泛代數(shù)，以一般代數(shù)系統(tǒng)為研究對(duì)象的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，泛代數(shù)的一個(gè)特有結(jié)果是重要的伯克霍夫定理。
介紹
在諸如矩陣群、置換群、變換群等具體的群概念基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)抽象概括而得出抽象群的概念；與此類(lèi)似，可以在一般的群、環(huán)、布爾代數(shù)、模、格、半群等等概念之上再抽象，得出能概括它們的共性的更加一般的概念。這種方法和任務(wù)，早在1898年A.N.阿爾弗雷德·懷特黑德就已提出了，但是直到20世紀(jì)30年代末期在G.伯克霍夫的著名工作之后，泛代數(shù)才真正發(fā)展起來(lái)。
推導(dǎo)
設(shè)A是一個(gè)非空集合,是自然數(shù)，所謂A的一個(gè)n元運(yùn)算，是指（n個(gè)A的勒內(nèi)·笛卡爾積）到A的一個(gè)映射ω，元素在映射ω下的像，就是 在n元運(yùn)算ω下得到的結(jié)果。規(guī)定A的一個(gè)零元運(yùn)算就是在A中標(biāo)定一個(gè)元素。
集合 A和其上若干個(gè)（有限或無(wú)限個(gè)）運(yùn)算組成的運(yùn)算集Ω一起，統(tǒng)稱(chēng)為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)或Ω代數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)），記作。簡(jiǎn)而言之，所謂代數(shù)系統(tǒng)，就是帶運(yùn)算的集合。如果代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算集Ω與代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算集Ω┡之間有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)φ，且相對(duì)應(yīng)的運(yùn)算是相同元數(shù)的，那么和稱(chēng)為是同型的。常把同型代數(shù)的運(yùn)算集Ω和Ω┡按對(duì)應(yīng)φ等同起來(lái)。例如，群可看成具有一個(gè)二元運(yùn)算（乘法）、一個(gè)一元運(yùn)算（取逆元）和一個(gè)零元運(yùn)算（單位元）的代數(shù)系統(tǒng)；有單位元的環(huán)可看成具有兩個(gè)二元運(yùn)算（加法和乘法）、一個(gè)一元運(yùn)算（取負(fù)元）和兩個(gè)零元運(yùn)算（零元和單位元）的代數(shù)系統(tǒng)；布爾代數(shù)可看成具有兩個(gè)二元運(yùn)算（交和并）、一個(gè)一元運(yùn)算（取補(bǔ)元）和兩個(gè)零元運(yùn)算（0和1）的代數(shù)系統(tǒng)。有單位元的環(huán)和布爾代數(shù)，就可視為同型代數(shù)。然而，域不能看成代數(shù)系統(tǒng)，因?yàn)橛蛑袑?duì)乘法取逆元不是對(duì)域中每一元都有意義，而只是域上的一個(gè)“部分運(yùn)算”。
泛代數(shù)首先把群論、環(huán)論和格論中一些共有的概念和平行的結(jié)果，推廣到代數(shù)系統(tǒng)上來(lái)。例如，同構(gòu)、同態(tài)、合同關(guān)系、子代數(shù)系統(tǒng)等基本概念，以及從已給的代數(shù)系統(tǒng)建立新的代數(shù)系統(tǒng)的各種構(gòu)造方法：取子代數(shù)系統(tǒng)、取同態(tài)像、直積、亞直積、正向極限、反向極限、超濾積、自由代數(shù)等，它們和群論或環(huán)論中相應(yīng)的概念十分類(lèi)似。就其重要的介紹如下：
設(shè)和是兩個(gè)同型代數(shù)（已將它們的運(yùn)算集等同起來(lái)），如果φ是集A到集A┡的一個(gè)映射，且對(duì)Ω中任意n 元運(yùn)算ω 滿足條件(C)：,那么φ 稱(chēng)為代數(shù)到的一個(gè)同態(tài)。當(dāng)ω是零元運(yùn)算時(shí)，條件(C)是指A中ω 所標(biāo)定的元素在φ下的像，恰是A┡中ω 所標(biāo)定的元素。當(dāng)φ為A和A┡間的一一映射時(shí)，則說(shuō)φ是這兩個(gè)代數(shù)間的一個(gè)同構(gòu)。
