射影幾何的某些內容在公元前就已經發現了，基于繪圖學和建筑學的需要，古希臘幾何學家就開始研究透視法，也就是投影和截影。但直到十九世紀才形成獨立體系，趨于完備。1822年法國數學家彭賽列發表了射影幾何的第一部系統著作。他是認識到射影幾何是一個新的數學分支的第一個數學家。射影幾何學在航空、測量、繪圖、攝影等方面有廣泛的應用。
射影是一個存在于數學及物理學中的概念，存在于集合論、線性代數、幾何學以及拓撲學等諸多理念中。在平面幾何中，與一個圖形相似的圖形叫做這個圖形的射影。
射影是幾何學術語，射影幾何用來研究圖形的射影性質，即圖形經過射影變換不變的性質，也叫做投影幾何學。在經典幾何學中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過可以把其他幾何聯系起來。
概述
從一點向一條直線或一個平面作垂線,所得的垂足就是這點在這條直線或著個平面上的射影；一條射影的連線叫做這條線段在這條直線或這個平面上的射影。射影是幾何里的用語，射影幾何是研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換不變的性質。一度也叫做投影幾何學，在經典幾何學中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何聯系起來。
意義及應用
射影定理的內容為：在直角三角形中，斜邊上的高為兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項。
古書上說水中有一種叫作"蜮"的動無\物能含沙噴射人影使人致病."射影"也是"蜮"的別名。參見"含沙射影".
向量
設單位向量e是直線m的方向向量，向量AB=a，作點A在直線m上的射影A'，作點B在直線m上的射影B'，則向量A'B'叫做AB在直線m上或在向量e方向上的正射影，簡稱射影。向量A'B'的模∣A'B'∣=∣AB∣·∣cos〈a，e〉∣=∣a·e∣。
直線
定義1：自點P向直線a引垂線所得到的垂足Q叫做點P在直線a上的射影。
平面中，過一點（直線上或直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直，其垂足唯一，故點在直線上的射影唯一，定義合理。
平面
定義2：自點P向平面α引垂線所得到的垂足Q叫做點P在平面α上的射影。
空間中，過一點（平面上或平面外）有且只有一條直線與已知平面垂直，其垂足唯一，故點在平面上的射影唯一，定義合理。
三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。
圖形
定義3：如果圖形F上的所有點在一平面上的射影構成的圖形F'，則F'叫做圖形F在這個平面上的射影。
由定義1與定義2的說明可知，圖形在平面上的射影是唯一的。
特別地，直線在平面上的射影的情況：
情況1：直線平行于平面，
任取直線上兩點，分別做平面垂線，連接平面內兩個垂足，連成的直線就是直線在平面上的射影。
情況2：直線與平面斜交
任取直線上平面外一點，做平面垂線，連接垂足和斜足所得到的直線，就是直線在平面上的射影。
情況3：直線與平面垂直
此時直線上的點在平面上的射影都是同一點——垂足，故垂足就是直線在平面上的射影。
參考資料 >