在同一個平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱直角坐標(biāo)系（Rectangular Coordinates）。通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與垂直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向。水平的數(shù)軸叫做x軸（x-axis）或橫軸，垂直的數(shù)軸叫做y軸（y-axis）或縱軸。創(chuàng)立者為勒內(nèi)·笛卡爾。
測量工作中所用的平面直角坐標(biāo)系以X軸為縱軸，表示南北方向，以Y軸為橫軸，表示東西方向，x軸y軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，它們的公共原點(diǎn)O稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)（origin），以點(diǎn)O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系記作平面直角坐標(biāo)系xOy。工程測量中常用的平面直角坐標(biāo)系有高斯平面直角坐標(biāo)系、獨(dú)立平面直角坐標(biāo)系以及建筑施工坐標(biāo)系等。根據(jù)高斯-克呂格投影所建立的平面坐標(biāo)系即為高斯平面坐標(biāo)系，其以中央子午線與赤道的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸。它也是大地測量學(xué)、城市測量、普通測量、工程測量和地圖制圖中廣泛采用的一種平面坐標(biāo)系。
發(fā)展歷程
笛卡爾坐標(biāo)的思想是法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾所創(chuàng)立的。
傳說：
有一天，笛卡爾（Descartes 1596—1650，法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家）生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反復(fù)思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這里，關(guān)鍵是如何把組成幾何的圖形的點(diǎn)和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤。他就拼命琢磨。通過什么樣的辦法、才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來。突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，停了一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”，使勒內(nèi)·笛卡爾思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點(diǎn)，它在屋子里可以上、下、左、右運(yùn)動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數(shù)確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條直線，如果把地面上的墻角作為起點(diǎn)，把交出來的三條線作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點(diǎn)的位置，不是都可以用這三根數(shù)軸上找到的有順序的三個數(shù)來表示嗎？反過來，任意給一組三個有順序的數(shù)，例如3、2、1，也可以用空間中的一個點(diǎn) P來表示它們。同樣，用一組數(shù)（a，b）可以表示平面上的一個點(diǎn)，平面上的一個點(diǎn)也可以用一組二個有順序的數(shù)來表示。于是在蜘蛛的啟示下，勒內(nèi)·笛卡爾創(chuàng)建了直角坐標(biāo)系。
坐標(biāo)系
在平面“二維”內(nèi)畫兩條互相垂直，并且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，簡稱直角坐標(biāo)系。平書局面直角坐標(biāo)系有兩個坐標(biāo)軸，其中橫軸為x軸（x-axis），取向右方向?yàn)檎较颍?a href="/hebeideji/2727543018836530871.html">縱軸為y軸（y-axis)，取向上為正方向。坐標(biāo)系所在平面叫做坐標(biāo)平面，兩坐標(biāo)軸的公共原點(diǎn)叫做平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。x軸y軸將坐標(biāo)平面分成了四個象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數(shù)軸為界，橫軸、縱軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)不在任何一個象限內(nèi)。一般情況下，x軸y軸取相同的單位長度，但在特殊的情況下，也可以取不同的單位長度。
點(diǎn)的坐標(biāo)
在直角坐標(biāo)系中，對于平面上的任意一點(diǎn)，都有唯一的一個有序數(shù)對（即點(diǎn)的坐標(biāo) coordinates）與它對應(yīng)；反過來，對于任意一個有序數(shù)對，都有平面上唯一的一點(diǎn)與它對應(yīng)。
