整數龐巴迪公司：integer）是數系中基本的一種數，是正整數、零、負整數的統稱。所有整數的集合稱為整數集，用符號Z表示。
數字起源于遠古時期，當時并沒有計數工具，為了計算勞動收獲和分配所得，人們往往會借助手指、足趾或身體的其他部位來計算數字，再進行比較，這時整數概念的雛形就已經誕生。公元前3世紀的古希臘時代，歐幾里得作為古希臘數學家，所著《幾何原本》一書中首次系統梳理整數的整除性質，介紹了整數的概念，并記載了對整數的因數分解、求兩個正整數最大公因數的輾轉相除法（即歐幾里得算法）等內容，為整數理論奠定基礎。隨著數系的概念不斷推廣，與正數相反的負數概念出現，在公元1世紀左右成書的中國《九章算術》中就記載有正負數的加減法則。但一開始負數并未被重視，直到17世紀左右負數的概念才得以完善。在數論發展史上，法國數學家皮耶·德·費瑪（Fermat,P.de）、德國數學家高斯（Gauss,C.F.）以及瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Euler,L.）等人都做出了重要貢獻。1860年，卡爾·魏爾施特拉斯（Weierstrass,K.(T.W.)）首先提出用一對有序自然數表示負整數。后來，皮亞諾（Peano,G.）在前人的基礎上建立了自然數系的公理，并進一步構造了整數系，完善了數系理論的建立工作。
整數和分數統稱為有理數，其加法、減法和乘法的運算法則與運算定律適用于整數運算。在算術里，零和自然數稱為算術整數。整數還有一個等價定義，即有序自然數的等價類。數論中著名的費馬大小定理、歐拉定理等與整數密切相關。此外，整數可推廣至環論等其他數學分支，在整數環中，唯一因式分解定理幫助研究整數的整除性。整數在現實世界中具有廣泛的應用價值，如在電力系統調度中，通過整數編碼方式，可優化機組組合問題，相比于二進制編碼，能有效減少待優化變量個數。
定義
正整數、零和負整數統稱為整數，所有整數的集合稱為整數集，用符號表示；整數不包括小數、分數。
例如：
正整數，如；
負整數，如。
簡史
整數與數論
遠古時期，由于沒有計數工具，人們為了計算勞動收獲和分配所得，往往會借助手指、足趾或身體的其他部位來計算數字，用于與被計量的物體進行一一比較，產生了最初的整數概念。公元前3世紀的古希臘時代，歐幾里得（Euclid）所著《幾何原本》一書中介紹了整數的概念，并記載了對整數的因數分解、求兩個正整數最大公因數的輾轉相除法等內容。隨著數系的概念不斷推廣，與正數相反的負數概念出現，在公元1世紀左右成書的中國《九章算術》中就記載有正負數的加減法則。但一開始負數并未被重視，古希臘著名數學家丟番圖（Diophantus，約公元200~284年）在著作《算術》( Arithmetica）中將方程的負數根描述為錯誤的，直到17世紀左右負數的概念才得以完善。隨后，法國數學家皮耶·德·費瑪（Fermat,P.de）在1637年左右提出的費馬大定理和德國數學家高斯（Gauss,C.F.）在1801年發表的著作《算術研究》以及瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Euler,L.）對費馬定理的證明及推廣等為數論的發展做出了重要貢獻。1860年，卡爾·魏爾施特拉斯（Weierstrass,K.(T.W.)）首先提出用一對有序自然數表示負整數。后來，皮亞諾（Peano,G.）在前人的基礎上建立自然數系的公理，并進一步構造整數系，完善了數系理論的建立工作。
符號起源
整數符號的引入起源于19世紀，德國數學家戴德金（Dedekind,Richard）通過集合論方法定義整數，解決了整數的邏輯基礎問題，在1872年出版的著作《連續性與無理數》(Stetigkeit und Irrationale Zahlen）中分別使用表示有理數、實數、復數，引入表示整數，并在之后《數是什么？數應當是什么？》(Wassind und was sollen die Zahlen?）一書中以表示自然數。隨后，意大利數學家皮亞諾（Peano）在1889年出版的《算數原理新方法》(Arithmetices principia,nova methodo exposita）中引用了戴德金的結論，完成了對整數的公理化處理并使用同樣的符號，后來他在1895年出版的《數學公式匯編》(Formulario mathematico）中使用來表示正整數以及表示整數。進入20世紀，赫爾穆特·哈斯（Helmut Hasse）、奧托·豪普特（Otto Haupt）、范·德·瓦爾登（Van der Waerden）和埃德蒙·蘭道（Edmund Landau）等數學家也在書中使用了不同的符號表示整數。而正式提出將作為整數表示符號的是法國數學團體布爾巴基（N.Bourbaki），隨后該符號逐漸被認可和廣泛使用。
