序理論是數學的一個分支，主要研究捕獲數學排序的直覺概念的各種二元關系。序是從數的大小、集合的包含等關系中抽象出來的概念。其中偏序關系和全序關系、二元關系、哈斯圖屬于序理論中最基本的概念。在序理論中還包含一些特殊的序類型，如全序和格等。
序理論中包含一些重要的定理，如序擴張定理、Hausdorff極大原理、Zorn引理、良序定理等。序理論可以用于數學學科中的集合論、拓撲學和數學分析等，還可用于經濟學和信息學等其他學科中。
定義
序是現代數學中的一個基本概念，20世紀30年代法國年輕的數學家們創立了以推崇結構主義而著稱的布爾巴基學派，認為全部數學基于三種母結構，即代數結構、序結構和拓撲結構。其中對序作了精確論述。數學中序或序數是對日常生活中第一、第二等表示次序的數的推廣；而序又是建立在偏序、全序、良序基礎上的。數學上認為，系統內部最基本的關系是二元關系（數學上用映射來表示），系統內部的序結構是以一元為基礎的，次序是二元關系中一個非常重要的類型。
簡史
序，又稱為序關系，是從數的大小、集合的包含等關系中抽象出來的概念。為了研究序關系的性質和作用，產生了偏序集和格的理論。在1847年和1854年，布爾（Boole,G.）首次提出了布爾代數的概念，用于研究思維規律（邏輯學、數理邏輯）。到了19世紀末期，皮爾斯（Peirce,計算機科學）和施羅德（Schr?der,F.W.K.E.）在對布爾代數的公理化研究中，創造性地引入了格的概念。同時，戴德金（Dedekind,J.W.R.）在研究代數數的理想時，也獨立地給出了格的公理化定義，并對格的概念進行了深入研究，還引入了分配格的弱形式，即模格的概念。盡管這些科學家和亨廷頓（Huntington,E.V.）的一些早期結果具有重要意義，但當時并未引起數學界的足夠重視。直到20世紀30年代中期，伯克霍夫（Birkhoff,G.D.）的工作開啟了格論的全面發展。他與格里文克(Glivenko,V.）、門杰（Menger,K.）、約翰·馮·諾依曼（von Neumann,J.）、奧爾（Ore,O.）、斯通（Stone,M.H.）等人在這一新領域的一系列文章引起了數學界的廣泛關注。
基本概念
偏序關系和全序關系
偏序關系，用于描述集合元素間部分排序關系的一種二元關系；設是一個集合，如果上的一個關系滿足自反性（對任意實數，有成立）、反對稱性（對任意，若且，則必有，）和可傳遞性（對任意，若， ，則必有），則稱是上的一個偏序關系，并把它記為，這時稱（，）為偏序集，偏序集用序偶(，)表示。在一個偏序關系中，每個元素都是可比的，則稱為全序關系；即有一個集合，若集合是一條鏈（即集合的一個子集中任何兩個元素都相關），則偏序集(，)稱為全序集，在這種情況下，二元關系“”稱為全序關系。在全序關系中，良序關系是其一種特殊情況，每個良序集(，)都是全序集，但全序集不一定是良序集；在一個全序集合中，如果對任意的非空子集都能在其序下找到最小元素，那么這個全序關系就被稱為良序關系。
二元關系
設是兩個非空集合，，稱是從到的二元關系；若，稱為上二元關系。
哈斯圖
哈斯圖用來表示有限偏序集，偏序集的基數稱為的階，記為；若有限，則稱為有限偏序集。用○表示有限偏序集的元素，若，則把表示的○放在表示的○上方；若，則用直線段連結表示的○及表示的○，這樣得到的圖稱為偏序集的示圖，兩個有限偏序集同構、對偶都可從圖上看出。
特殊類型
全序
全序集中的關系稱為全序或線性序，全序集（線性序集或鏈）是一類重要的偏序集。若偏序集適合如下公理：若對任意三式中有且僅有一式成立，則稱為全序集。若偏序集的子集作為子偏序集是全序集，則稱是中的鏈;若是非序的，則稱為的反鏈。實數集及其任何子集在通常的關系下是全序集。
格
