在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間并構成了一般不動點定理的基石。布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（英語：L. E. J. Brouwer）。
布勞威爾不動點定理說明：對于一個拓撲空間中滿足一定條件的連續函數f，存在一個點x0，使得f(x0) = x0。布勞威爾不動點定理最簡單的形式是對一個從某個圓盤D射到它自身的函數f。而更為廣義的定理則對于所有的從某個歐幾里得空間的凸緊子集射到它自身的函數都成立。
基本概念
不動點定理fixed-小數點 theorem
如果f 是n+1維實心球Bn+1={x∈R n+1|x|≤1}到自身的連續映射（n=1，2，3…），則f 存在一個不動點x∈Bn+1（即滿足f（x0）=x0）。此定理是L.E.J.魯伊茲·布勞威爾在1911年證明的。不動點問題實際上就是各種各樣的方程（如代數方程、微分方程、積分方程等）的求解問題，在數學上非常重要，也有很多的實際應用。
定理啟示
建立布勞威爾不動點定理是他的突出貢獻．這個定理表明：在二維球面上，任意映到自身的一一連續映射，必定至少有一個點是不變的．他把這一定理推廣到高維球面．尤其是，在n維球內映到自身的任意連續映射至少有一個不動點．在定理證明的過程中，他引進了從一個復形到另一個復形的映射類，以及一個映射的映射度等概念．有了這些概念，他就能第一次處理一個流形上的向量場的奇點．
格奧爾格·康托爾揭示了不同的n與空間Rn的一一對應關系．G．皮亞諾(Peano)則實現了把單位線段連續映入正方形．這兩個發現啟示了，在拓撲映射中，維數可能是不變的．1910年，布勞威爾環形山對于任意的n證明了這個猜想——維數的拓撲不變性．在證明過程中，布勞威爾創造了連續拓撲映射的單純逼近的概念，也就是一系列線性映射的逼近．他還創造了映射的拓撲度的概念——一個取決于拓撲映射連續變換的同倫類的數．實踐證明，這些概念在解決重要的不變性問題時非常有用．例如，布勞威爾就借助它界定了n維區域；J．W．亞歷山大(Alexander)則用它證明了貝蒂數的不變性．
這些都是不動點定理的一種延伸。
等價形式
不動點理論已經成為非線性分析的重要組成部分，該問題的研究已經在偏微分方程、控制論、經濟平衡理論及對策理論等領域獲得了極為成功的應用。本文首先整合了以往文獻關于不動點定理的一些等價形式，然后在H-空間中建立了新型的不動點定理、截口定理及應用。全文共分為三章：第一章，簡要介紹本文將要用到的凸分析，拓撲空間和集值映射中相關的概念和性質。第二章，整合了不動點定理的一些等價形式。首先，簡單介紹了Brouwer不動點定理的幾個重要的推廣形式，然后通過一系列證明得出不動點定理的若干等價形式：Brouwer不動點定理(?)KKM定理(?)FKKM定理(?)Ky Fan極大極小不等式(?)Browder不動點定理(?)Ky Fan不等式Ⅰ(?)Ky Fan極大極小不等式的幾何形式(?)Ky Fan截口定理(?)Fan-Browder不動點定理(?)Ky Fan不等式Ⅱ。第三章，首先，介紹了H-空間中一些重要的概念。其次，在H-空間中建立了新的Fan-Browder型不動點定理及其幾種等價形式。
歷史
布勞威爾不動點定理是代數拓撲的早期成就，還是更多更一般的不動點定理的基礎，在泛函分析中尤其重要。在1904年，首先由Piers Bohl 證明n = 3 的情況（發表于《純及應用數學期刊》之內）。后來在1909年，魯伊茲·布勞威爾（L. E. J. Brouwer）再次證明。在1910年，雅克·阿達馬提供一般情況的證明，而布勞威爾環形山在1912年提出另一個不同的證明。這些早期的證明皆屬于非構造性的間接證明，與數學直覺主義理想矛盾。現在已知如何構造（接近）由布勞威爾不動點定理所保證的不動點，見例子 (Karamadian 1977) 和 (Istr??escu 1981)。
