克萊因瓶（英語：Klein Bottle）是一種無定向性曲面的數(shù)學(xué)模型，在拓?fù)鋵W(xué)中，它是一個不可定向的拓?fù)淇臻g。
1882年，德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因提出了克萊因瓶的數(shù)學(xué)概念。克萊因瓶是一個在四維空間中才能真正表現(xiàn)出來的曲面。在三維空間中，克萊因瓶的結(jié)構(gòu)可以描述為瓶子底部有一個洞，瓶子的頸部被延長后使“瓶頸”穿過瓶子表面，扭曲地進(jìn)入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。這個物體沒有“邊”，它的表面不會終結(jié)。一只蒼蠅可以從瓶子的內(nèi)部直接飛到外部而不用穿過表面。克萊因瓶具有不可定向性，沒有“內(nèi)部”和“外部”之分，單側(cè)曲面等特性。它展示了一種特殊的拓?fù)湫再|(zhì)：表面的連續(xù)性。
克萊因瓶在數(shù)學(xué)、物理學(xué)，建筑學(xué)和哲學(xué)等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。
命名
菲利克斯·克萊因瓶最早是數(shù)學(xué)家菲立克斯·克萊因提出來的，但是克萊因的本意是“KleinscheFlche”，也就是克萊因平面，沒有內(nèi)部外部之分。“克萊因瓶”這個名字的翻譯其實是有些錯誤的，因為最初用德語命名時候名字中“Fl?che”是表面的意思。大概是誤寫為了“Flasche”，這個詞才是瓶子的意思。?
簡史
1858年，莫比烏斯（Mobius）和另一位數(shù)學(xué)家各自獨立發(fā)現(xiàn)了單側(cè)的曲面——莫比烏斯帶。但是，莫比烏斯帶具有一條非常明顯的邊界。
1882年，德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因在基于莫比烏斯環(huán)在三維下的延伸做出一種假設(shè)：一個瓶子底部有一個洞，現(xiàn)在延長瓶子的頸部，并且扭曲地進(jìn)入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。這個物體沒有“邊”，它的表面不會終結(jié)。和球面不同，一只蒼蠅可以從瓶子的內(nèi)部直接飛到外部而不用穿過表面。這個瓶子就叫做“克萊因瓶”。
定義
克萊因瓶，學(xué)名為“不可定向單側(cè)閉曲面”。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，克萊因瓶是一種無定向性的曲面，在拓?fù)鋵W(xué)中，克萊因瓶是一個不可定向的拓?fù)淇臻g。它展示了一種特殊的性質(zhì)：表面的連續(xù)性。在拓?fù)鋵W(xué)中，將克萊因瓶稱為一個“緊致的非定向曲面”。這意味著它可以被視為一個封閉的曲面，而且沒有方向的概念。
從拓?fù)鋵W(xué)角度上看，克萊因瓶可以定義為矩陣[0,1] × [0,1]，邊定義為 (0,y) ~ (1,y) 條件 0 ≤ y ≤ 1 和 (x,0) ~ (1-x,1) 條件 0 ≤ x ≤ 1。就像莫比烏斯帶一樣，克萊因瓶沒有定向性。但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以在3維的歐幾里德空間中嵌入，而克萊因瓶只能嵌入四維（或更高維）空間。
與克萊因瓶同胚的圖形可以描述為：
設(shè),，在中規(guī)定等價關(guān)系
則是將的兩條水平邊同向粘合，再將兩條豎直邊反向粘合而得到的圖形（圖1），是與克萊因瓶同胚的圖形。
結(jié)構(gòu)描述
三維
克萊因瓶的結(jié)構(gòu)看起來像一個張康。在三維空間中，克萊因瓶的結(jié)構(gòu)可表述為：一個瓶子底部有一個洞，延長瓶子的頸部，并且扭曲地進(jìn)入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。如果把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環(huán)（圖2）。
四維
克萊因瓶是一種通過將圓柱的兩端扭轉(zhuǎn)后進(jìn)行黏合而得到的不可定向曲面。這種表示形式由兩部分構(gòu)成，其中一部分是圍繞著一個 “8” 字形曲線的管子，另一部分是該曲線的一部分旋轉(zhuǎn)形成的曲面。在三維空間中存在一條自相交的曲線，不過其交點有著不同的第四坐標(biāo)，所以該曲面實際上是嵌入在四維空間中且不存在自相交情況的。
形成方法
環(huán)面變形
以輪胎為例，首先，剪斷一截輪胎，做成一個曲形圓筒（圖3左圖），使圓筒變成一面寬一面細(xì)（圖3右圖），然后將細(xì)的一端插入圓筒側(cè)面的孔中（圖4左圖），但不和管壁相交，再從寬的那端深處伸出，使邊緣處自然銜接（圖4右圖），這樣就能得出克萊因瓶了。
莫比烏斯環(huán)粘合
準(zhǔn)備兩個對稱的莫比烏斯環(huán)，將這個環(huán)的邊緣用膠帶粘在一起，這樣，彎折處就變成克萊因瓶的“入口”了。
特性
不可定向
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,克萊因瓶是一種無定向性的曲面。所謂可定向的曲面是指不能通過沿曲面滑動把左手變成右手或把順時針變?yōu)槟鏁r針的曲面。例如，球面(或平面)是可定向的，環(huán)面和雙環(huán)面也是如此。一個能夠做到上述改變的曲面，比方說克萊因瓶或莫比烏斯帶，被稱為是不可定向的。
