有界格是具有最大元與最小元的格，通常以0，1分別記最小元與最大元。有限個(gè)元素a1，A2，…，an所構(gòu)成的格是有界格，其最小元是a1·a2·…·an，最大元是a1+a2+…+an 。
基本介紹
設(shè)S是格，如果存在元素a∈S，對(duì)于任意的，都有，則稱(chēng)a為格S的全下界；如果存在元素b∈S，對(duì)于任意的，都有，則稱(chēng)b為格S的全上界。
定理 設(shè)S是格，若格S存在全下界或全上界，則一定是唯一的。
證明先證明全下界若存在，則必定唯一。
假設(shè)格S有全下界a和b，a，，根據(jù)全下界的定義有。再根據(jù)偏序關(guān)系?的反對(duì)稱(chēng)性，必有a=b。即全下界唯一。
同理可證全上界若存在必唯一。
由于全上界和全下界的唯一性，一般將格S的全下界記為0，全上界記為1。
有界格 設(shè)S是格，若S存在全下界和全上界，則稱(chēng)該格為有界格，并將S記為。
【例1】設(shè)S是一個(gè)集合，則S的冪集格P(S)是有界格，其中空集?是全下界，集合S是全上界。
【例2】 (1)設(shè)A是有限集合，則的零元是?，單元是A。
(2)在正整數(shù)集合Z、關(guān)于整除關(guān)系構(gòu)成的格中，零元是1，無(wú)單元。
(3)在整數(shù)集合Z關(guān)于小于等于關(guān)系構(gòu)成的格中，無(wú)零元，無(wú)單元。
定理
定理1 任何有限格一定是有界格。
定理2 設(shè)S是一個(gè)有界格，則對(duì)任意的有
證明
因?yàn)閍∨1∈S，且1是全上界，所以，又因?yàn)椋虼恕?/p>
因?yàn)椋钥冢忠驗(yàn)椋虼恕ｎ?lèi)似可證其余二式成立。
參考資料 >