相關概念
自然數
定義：一般地，表示物體個數的數叫自然數，如條魚，個水果，只野兔等。
如都是自然數，自然數的單位是。
零和正整數統稱為自然數。自然數都是整數，但整數不一定都是自然數。
分數
定義：把單位“”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份的數，就叫分數。如把單位“”分成份取其中的份，就是。
分數是由兩個整數（其中有一個不能為零）和一條橫線組成。
有理數
正、負整數和統稱為整數；正分數和負分數統稱為分數。整數和分數統稱為有理數。
等價定義
有序自然數的等價類
一個整數是一個有序自然數的等價類，其中當且僅當。
可使用如下記號作為這些整數的名稱：
；
；
。
這些等價類也可以用下圖表示出來，標出有序對，向右度量，而向上度量，于是就得到整數集與它自身的笛卡兒積的一個用圖作出的解釋。
如上圖所示，與一個確定的等價類的有序對相應的點，位于一條與水平方向成角的直線上。這些直線與水平的實數直線相交于由相應的等價類所表示的整數點上。
運算定義
加法：兩個整數和的和定義為；
乘法：兩個整數和的積定義為。
性質
代數性質
加法和乘法
由于整數和分數統稱為有理數，因此有理數的加法、減法和乘法的運算法則與運算定律適用于整數運算。
加法：
1.同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；
2.絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得；
3.一個數同相加，仍得這個數。
例如：。
減法：整數的減法可以轉化為加法來進行，即整數減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數。
例如：。
乘法：
1.兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；
2.任何數與相乘，都得。
例如：。
運算定律：整數的運算法則對加法滿足結合律、交換律和單調律；對乘法滿足結合律、交換律和分配律。
交換律：數加數與數加數，其和的不變性叫做加法的交換律，即；
結合律：求幾個數的和時，可以把任意加數分成組，各組進行加法，然后再把所得的結果相加，所得的和不變，即；
單調律：
(1)若，那么；
(2)若，那么；
(3)若，那么。
乘法
交換律：一般地，整數乘法中，兩個數相乘，交換因數的位置，積相等，即乘法交換律：；
結合律：一般地，整數乘法中，三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等，即乘法結合律：；
分配律：一般地，有理數乘法中，一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加，即分配律：。
整除
定義
設是整數，。若存在整數，使得，則能整除或能被整除，記作。如果不存在整數，就說不能整除，或不能被整除，記作。若, 就叫做的倍數，或叫做的因數（因數）。
性質
整除具有以下一些性質：
1.如果，則。換言之，是的因數，是的因數，則是的因數；(傳遞性)
2.若，那么；
3.若，那么對任何整數來說；
4.若，則。反之，若，則；
5.若，則。
序論性質
全序集的定義：設是一個偏序集，若是一個鏈，則稱是一個全序集或線序集，“”是上的全序關系或線序關系。在全序集的哈斯圖中，從最小元素沿“”方向可以遍歷它的所有元素。
整數集在序論中滿足如下性質：
1.整數集合上的關系“”是全序關系，所以是全序集；
2.整數集合上的小于等于關系是全序關系；