對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)C，過點(diǎn)C分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應(yīng)點(diǎn)a,b分別叫做點(diǎn)C的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對（ordered pair）（a,b）叫做點(diǎn)C的坐標(biāo)。一個點(diǎn)在不同的象限或坐標(biāo)軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)不一樣。
特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：
1.x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為零。
2.在任意的兩點(diǎn)中，如果兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，則兩點(diǎn)的連線平行于縱軸（兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)不為零）；如果兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，則兩點(diǎn)的連線平行于橫軸（兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)不為零）。
3.點(diǎn)到軸及原點(diǎn)的距離：點(diǎn)到x軸的距離為|y|；點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為|x|；點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為x的平方加y的平方的算術(shù)平方根。
象限
第一象限還可以寫成Ⅰ，第二象限還可以寫成Ⅱ，第三象限還可以寫成Ⅲ，第四象限也可以寫成Ⅳ。
.第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等；第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。
對稱點(diǎn)
1.關(guān)于x軸成軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫同縱反）
2.關(guān)于y軸成軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫反縱同）
3.關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫縱皆反）
點(diǎn)的符號
橫坐標(biāo) 縱坐標(biāo)
第一象限：（+，+）正正
第二象限：（-，+）負(fù)正
第三象限：（-，-）負(fù)負(fù)
第四象限：（+,-）正負(fù)
x軸正半軸：（+，0）
x軸負(fù)半軸：（-，0）
y軸正半軸：（0，+）
y軸負(fù)半軸： （0，-）
x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0。
原點(diǎn)：（0，0）
注：在描點(diǎn)或進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算時，必須嚴(yán)格遵守“橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后”的順序，以數(shù)對形式（x，y）表示的坐標(biāo)系中的點(diǎn)。如（2，-4），“2”是x軸坐標(biāo)，“-4”是y軸坐標(biāo)。
1.第一象限中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)(x)大于0，縱坐標(biāo)(y)大于0。
2.第二象限中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)(x)小于0，縱坐標(biāo)(y)大于0。
3.第三象限中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)(x)小于0，縱坐標(biāo)(y)小于0。
4.第四象限中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)(x)大于0，縱坐標(biāo)(y)小于0。
各象限角平分線的點(diǎn)的特征：
一、三象限角平分線上的點(diǎn)p (a,b）橫縱坐標(biāo)相等，即；
二、四象限角平分線上的點(diǎn)p (a,b)橫縱坐標(biāo)相反，即或。
性質(zhì)
1.坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。
2. 一三象限角平分線上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等。
3.二四象限角平分線上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。
4.一點(diǎn)上下平移，橫坐標(biāo)不變，即平行于y軸的直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同。
5.y軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)都為0。
6.x軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)都為0。
7.坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限。
8.一個關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵鴺?biāo)的相反數(shù)。反之同樣成立。
9.一個關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均為原坐標(biāo)相反數(shù)。
