勾股數，又名畢氏三元數（Pythagorean triple），指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數。勾股數滿足勾股定理，即直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方（a2+b2=c2），常見的勾股數有（3，4，5）（5，12，13）等，其中（3，4，5）俗稱“勾三，股四，弦五”。
歷史
中國
勾股數與勾股定理在中國有著悠久的歷史，中國古代將較短的直角邊稱為勾，較長直角邊稱為股，而斜邊稱為弦，故稱指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數為“勾股數”。
中國關于勾股數的最早記載為《周髀算經》的卷首中，西周開國時期的大夫商高在與周公對話時提到：“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。”
中國關于普遍勾股定理的最早記載為《周算經》的第二卷中，陳子在與榮方對話時提到測日法：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勻股各自成，并而開方除之。得邪至日，從所衰至日所十萬里。”在陳子的時代，認為地是平的，太陽垂直照射于地，垂足叫日下點，觀測點、日下點、太陽三點構成直角三角形中日高為股，日下為勾，則勾股平方和的開方為邪至日。
《九章算術》第九卷中也包含了勾、股、弦以及三者關系等內容，所設勾股數僅互質的就有八組之多。
西方
西方關于勾股數的最早記載為Plimpton 322泥板上的數，表明巴比倫在公元前1700年已發現勾股定理。勾股定理在西方被稱為Pythagoras定理，它以公元前6世紀希臘哲學家和數學家的名字命名。
拜占庭學者Proclus（公元5世紀）在其數學史專著中指出 “ 希臘Rhodes島的Eudemus（公元前4世紀）稱Pythagoras學派發明此定理，所以勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，因此勾股數別名“畢氏三元數”。希臘利奧六世柏拉圖（公元前427一前347年）對此定理僅就其特殊情況作了圖證”。
西方對勾股定理的明文記載始見于Euclid (公元前330一前275年)《幾何原本》，他利用圖形分割、全等三角形以及面積關系等知識進行演繹推理。
定義
勾股數指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數，根據勾股定理，。
常見勾股數
公式
基本公式
，，，其中
證明方法
假設，且
所以中必有一個偶數，不妨設，等式化為
為偶數，則同奇偶，作代換：，顯然M，N為正整數
假設不成立，即存在質數，使得,
那么, 從而, 從而
這與矛盾，所以得證
根據算術基本定理：一個大于1的正整數n，如果它的標準分解式為，那么它的正因數個數為
，其中等均為偶數，等均為質數
如果對于某個，的因子為奇數個，則對應的因子必為奇數個
從而，，矛盾
則對于所有質因子,，即M，N都是平方數
則不妨設，從而有
解得，
應用
無法通過公式計算出所有的基本勾股數和派生勾股數，例如3，4，5；6，8，10；9，12，15等勾股數就不能全部被公式覆蓋。
相關推論
通過同乘以任意整數的方法求得所有解：
其中，，m和n必須為一奇一偶，t為正整數
（參考資料）
完全公式
，
當m為奇數時，k={1，的所有小于m的因子}
當m為偶數時，k={的所有小于m的偶數因子}
不同勾股數（a，b，c）的組數N等于k的可取值個數，可由算數基本定理求出
算數基本定理：一個大于1的正整數n，如果它的標準分解式為，那么它的正因數個數為
當m為奇數時，
當m為偶數時，
其中，為互不相同的奇素數，為冪指數。
應用
求出基本勾股數與派生勾股數，以及勾股數的組數。
舉例
當m為偶數432時，k={的所有小于432的偶數因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}
將及24組不同k值分別代入，求得b、c
即得直角邊時的基本勾股數與派生勾股數。
（參考資料）
簡便求解方法
類型一
公式
當a為大于1的奇數2n+1時，b=2n2+2n,c=2n2+2n+1，即把a的平方數拆成兩個連續自然數b和c。
舉例
n=1時
n=2時
n=3時
…以此類推
特點
此外由于兩個連續自然數必然互質，則此方法得到的勾股數組全部是互質的
類型二
公式
當a為大于4的偶數2n時，b=n2-1,c=n2+1，即把a的一半的平方分別減1和加1。
舉例
n=3時
n=4時
n=5時
…以此類推
特點
此外當n為奇數時，由于(a,b,c)是三個偶數，得到的勾股數組必然不是互質的；
當n為偶數時，由于b、c是兩個連續奇數必然互質，得到的勾股數組互質。
推廣
若想得到互質的數組，求解方法為：對于 (),，例如：
n=2時
n=3時
n=4時
…以此類推
（參考資料）
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