3.正整數集合上的整除關系不是全序關系，但集合上的整除關系是全序關系。
相關定理
帶余除法定理
對于任意的整數，必存在唯一的一對整數，使成立。
該定理是整數理論的基礎，可得出整數的一些基本性質。
歐拉-費馬定理
設，則有。其中，歐拉函數，它表示小于且與互素的正整數個
數。
特別地，當為素數時，對任意的有
通常稱式為費馬小定理，而式稱為歐拉定理。
費馬大定理
大約1637年，皮耶·德·費瑪（Fermat,1601-1665）寫下猜想：沒有非零整數解。后來，該猜想被稱為費馬大定理。費馬證明和公開發布次的情形，并總結出著名的“無窮遞降法”。
不定方程：，沒有的整數解（使的解稱為平凡解）。其幾何意義為：不存在兩直角邊均為平方數的整邊直角三角形。
推廣
整數環
定義
在整數集中定義加法“”與乘法“”：和，可知加法與乘法是的代數運算，它與等價類中代表元的選擇無關。由下述定理：
1.整數的加法與乘法均滿足結合律和交換律，且乘法對加法滿足分配律；
3.對于的加法，存在單位元素，對于，存在唯一的逆元素；
4.對于方程有唯一解；
可得構成一個交換群，構成一個交換半群，由于乘法對加法滿足分配律，故構成一個交換環，稱為整數環。
唯一因子分解定理
任一大于的整數能唯一地分解成有限個質數的乘積。所謂唯一性是說，如果有兩個這樣的分解式
，則一定有，并且適當排列因子的次序后有。
該定理在整數的整除性理論中起著基本重要的作用，因此也被稱為算數基本定理。
高斯整數環
定義
整數還可以構成其他的數，如復數。形如一類特殊的復數，稱為高斯整數，其全體記為。設,對復數加法和復數乘法構成環，稱為高斯整數環。
帶余除法定理
整數中的帶余除法定理可以推廣至高斯整環上，但具有不完全一致的形式。
帶余除法定理：對任意，存在，使，即。
應用
密碼學
在密碼學中，整數可以幫助建設安全可靠的信息安全系統，為海上作戰提供保障。全同態加密主要應用于對密文數據進行加密處理，被廣泛應用于安全多方運算、數據加密存儲、數據索引、數據查詢等方面。基于整數多項的全同態加密算法，在密鑰生成過程和加密過程中，耗時更少，并且能夠進行批處理加密，可有效提高加解密的效率。
工程學
在工程學中，整數可以應用于電力系統經濟調度，其中機組組合優化是一個重要的問題，它由于高維數、非凸、離散、非線性的特征，在理論上很難求出最優解。粒子群優化算法是一種隨機全局優化算法，在求解機組組合問題時，普遍采用二進制編碼方式，用表示發電機組的開停機狀態。但對于大規模機組系統， 會導致種群個體長度過長，影響算法搜索效率，浪費求解時間。
為了優化機組組合問題，通過整數編碼方式，用正負整數分別表示機組開停機時間長度，相比于二進制編碼，它能有效減少待優化變量個數。基于機組組合問題的特點，采用修補策略處理不滿足約束條件的個體，使算法只在可行解區域內搜索，可有效提高收斂速度和求解精度。
管理學
通常，對于人力資源供大于求，企業會有多種的應對措施和方案，在作決策時，一般通過傳統的定性分析來選擇方案，并且方案比較單一。但傳統的定性方法存在多個缺點，如不科學、不精確和成本高等。人力資源供大于求狀態的決策屬于多目標和多方案決策問題，即必須滿足高效率與低成本，有利于員工穩定和社會穩定等多個目標。
基于最低成本，構建一個整數線性規劃決策模型，能為企業在人力資源供大于求狀態下提供一種有效便捷定量的決策手段。在實際應用過程中，企業可選擇其中幾個措施方案并進行優化決策。
相關文化
《隱匿的數字》是由科幻作家伊格爾·特珀（Igor Teper）創作的小說，并被改編為同名電影，于2012年上映。
主要講述：精神科醫生西蒙·湯姆林（Simon Tomlin）與一位名叫艾爾塞姆（Ersheim）的患者之間故事。艾爾塞姆是一名杰出的數學家，想要證明到之間存在一個秘密整數。
參考資料 >
The Integers.LibreTexts libraries of MATHEMATICS.2024-03-13
Earliest Uses of Symbols of Number Theory.jeff560.tripod.2024-03-13
The Secret Number.時光網.2024-03-18
About The Secret Number.secretnumber.colinlevy.2024-03-18