介值定理，又名中間值定理，是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)之一。在數(shù)學(xué)分析中，介值定理表明，如果定義域?yàn)閇a，b]的連續(xù)函數(shù)f，那么在區(qū)間內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)，它可以在f（a）和f（b）之間取任何值，也就是說，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以取到最大值和最小值之間的任意值。?
如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有相反符號(hào)的值，那么它在該區(qū)間內(nèi)有根存在（博爾扎諾定理）。
定理
設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間端點(diǎn)處取值不同時(shí)，即：f(a)=A,f(b)=B,且A≠B。那么，不論C是A與B之間的怎樣一個(gè)數(shù)，在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=C。
特別地，如果f(a)與f(b)異號(hào)，那么在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0(a<ξ>
幾何意義
在[a,b]上連續(xù)的曲線與。
特別地，如果A與B異號(hào)，則連續(xù)曲線與x軸至少相交一次。
“介值定理”是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)之一。
完整性
定理取決于，或者說等價(jià)于實(shí)數(shù)的完整性。介值定理不適用于有理數(shù)Q，因?yàn)橛欣頂?shù)之間存在無理數(shù)。例如，函數(shù)?滿足?。然而，不存在有理數(shù)x使得?，因?yàn)?是一個(gè)無理數(shù)。
證明
該定理可以根據(jù)實(shí)數(shù)的完整性來證明：
我們將證明第一種情況，?，第二種情況類似。
讓S是[a，b]中的所有x的集合，讓?。S是非空的因?yàn)閍是S的元素，并且b是S的邊界。因此，通過完整性，存在上限?。也就是說，c是大于或等于S的每個(gè)元素的最小數(shù)。我們稱?。
存在?。由于f是連續(xù)的，當(dāng)?時(shí)，存在?，使得?。這意味著
對(duì)于所有的?，存在屬于S的?，使得
選擇?，這顯然不會(huì)包含在S中，所以我們有
兩種不等式
對(duì)于所有的?都是成立的，如我們所說，我們推導(dǎo)出?是唯一可能的值。
介值定理也可以使用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法來證明，這在非常嚴(yán)格的基礎(chǔ)上提出了涉及無限小數(shù)的“直觀”論證。（見文章：非標(biāo)微積分）
歷史
對(duì)于上面的u=0，該聲明也稱為博爾扎諾定理。這個(gè)定理在1817年被伯納德·博爾扎諾（BernardBolzano）首次證明。奧古斯丁-路易·柯西在1821年提供了一個(gè)證據(jù)。兩者的靈感來自于對(duì)約瑟夫·路易斯拉格朗日函數(shù)的分析正式化的目標(biāo)。連續(xù)函數(shù)具有中間值的想法早有起源。西蒙·斯蒂文通過提供用于構(gòu)造解的十進(jìn)制擴(kuò)展的算法，證明了多項(xiàng)式的介值定理（以立方為例）。該算法迭代地將間隔細(xì)分為10個(gè)部分，在迭代的每個(gè)步驟產(chǎn)生一個(gè)附加的十進(jìn)制數(shù)字。在給出連續(xù)性的正式定義之前，將介值作為連續(xù)函數(shù)定義的一部分。支持者包括路易斯·阿博加斯特（LouisArbogast），沒有跳躍的函數(shù)滿足介值定理，并且具有尺寸對(duì)應(yīng)于變量大小的增量。早期的作者認(rèn)為結(jié)果是直觀的，不需要證明。博爾扎諾和奧古斯丁-路易·柯西的觀點(diǎn)是定義一個(gè)連貫性的概念（就柯西案中的無限小數(shù)而言，在博爾扎諾案中使用實(shí)際的不平等），并提供基于這種定義的證據(jù)。
反介值定理
“Darboux函數(shù)”是具有“介值屬性”的實(shí)值函數(shù)f，即滿足介值定理的結(jié)論：對(duì)于f的域中的任何兩個(gè)值a和b，以及任何y在f（a）和f（b）中，a和b之間有一些c，f（c）=y。介值定理說每個(gè)連續(xù)函數(shù)都是一個(gè)Darboux函數(shù)。但是，并不是每個(gè)Darboux功能都是連續(xù)的；即介值定理的相反是錯(cuò)的。
例如，對(duì)于x>0和f（0）=0，取?定義的函數(shù)?在x=0時(shí)連續(xù)，這個(gè)函數(shù)在x=0處不連續(xù)，但是該函數(shù)具有介值屬性。
歷史上，這個(gè)介值屬性被建議為實(shí)數(shù)函數(shù)連續(xù)性的定義，但這個(gè)定義沒有被采納。
Darboux定理指出，由某些區(qū)間上某些其他函數(shù)的區(qū)分產(chǎn)生的所有函數(shù)都具有介值屬性（盡管它們不需要連續(xù)）。
應(yīng)用
定理意味著，在世界各地的任何一個(gè)大環(huán)境中，對(duì)于溫度，壓力，高程，二氧化碳濃度來說，如果是連續(xù)變化的，那么總是會(huì)存在兩個(gè)與該變量相同值的對(duì)映點(diǎn)。
證明：將f作為圓上的任何連續(xù)函數(shù)。在圓的中心繪制一條線，在兩個(gè)相對(duì)的點(diǎn)A和B處與其相交。令d由差定義。如果線旋轉(zhuǎn)180度，將取代值-d。由于介值定理，必須有一些中間旋轉(zhuǎn)角，其中d=0，因此?在該角度。
對(duì)于任何封閉的凸n（n>1）尺寸形狀。具體來說，對(duì)于其領(lǐng)域是給定形狀的任何連續(xù)函數(shù)，以及形狀（不一定是其中心）內(nèi)的任何點(diǎn)，相對(duì)于函數(shù)值相同的給定點(diǎn)存在兩個(gè)對(duì)象點(diǎn)。證明與上述相同。
這個(gè)定理也是為什么旋轉(zhuǎn)搖擺表將使其變得穩(wěn)定的解釋（受到某些容易遇到的限制）。?
特殊情況
如果f(a)與f(b)異號(hào)，那么在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0(a<ξ 幾何意義 連續(xù)曲線弧y=f(x)與水平直線y=C至少相交于一點(diǎn)。特別地，如果A與B異號(hào)，則連續(xù)曲線與x軸至少相交一次。 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)的值域為閉區(qū)間[m,M]，其中m與M依次為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值。? 參考資料 >定理推廣