完全格，又稱完備格（英語：complete lattice），是在其中所有子集都有上確界（并）和下確界（交）的偏序集。出現于數學和計算機科學的很多應用中。
基本介紹
在數學中，完全格是在其中所有子集都有上確界（并）和下確界（交）的偏序集。作為格的特殊實例，在序理論和泛代數中都有所研究。完全格一定不能混淆于完全偏序（cpo），它構成嚴格的更加一般的一個偏序關系類別。更特殊的完全格是完全布爾代數和完全海廷代數（locale）。
形式定義
偏序集合(L, ≤)是完全格，如果L的所有子集A在(L, ≤)中都有最大下界（下確界，交）和最小上界（上確界，并）二者。注意在A是空集的特殊情況下，L的任何元素都是空集的上界和下界，A的交將是L的最大元素。類似的，空集的并生成最小元素。因為定義還確保了二元交和并的存在，完全格因為形成了特殊種類的有界格。
例子
以下是一些完全格的例子：
- 給定集合的冪集，按包含排序。上確界給出自這些子集的并集而下確界給出自這些子集的交集。
- 單位區間[0,1]和擴展的實數軸，通過平常的全序和普通的上確界和下確界。實際上，全序集合（帶有它的序拓撲）作為拓撲空間是緊致的，如果它作為一個格是完全的。
- 自然數按整除排序。這個格最小元是1，因為它可以整除任何其他數。最大元是0，因為它可以被任何數整除。有限集合的上確界給出自最小公倍數而下確界給出自最大公約數。對于無限集合，上確界將總是0而下確界可以大于1。
- 任何給定群的子群在包含關系下。如果e是G的單位元，則平凡的群{e}是G的極小子群。而極大子群是群G自身。
- 模的子模按包含排序。上確界給出自子模的和而下確界給出自交集。
- 環的理想子環按包含排序。上確界給出自理想子環的和而下確界給出自交集。
- 拓撲空間的開集按包含排序。上確界給出自開集的并而下確界給出自交集的內部。
- 實數或復數的向量空間的凸集按包含排序。下確界給出自凸集的交集而上確界給出自并集的凸包。
- 在集合上拓撲按包含排序。下確界給出自拓撲的交集，而上確界給出自拓撲的并集所生成的拓撲。
- 在集合上的所有傳遞關系的格。
- 多重集的子多重集的格。
- 在集合上的所有等價關系的格；等價關系~被認為比≈更小（或"更細"），如果x~y總是蘊涵x≈y。
參考資料 >