格是一種特殊的偏序集，它要求集合中的任意兩個元素都存在上確界和下確界。而布爾代數定義為具有最大元和最小元的有余(有補)的分配格，是一種特殊的格，也是一種代數結構，用于處理邏輯運算和集合運算。布爾代數最初由英國數學家喬治·布爾提出，用于研究思維規律和邏輯運算。
序數
序數被定義為良序集的類型。如：集合0，1，2…8中9是一個序數。序數有三類：零、后繼序數、極限序數。對任何一個良序A，必有一個，而且僅有一個a使A與a序同構，此時稱a為A的序數。任何兩個具有相同序數的良序集，必定同構，這就是說序數是同構良序集的共同特征。
半模偏序集
半模偏序集是一類特殊的偏序集。在一個含最小元的有限長偏序集中，若對于任意，當覆蓋時，若存在使得和都覆蓋，則存在使之覆蓋和，那么稱為（上）半模偏序集。對偶地，可以定義下半模偏序集。若一個偏序集既是上半模的，又是下半模的，則稱其為模偏序集。
重要定理
序擴張定理
序擴張定理，即任何偏序都可擴張為線序（全序）。這個定理在數學的許多領域都有應用，它提供了一種將連續映射從子空間擴張到整個空間的方法。
Hausdorff極大原理
Hausdorff極大原理，即每個非空半序集都包含一個全序子集，就其具有全序性質而言，它是極大子集。
Zorn引理
Zorn引理在數學中占有重要地位，也被稱為Kuratowski-Zorn引理，該引理是由Kuratowski（庫拉托夫斯基）在1922年首先發現的，隨后，Zorn在1935年亦獨立地發現了此結論。Zorn引理即在任何非空的偏序集中，如果每個鏈（即任意非空全序的子集）都有下界，那么該偏序集必定包含一個極小元素，或在任何非空的偏序集中，如果每個鏈（即任意非空全序的子集）都有上界，那么該偏序集必定包含一個極大元素。
良序定理
良序定理是集合論中的一個重要定理，即任一集合都能賦予一個先后次序，使之成為良序集。良序定理在1904年被Zermelo提出的選擇公理證明。良序定理的證明依賴于選擇公理，選擇公理稱，對于任何非空集合的集合，都存在一個選擇函數，可以從每個非空集合中選擇一個元素。
Dilworth定理
Dilworth定理，即對于任意有限偏序集，其最大反鏈中元素的數目必等于最小鏈劃分中鏈的數目。此定理的對偶形式亦真，對于任意有限偏序集，其最長鏈中元素的數目必等于其最小反鏈劃分中反鏈的數目，是序理論中的一個重要定理。
應用領域
數學
序理論為集合論提供了豐富的工具和概念，如偏序集、全序集、良序集等。這些概念在集合的排序、分類和組織方面起著重要作用。例如，良序定理表明任何集合都可以被良序排序，這為解決一些存在性問題提供了有力工具。序理論在拓撲學中也有重要應用。例如，序拓撲是通過全序集上的開射線來定義的，它為研究實數線和其他有序空間的拓撲性質提供了基礎。此外，序理論中的一些概念，如連通性、緊性等，在拓撲學中也有對應的概念和性質。同時在數學分析中，序理論的某些概念為其提供基礎，如分析學中的半序線性空間是一類賦有序關系的線性空間，稱為有序線性空間。在考察實值函數時，除了有線性結構、拓撲結構以外，還有個按照自然的序。
經濟
經濟領域：意大利資產階級經濟學家維爾弗里多·帕累托(148-1923年)在1896--1897年出版的《政治經濟學講義》中提出序數論。他認為邊際效用不是數量概念，而是次序概念。認為不能用基數1、2、3……來表示邊際效用絕對值的大小，只能用序數第一、第二、第三……來表示邊際水平的高低。
信息科學
序理論中的偏序關系可以用來描述訪問類集合之間的支配關系，在BLP安全模型中定義了一種訪問類結構，該結構由訪問類集合與各訪問類之間的關系組成。每個訪問類包括一個敏感級與一個信息類，訪問類集合實際上是由敏感級集合與信息類集合的乘積形成的；訪問類之間的關系定義為就被偏序關系。
參考資料 >