梯形（英文：Trapezoid），是數(shù)學(xué)中的一種幾何圖形，指只有一組對邊平行的四邊形。平行的兩邊叫做梯形的底邊：較長的一條底邊叫下底，較短的一條底邊叫上底；另外兩邊叫腰；夾在兩底之間的垂線段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形（right trapezoid）。兩腰相等的梯形叫等腰梯形（Isosceles trapezoid）。
梯形是平面幾何圖形中常見的一種，null是歷史上第一個創(chuàng)造了一個比較完整的幾何數(shù)學(xué)理論的人。他寫成的《null》一書是數(shù)學(xué)史上的早期巨著，標(biāo)志著歐氏幾何學(xué)的建立。等腰梯形和直角梯形是兩種特殊的梯形。平面幾何中，與梯形相似的圖形有平行四邊形和矩形，它們都是四邊形，都有一組對邊平行。此外，還有一種類似圖形為曲邊梯形，通過求其面積，可以定義定積分。
梯形在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，平面幾何中，通常用定義法判定梯形，在日常生活中也有很多常見的梯形物體。在建筑方面，梯形的建筑樣式可以讓建筑基礎(chǔ)穩(wěn)固，便于高度的提升。進行冶煉時，扁平梯形內(nèi)澆道吸動區(qū)域小，有助于發(fā)揮澆道的擋渣作用，在黑色或非鐵合金鑄件造型中都可以使用。
相關(guān)歷史
歐氏幾何
梯形是數(shù)學(xué)中的一種常見的平面幾何圖形，而真正把幾何總結(jié)成一門具有比較嚴(yán)密的理論學(xué)科的，被認(rèn)為是古杰出的數(shù)學(xué)家歐幾里得。約公元前3世紀(jì)，歐幾里德集前人之大成，他總結(jié)了人們在生產(chǎn)、生活實踐中獲得的幾何知識，規(guī)定了少數(shù)幾個原始假定為公理、公設(shè)，并定義了一些名詞概念，通過邏輯推理得到一系列的幾何命題。在此基礎(chǔ)上研究圖形的性質(zhì)，按照和提出的關(guān)于邏輯推理的方法，整理成一門有著嚴(yán)密演繹的體系，寫成了數(shù)學(xué)史上的早期巨著《》一書，標(biāo)志著歐氏幾何學(xué)的建立。他是歷史上第一個創(chuàng)造了一個比較完整的幾何數(shù)學(xué)理論的人。
一般梯形
由不在同一直線上四條線段依次首尾相接圍成的封閉的平面圖形或立體圖形叫四邊形，四邊形由凸四邊形和凹四邊形組成。
凸四邊形是四個頂點在同一平面內(nèi)，對邊不相交且作出一邊所在直線，其余各邊均在其同側(cè)的四邊形。
相關(guān)概念
梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
梯形的底：梯形中互相平行的兩邊叫做梯形的底。
梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。
梯形的高：梯形兩底之間的垂線叫做梯形的高，梯形有無數(shù)條高。
梯形的中位線（連接兩腰中點的線段）：梯形的中位線平行于兩底，并且等于上下底和的一半。
梯形的底角：梯形的底邊與腰的夾角叫做梯形的底角，梯形有四個底角。
梯形的對角線：連結(jié)梯形不相鄰兩頂點的線段稱為梯形的對角線。
梯形的性質(zhì)
梯形的判定
1.一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形。
2.有一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。
相關(guān)公式
特殊梯形
梯形的特殊分類
直角梯形和等腰梯形是特殊的梯形。
相關(guān)圖形
應(yīng)用場景
數(shù)學(xué)領(lǐng)域
梯形是數(shù)學(xué)中重要的幾何形狀之一，廣泛應(yīng)用于平面幾何的解題過程中。
例1：如圖4，已知：梯形ABCD的CD//AB，并且AC=BD，求證：梯形ABCD是等腰梯形。
（分析：對于梯形的判定，通常使用的是定義法，在圖4中，由于ABCD是梯形，那么只要證明AD=BC，即可證明梯形ABCD是等腰梯形，即：兩腰相等的梯形是等腰梯形）
證明：
過D作DE//AC交BA的延長線于E，則ACDE是平行四邊形，∴DE=AC。
又BD=AC（已知），∴DE=BD，∴ ∠E=∠2（等腰三角形的底角相等）。
又∠E=∠1，∴ ∠1=∠2。又AC=BD，AB=AB，∴（SAS）。
∴AD=BC，∴梯形ABCD是等腰梯形（兩腰相等的梯形是等腰梯形）。
例2：如圖5，已知：等腰梯形ABCD的銳角等于60°，它的兩底分別為15厘米和49厘米，求：它的腰長AB、CD。
解：作AE⊥BC、DF⊥BC，則AE//DF，
又AD//BC，∴四邊形AEFD是矩形，EF=AD=15cm，
又梯形ABCD為等腰梯形，AB=CD，AE=DF，
∴，∴BE=CF=（BC-EF）÷ 2=（49-15）÷ 2=17（cm），
在直角△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴ AB=2BE=17 x2=34 （cm），
∴CD=AB=34cm。
冶金鑄造
一般常用的內(nèi)澆道截面形狀有：扁平形、三角形、月牙形、和半圓形或圓形。扁平梯形應(yīng)用廣泛，其特點吸動區(qū)域小，有助于發(fā)揮澆道的擋渣作用，澆完后凝固快，且造形方便，清除容易，在黑色或非鐵合金鑄件造型中都可使用。
交通設(shè)施
附著于隧道壁、橋墩、臺側(cè)墻及混凝土護欄側(cè)墻上的輪廓標(biāo)的形狀可采用圓形、長方形或者梯形。可根據(jù)建筑物的種類及設(shè)置部位采用不同形狀的輪廓標(biāo)和不同的連接方式。
建筑設(shè)計