無邊界性
克萊因瓶是一種自我封閉，而沒有明顯邊界的曲面。一個球有兩個面——外面和內(nèi)面，如果一只螞蟻在一個球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個洞，就無法爬到內(nèi)表面上去。輪胎面也是一樣，有內(nèi)外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以通過瓶頸而爬到''瓶內(nèi)”去。克萊因瓶并無內(nèi)外之分。
單側(cè)曲面
克萊因瓶還有一個重要特征，即它是“單側(cè)曲面”，克菜因瓶不存在內(nèi)外表面之分。螞蟻可以輕易從瓶壁的一側(cè)出發(fā)，沿著表面爬到出發(fā)點的背面。
高維性
克萊因瓶不能用R3的子流形來實現(xiàn)。它是一個在四維空間中才可能真正表現(xiàn)出來的曲面。仔細(xì)觀察克萊因瓶（圖5），那就是克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的。換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據(jù)了三維空間中的同一個位置，其實這正是在三維空間實現(xiàn)克萊因瓶的困難之處。事實上，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，并不穿過瓶壁。
如果說莫比烏斯環(huán)體現(xiàn)的是從二維向三維的跨越，那么克萊因瓶體現(xiàn)的就是從三維向四維的跨越。
相關(guān)概念
莫比烏斯帶
將一根平面的四邊形紙條扭轉(zhuǎn)一周，將紙條兩頭粘貼起來，這樣做成的無法區(qū)分內(nèi)側(cè)和外側(cè)的曲面便是莫比烏斯帶。莫比烏斯帶的特點是，無論從紙帶的任何一點出發(fā)，沿著紙帶的中心轉(zhuǎn)一圈，會來到出發(fā)點的反面位置，而轉(zhuǎn)兩圈則會回到初始位置。
同胚
如果存在一個1—1到上的映射，使得和都是連續(xù)的，則兩個拓?fù)淇臻g和稱為是（拓?fù)洌┩叩摹?/p>
同胚是拓?fù)鋵W(xué)中最重要的概念之一。拓?fù)淇臻g之間的同胚關(guān)系實質(zhì)上是等價關(guān)系。拓?fù)淇臻g按同胚關(guān)系分類，而屬于同一類等價類的拓?fù)淇臻g可看作是相同的。
應(yīng)用
克萊因瓶在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。例如，在拓?fù)鋵W(xué)中，克萊因瓶作為一種不可定向的曲面，為研究曲面的性質(zhì)提供了重要的工具。此外，克萊因瓶的概念也啟發(fā)了人們對空間維度的思考，為我們理解更高維度的空間結(jié)構(gòu)提供了啟示。由羅博·麥克布萊德設(shè)計的克萊因瓶度假屋則將拓?fù)鋵W(xué)的結(jié)構(gòu)模型成功地運用到了建筑中，使建筑如同折紙一般有規(guī)律的折疊彎曲，形成高低轉(zhuǎn)折的曲面。其幾何形體的內(nèi)外面相互連貫而成一體，產(chǎn)生復(fù)雜的拓?fù)鋷缀涡巍巳R因瓶的旋轉(zhuǎn)外觀，造成了極具數(shù)學(xué)概念的視覺效果。
提出者
菲利克斯·克萊因(1849—1925)，德國數(shù)學(xué)家。他于1849年4月25日出生于德國萊茵地區(qū)的一個普魯士王國家庭，他在杜塞爾多夫讀中學(xué)，畢業(yè)后進(jìn)入波恩大學(xué)。他本來并不喜歡數(shù)學(xué)，想成為一名物理學(xué)家，但由于1866年復(fù)活節(jié)時他當(dāng)了數(shù)學(xué)教授普律克的助手，因而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，開始研究數(shù)學(xué)。
克萊因在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得的成就主要體現(xiàn)在三個方面，即非歐幾里得幾何、群論和函數(shù)論。
1885年，梅蘭妮·克萊茵被倫敦皇家自然知識促進(jìn)學(xué)會選為國外會員，同時被授予科普勒獎。1908年，菲利克斯·克萊因被國際數(shù)學(xué)會選為在羅馬召開的數(shù)學(xué)家大會主席。
參考資料 >
克萊因瓶/Klein?Bottle.廈門大學(xué)圖書館.2024-03-03
什么是克萊因瓶？為什么將地球上的水倒進(jìn)去也裝不滿?.騰訊網(wǎng).2024-12-06
【數(shù)·科普】克萊因瓶.微信公眾平臺.2024-12-06
只有一個面的玻璃瓶，是怎么吹制出來的？.今日頭條.2024-12-05
菲立克斯·克萊因與克萊因瓶.中國科普博覽.2024-12-11
數(shù)學(xué)之美(十二)——克萊因瓶的奧秘.吉林財經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院.2024-12-06
The Klein Bottle in Four-Space.math.brown.edu.2024-12-11
Imaging maths - Inside the Klein bottle.plus.maths.org.2024-12-06