有實數不同，因為它與在位置1不同，與在位置2不同等等。這證明了，產生矛盾，因此是不可數的，即是不可數集。
無理數集
證明：設為有理數集，為無理數集，因，可數，如也可數，將會得到可數的結論，與不可數矛盾。故必不可數。
運算
交、并
已知集合、，定義交、并分別為
差、補
已知集合、，定義差集為
運算性質
在全集下，，集合的交、并、補具有如下性質：
（1）;（交換律）
（2）;（結合律）
（3）;（冪等律）
（4）;（吸收律）
（5）;（分配律）
（6）；（零律）
（7）;（幺律）
（8）;（補律）
（9）（逆律）
（10）；（De Morgan律）
推廣
集合的廣義并
集合的并是并概念的推廣。設是標號集，為集族，是到的一一對應，且由集族中的集合的元素組成的集合稱為族中集合的廣義并集，記為用符號表述為：
集合的廣義交
集合的廣義交是交概念的推廣。設是標號集，為集族，是到的一一對應，且由屬于族中的每個集合的元素組成的集合稱為族中集合的廣義交集，記為用符號表述為：
相關定理
（1）（Cantor-Bernstein定理）若與的一個子集對等，而與的一個子集對等，則與對等。
（2）如果不可數集是集合的子集，則集合是不可數集。
（3）自然數的所有子集的集合是不可數的，且。
證明：由定義的函數是的，所以。可以證明對的子集的每個序列存在某個使得對所有。這表明了不存在從到上的映射，因此。
定義集合如下：。數用來從區分：如果，那么，并且如果，那么。不管哪種情況，都有。
（4）對每個集合，有。
（5）對每個集合，有。
（6）
應用
數學
數學分析
實數集合是最常見的不可數集合之一。實數集合在數學分析、微積分等領域中有著廣泛的應用，例如在研究函數的連續性、極限、積分等方面。
概率論
在概率論和統計學中，不可數集合的概念被應用于概率的定義，以及描述連續隨機變量的概率分布，如正態分布等。
測度論
在測度論中，不可數集合的概念被用于描述測度空間和測度理論。測度論是實分析和概率論的重要基礎，不可數集合的性質對于研究可測函數、測度空間、Lebesgue積分等有著重要的作用。
計算機
在信息論中，輸入信號總可以分解成隨機序列，隨機序列中的每個符號的取值可以是取自連續的可數集，也可以取自連續的不可數集。
物理
不可數集在物理中也有一定的應用，如動力系統中的不變集。不變集包括非周期運動的不可數集。在混沌的定義中，也利用了不可數集的性質。
參考資料 >