梯形的建筑樣式可以讓建筑基礎(chǔ)穩(wěn)固，便于高度的提升。巴比倫時期，人們敬仰天地日月。古巴比倫的祭祀建筑Ziggurat 外形設(shè)計為梯形并逐級抬高。逐級抬高的方式可以讓人們更加接近日月，感受大自然的力量。Ziggurat 的梯形空間在視覺上具有堅實感和往上的提升感。梯形柱礎(chǔ)是立面為梯形的柱礎(chǔ)，一般都是一個正梯形，即窄邊在上，寬邊在下。梯形柱礎(chǔ)上小下大，具有極好的穩(wěn)定性，非常適用于柱子負(fù)荷較大的建筑中，其表面也可加雕刻裝飾。
圖片攝影
在圖片攝影中，梯形構(gòu)圖是一種比較常見的構(gòu)圖形式，以梯形為主要結(jié)構(gòu)特征，造成堅固、穩(wěn)定、向上的視覺感受，通常由仰視拍攝角度構(gòu)成。
曲邊梯形
積分的發(fā)現(xiàn)
公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家（）創(chuàng)立了較嚴(yán)格的確定面積和體積的一般方法“窮竭法"，這種方法假定量的無限可分性，并且以下面命題為基礎(chǔ)：“如果從任何量中減去一個不小于它的一半的部分，從余部中再減去不小于它的一半的另一部分，則最后將留下一個小于任何給定的同類量的量。歐多克斯的窮竭法，體現(xiàn)出了極限論思想。
公元263年左右，中國魏晉時期數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)倪厰?shù)無限增加時，多邊形面積可以無限逼近圓面積。即所謂“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。劉徽提出的“”就開始孕育了積分思想。
經(jīng)過萊昂哈德·歐拉（Leonhard?Euler）、（D’Alember Jean Le Rond）、約瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）等著名數(shù)學(xué)家研究奠基后，直到17世紀(jì)初，英國艾薩克·牛頓（SirIsaacNewton）從運動學(xué)出發(fā)，由力學(xué)創(chuàng)造流數(shù)學(xué)（微積分），同時期，德國（Gottfried Wilhelm Leibniz）從幾何學(xué)出發(fā)，由研究曲線的切線問題創(chuàng)立了微積分。
19世紀(jì)，（Cauchy）通過研究得到連續(xù)函數(shù)一定存在積分的結(jié)論，隨后，波恩哈德·（Georg Friedrich Bernhard Riemann）發(fā)現(xiàn)具有有限個間斷點的不連續(xù)函數(shù)也存在積分，進而黎曼將柯西積分中的連續(xù)函數(shù)推廣到了有界函數(shù)，并定義了黎曼積分，這在很大程度上完善了積分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫽A(chǔ)及定義。
曲邊梯形
五十年代A·jI辛飲著的《數(shù)學(xué)分析簡明教程》，其中對曲邊梯形是這樣定義的：它有三條邊是直線，其中兩條互相平行，第三條與前兩條互相垂直，第四條邊是一條曲線的一段弧，它與任一條平行于它的鄰邊的直線至多只交于一點。
在直角坐標(biāo)系中，由一條連續(xù)曲線與三條直線，和所圍成的封閉圖形（如圖1）叫做曲邊梯形。曲線和區(qū)間分別叫做曲邊梯形的曲邊和底。
特點：曲邊梯形的特點是高度不斷變化。
對函數(shù)而言，在自變量的某個變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個確定的數(shù)，那么這個確定的數(shù)就叫做在這一變化過程中函數(shù)的極限。為了計算曲邊梯形的面積，先將曲邊梯形分成許多小長條（小曲邊梯形），再把每個小曲邊梯形的面積用相應(yīng)的小矩形的面積做近似代替。將這些小矩形的面積加起來得到曲邊梯形面積的近似值。當(dāng)分割越細(xì)密時，矩形面積的和越接近曲邊梯形的面積；當(dāng)無限細(xì)分時，其和就無限地接近曲邊梯形的面積。因此，曲邊梯形的面積等于矩形面積和的極限。
例：計算曲邊梯形aMNb的面積（如圖2）。
1）分割
在區(qū)間中任意插入-1個分點，把區(qū)間分成個小區(qū)間，，···，，···，，它們的長度依次為，，···，，···，，過各分點作x軸的垂線段，把曲邊梯形分成個小曲邊梯形，設(shè)其中第個小曲邊梯形的面積為。
2）取近似
在每個小區(qū)間上任取一點，取以為高，為底的小矩形面積作為同底的小曲邊梯形面積的近似值，即。
3）求和
將個小矩形的面積相加得到曲邊梯形面積的近似值，即。
4）取極限
把個小區(qū)間的長度中的最大者記作，當(dāng)時，的極限就是曲邊梯形面積的精確值。可見，曲邊梯形面積是一個和式的極限。
定積分的定義
用類似的方法可以定義定積分，設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，在中任意插入-1個分點，把區(qū)間分成個小區(qū)間，， ···，，···，。
各個小區(qū)間的長度依次是，，···，，···，，在每個小區(qū)間上任取一點，作函數(shù)值與的乘積并作和，記。
如果不論對怎樣分法，也不論在小區(qū)間上怎樣的取法，只要當(dāng)λ→0時，和總趨于確定的常數(shù)，我們就稱這個常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即，其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達式，叫做積分變量，和分別叫做積分的下限和上限，叫做積分區(qū)間，叫做積分和式，并且把讀作：函數(shù)從到的定積分。
參考資料 >