10.與x軸做軸對稱變換時，x不變，y變?yōu)橄喾磾?shù)。
11.與y軸做軸對稱變換時，y不變，x變?yōu)橄喾磾?shù)。
12.與原點(diǎn)做軸對稱變換時，y與x都變?yōu)?a href="/hebeideji/4702490960303988302.html">相反數(shù)。
高斯直角坐標(biāo)
為了方便工程的規(guī)劃、設(shè)計與施工，我們需要把測區(qū)投影到平面上來，使測量計算和繪圖更加方便。而地理坐標(biāo)是球面坐標(biāo)，當(dāng)測區(qū)范圍較大時，要建平面坐標(biāo)系就不能忽略地球曲率的影響。把地球上的點(diǎn)位化算到平面上，稱為地圖投影。地圖投影的方法有很多，我國采用的是高斯——克呂格投影（又稱高斯正形投影），簡稱高斯投影。它是由德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯提出的，由克呂格改進(jìn)的一種分帶投影方法。它成功解決了將橢球面轉(zhuǎn)換為平面的問題。
投影方法
高斯投影的方法是將地球按經(jīng)線劃分為帶，稱為投影帶。投影是從首子午線開始的，分6°帶和3°兩種。每隔6°劃分一帶的叫6°帶，每隔3°劃分一帶的叫3°帶。我國領(lǐng)土位于東經(jīng)72°∽136°之間，共包括了11個6°帶，即13∽23帶；22個3°投影帶即24∽45帶。
設(shè)想一個平面卷成橫圓柱套在地球外，如圖1－5（a）所示。通過高斯投影，將中央子午線的投影作為
縱坐標(biāo)軸，用x表示，將赤道的投影作橫坐標(biāo)軸，用y表示，兩軸的交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由此構(gòu)成的平面直角坐標(biāo)系稱為高斯平面直角坐標(biāo)系，如圖1－5（b) 所示。每一個投影帶都有一個獨(dú)立的高斯平面直角坐標(biāo)系，區(qū)分各帶坐標(biāo)系則利用相應(yīng)投影帶的帶號。在每一個投影帶內(nèi)，y坐標(biāo)值都有正有負(fù)，這對于計算和使用都不方便，為了使y坐標(biāo)都為正值，故將縱坐標(biāo)軸向西平移500㎞，并在y坐標(biāo)前加上投影帶的帶號。6°帶投影是從英國格林尼治子午線開始，自西向東，每隔經(jīng)差6°分為一帶，將地球分為60個帶，其編號分別為1，2，3，60。任意帶的中央子午線經(jīng)度為Lo，它與投影帶號N的關(guān)系如下所示：
式中：N———6°帶的帶號
離中央子午線越遠(yuǎn)，長度變形越大，在要求較小的投影變形時，可采用3°投影帶。3°帶是在6°帶的基礎(chǔ)上劃分的，如圖所示。每3°為一帶，從東經(jīng)1°30′開始，共120帶，其中央子午線在奇數(shù)帶時與6°帶的中央子午線重合，每帶的中央子午線可用下面的工式計算：
式中：N′——3°帶的帶號。
為了避免y坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，3°帶的坐標(biāo)原點(diǎn)同6°帶一樣，向西移動500㎞，并在y坐標(biāo)前加3°帶的帶號。
特點(diǎn)
應(yīng)當(dāng)注意的是，高斯投影沒有角度變形，但有長度變形和面積變形，離中央子午線越遠(yuǎn)，變形就越大。其主要特點(diǎn)有以下三點(diǎn)：
（1）投影后中央子午線為直線，長度不變形，其余經(jīng)線投影對稱并且凹向于中央子午線，離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。
（2）赤道的投影也為一直線，并與中央子午線正交，其余的經(jīng)緯投影為凸向赤道的對稱曲線。
（3）經(jīng)緯投影后仍然保持相互垂直的關(guān)系，投影后有角度無變形。
應(yīng)用
用直角坐標(biāo)原理在投影面上確定地面點(diǎn)平面位置的坐標(biāo)系：
與數(shù)學(xué)上的直角坐標(biāo)系不同的是，它的橫軸為Y軸，縱軸為X軸。在投影面上，由投影帶中央經(jīng)線的投影為縱軸、赤道投影為橫軸（Y軸）以及它們的交點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系稱為國家坐標(biāo)系。國家坐標(biāo)系（national coordinate system）是各國為進(jìn)行測繪和處理其成果，規(guī)定在全國范圍內(nèi)使用統(tǒng)一坐標(biāo)框架的坐標(biāo)系統(tǒng)，又稱國家大地坐標(biāo)系。國家大地坐標(biāo)系是測制國家基本比例尺地圖的基礎(chǔ)。否則稱為獨(dú)立坐標(biāo)系。
坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用：
1.用坐標(biāo)表示地理位置。
2.用坐標(biāo)表示平移。
在測量學(xué)中使用的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)（rectangular plane coordinate system）包括高斯平面直角坐標(biāo)系和獨(dú)立平面直角坐標(biāo)系。
通常選擇：高斯投影平面（在高斯投影時）或測區(qū)內(nèi)平均水準(zhǔn)面的切平面（在獨(dú)立地區(qū)測量時）作為坐標(biāo)平面；縱坐標(biāo)軸為x軸，向上（向北）為正；橫坐標(biāo)軸為y軸，向右（向東）為正；角度（方位角）從x軸正向開始按順時針方向量取，象限也按順時針方向編號。
參考資料 >
平面坐標(biāo)系.中國大百科全書.2024-01-31
給星星定位——笛卡爾提出平面直角坐標(biāo)系.寧夏回族自治區(qū)科學(xué)技術(shù)協(xié)會.2024-01-31
平面直角坐標(biāo)系知識點(diǎn)歸納總結(jié).360文庫.2024-11-06