趙爽弦圖是中國古代數(shù)學家趙爽在三國時期（約222年）為證明著名的“勾股定理”而構(gòu)造的一種幾何圖形。其核心是通過切割重組圖形，保持面積不變，將直角三角形邊長的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何形式，例如通過公式2ab+(b-a)2=c2推導出a2+b2=c2。是以弦為邊的正方形，所以就稱其為弦圖。這也是趙爽弦圖的性質(zhì)之一，即拼成的大正方形的邊長等于直角三角形斜邊的長。迄今為止，對勾股定理最早、最簡潔的證明，出現(xiàn)在《周髀[bì]算經(jīng)》中。趙爽在《周髀算經(jīng)注》中以“勾股圓方圖”系統(tǒng)闡述了勾股定理的24個命題，涉及勾股差、邊長的關(guān)系式及二次方程解法，并與《九章算術(shù)》的方法相呼應(yīng)。
趙爽弦圖運用圖形割補后面積不變的原理構(gòu)造等量與不等量之間的關(guān)系解題。趙爽稱一個直角三角形的面積為一個朱實，“朱”就是紅色的意思，中間小正方形的面積為黃實，矮個弦圖的面積為弦實。
2002年，趙爽弦圖被選為國際數(shù)學家大會的會徽，標志著其在中國數(shù)學史中的代表性地位。
定義
從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千 年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要的數(shù)學原理了。稍懂平面幾何的讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖所示，我們可以看到
圖1 直角三角形
用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，則可得：
勾的平方+股的平方=弦的平方
亦即：
a2 + b2 = c2
勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。其實，我國古代得到人民對這一數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠比畢達哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應(yīng)用特例（3^2+4^2=5^2）。所以現(xiàn)在數(shù)學界把它稱為勾股定理，應(yīng)該是非常恰當?shù)摹?/p>
在稍后一點的《九章算術(shù)》一書中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”把這段話列成算式，即為：
弦的平方=勾的平方+股的平方
亦即：
c2 = a2 +b2
中國古代的數(shù)學家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期孫吳的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：
2ab + (b-a)2 = c2；
化簡后便可得： a2 + b2 = c2 其基本思想是圖形經(jīng)過割補后，面積不變。
亦即：
c=√（a2 + b2）
圖2 勾股圓方圖
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數(shù)學家大多繼承了這一風格并且代有發(fā)展。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。
影響
中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學創(chuàng)新的重大意義。事實上，“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學發(fā)展的一個極其重要的條件。正如當代中國數(shù)學家吳文俊所說：“在中國的傳統(tǒng)數(shù)學中，數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的......”十七世紀勒內(nèi)·笛卡爾解析幾何的發(fā)明，正是中國這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)。”
參考資料 >