示例
這個定理可以通過很實際的例子來理解。比如：取兩張一樣大小的白紙，在上面畫好垂直的坐標系以及縱橫的方格。將一張紙平鋪在桌面，而另外一張隨意揉成一個形狀（但不能撕裂），放在第一張白紙之上，不超出第一張的邊界。那么第二張紙上一定有一點正好就在第一張紙的對應點的正上方。一個更簡單的說法是：將一張白紙平鋪在桌面上，再將它揉成一團（不撕裂），放在原來白紙所在的地方，那么只要它不超出原來白紙平鋪時的邊界，那么白紙上一定有一點在水平方向上沒有移動過。
這個斷言的根據就是魯伊茲·布勞威爾不動點定理在二維歐幾里得空間（歐幾里得平面）的情況，因為把紙揉皺是一個連續的變換過程。
另一個例子是大商場等地方可以看到的平面地圖，上面標有“您在此處”的紅點。如果標注足夠精確，那么這個點就是把實際地形射到地圖的連續函數的不動點。
地球繞著它的自轉軸自轉。自轉軸在自轉過程中的不變的，也就是自轉運動的不動點。
理論
克納斯特-塔斯基定理（Knaster–Tarskitheorem）在數學領域序理論和格理論中，克納斯特-塔斯基定理，得名于克納斯特（Bronis?awKnaster）和阿爾弗雷德·塔斯基（AlfredTarski），它聲稱：設L是完全格并設f:L→L是次序保持函數。則f在L中的不動點的集合也是完全格。因為完全格不能是空的，這個定義特別保證f的至少一個不動點的存在，甚至一個“最小”（或“最大”）不動點的存在。在很多實際情況中，這是這個定理最重要的蘊涵。
λ演算（lambdacalculus）是一套用于研究函數定義、函數應用和遞歸的形式系統。它由阿隆佐·邱奇（AlonzoChurch）和他的學生斯蒂芬·克萊尼（StephenColeKleene）在20世紀30年代引入。Church運用λ演算在1936年給出判定性問題（Entscheidungsproblem）的一個否定的答案。這種演算可以用來清晰地定義什么是一個可計算函數。關于兩個lambda演算表達式是否等價的命題無法通過一個“通用的算法”來解決，這是不可判定性能夠證明的頭一個問題，甚至還在停機問題之先。Lambda演算對函數式編程語言有巨大的影響，比如LISP、ML語言和Haskell。Lambda演算可以被稱為最小的通用程序設計語言。它包括一條變換規則（變量替換）和一條函數定義方式，Lambda演算之通用在于，任何一個可計算函數都能用這種形式來表達和求值。因而，它是等價于圖靈機的。盡管如此，Lambda演算強調的是變換規則的運用，而非實現它們的具體機器。可以認為這是一種更接近軟件而非硬件的方式。
阿隆佐·邱奇圖靈論題（TheChurch-Turingthesis）是計算機科學中以數學家阿隆佐·邱奇（AlonzoChurch）和阿蘭·圖靈命名的論題。該論題最基本的觀點表明，所有計算或算法都可以由一臺圖靈機來執行。以任何常規編程語言編寫的計算機程序都可以翻譯成一臺圖靈機，反之任何一臺圖靈機也都可以翻譯成大部分編程語言程序，所以該論題和以下說法等價：常規的編程語言可以足夠有效的來表達任何算法。該論題被普遍假定為真，也被稱為阿隆佐·邱奇論題或邱奇猜想和艾倫·麥席森·圖靈論題。
其它
斯蒂芬·克萊尼不動點定理（Kleenefixed-pointtheorem）在數學中，序理論的克萊尼（Kleene）不動點定理聲稱給定任何完全格L和任何連續的（因此單調的）函數
f:L→L
f的最小不動點（lfp）是f的升Kleene鏈的最小上界
參考資料 >