設(shè)θ是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。所謂θ是代數(shù)的一個(gè)合同關(guān)系，意指對(duì)Ω中任意運(yùn)算ω有：若,則。用的一個(gè)合同關(guān)系θ，很容易構(gòu)造一個(gè)新的代數(shù)<,Ω>，其中凴是A中θ的等價(jià)類(lèi)的集合，凴的運(yùn)算ω∈Ω定義為。由于θ是合同關(guān)系，故此定義確給出凴的一個(gè)運(yùn)算。顯然,和〈凴,Ω〉是同型代數(shù)，而A到凴上的對(duì)應(yīng)是它們間的同態(tài)。
用正規(guī)子群（或理想）可以刻畫(huà)群（或環(huán)）的合同關(guān)系，但是這對(duì)Ω代數(shù)已不可能了，例如半群的合同關(guān)系已不能用子半群去刻畫(huà)。然而，對(duì)于泛代數(shù)仍有和群論類(lèi)似的關(guān)于同態(tài)的基本定理以及第一、第二同構(gòu)定理。
和群（環(huán)）論類(lèi)似，在泛代數(shù)中也討論代數(shù)的子代數(shù)格、合同關(guān)系格、代數(shù)的自同構(gòu)群等問(wèn)題。
任取非空集M 和集。每一ωλ 對(duì)應(yīng)一個(gè)非負(fù)整數(shù)nλ,并把ωλ稱(chēng)為nλ元運(yùn)算符號(hào)。的ωλ的全體，記作Ω0。令,用歸納法定義階為非負(fù)整數(shù)n的字，規(guī)定N 中元素是階為0的字。設(shè)階為的字已定義，規(guī)定階為n的字是一切形如()的符號(hào)，其中是k元運(yùn)算符號(hào),,而αi是階為mi的字，且令F表示所有字組成的集合，并在F中規(guī)定nλ元運(yùn)算為于是就得到一個(gè)Ω代數(shù)，并稱(chēng)之為自由Ω代數(shù)，特記作F(Ω,M )。它具有自由群所具有的那種泛性質(zhì)(見(jiàn)無(wú)限群)。特別，任一Ω代數(shù)總可以看作某個(gè)自由Ω代數(shù)的同態(tài)像。
本原類(lèi)是泛代數(shù)中的一個(gè)重要概念，可以用自由代數(shù)來(lái)定義。取自由代數(shù)，其中可數(shù)集。取字對(duì) 所謂與F同型的代數(shù)滿足恒等式,是指對(duì)F 到的任意同態(tài)φ都有這等于說(shuō)用Ω代數(shù)A中任意元素αi去代替字w1、w2中的xi后所得到的A中元素彼此相等。取 它是F中字對(duì)的集合。滿足所有恒等式的Ω代數(shù)的全體，稱(chēng)為一個(gè)本原代數(shù)類(lèi)。例如，群的全體，結(jié)合環(huán)的全體，域K上李代數(shù)的全體，格的全體等都是本原代數(shù)類(lèi)。可以證明，每一本原類(lèi)都有“自己的自由代數(shù)”，它在這個(gè)本原類(lèi)中具有自由群在群類(lèi)中所具有的那種泛性質(zhì)。
泛代數(shù)的一個(gè)特有結(jié)果是重要的伯克霍夫定理：一個(gè)Ω代數(shù)類(lèi)W是一個(gè)本原類(lèi)，當(dāng)且僅當(dāng)W 中任意代數(shù)的子代數(shù)、同態(tài)像以及它們的直積也都在W 中。它是泛代數(shù)作為獨(dú)立分支發(fā)展的起點(diǎn)。在泛代數(shù)中還討論在給定的本原類(lèi)中判定兩個(gè)字是否相等的所謂字的問(wèn)題，本原類(lèi)中自由代數(shù)的基的問(wèn)題等。
泛代數(shù)一詞，通常包含Ω代數(shù)與結(jié)構(gòu)這兩方面的內(nèi)容，它們之間有其相通之處，然而，就其研究方法和所討論的問(wèn)題來(lái)說(shuō)，是有很大區(qū)別的。Ω代數(shù)是其上定義一些n元運(yùn)算的集合，用通常的代數(shù)方法去研究，就組成了上述的“狹義”泛代數(shù)的內(nèi)容。結(jié)構(gòu)是其上定義有一些n元關(guān)系（其特例是n元運(yùn)算）的集合，用數(shù)理邏輯方法（使用一階謂詞演算的語(yǔ)言）去研究，就組成了模型論的內(nèi)容。泛代數(shù)的方法在自動(dòng)機(jī)理論和程序語(yǔ)言的語(yǔ)義學(xué)中已有應(yīng)用。
參考書(shū)目
馬卡洛夫手槍Cohn,Universal Algebra, Harper and Row，紐約，1965.
G.Grtzer, Universal Algebra,2nd ed.,Springer-Verlag，New York，1979.
參考資料 >