芝諾悖論（英語：Zeno's paradox）是由古希臘時期出生于意大利半島南部愛利亞城邦的著名哲學家、數學家芝諾（希臘文：Ζ?νων ο Ελε?τη?，英文：Zeno of Elea，約公元前490年-約公元前425年）所提出的、討論存在的性質以及運動可能性的幾個論證。因埃利亞的芝諾的原著佚失，有關芝諾悖論的記載現今主要見于亞里士多德的《物理篇》，學界對于芝諾悖論的探討也以亞里士多德的記述作為基礎，輔以辛普里丘對于亞里士多德《物理篇》的注釋（《〈物理學〉注釋》）。
芝諾悖論具體分為：1.“存在是多”的悖論，即說明存在的特性是“一”而不是“多”；2.“二分法（dichotomy）”的悖論，即人在運動時，永遠無法達到終點，試圖說明運動中時間與空間在量度上的有限與無限、連續性與間斷性的矛盾；3.“阿基里斯與龜”的悖論，即作為運動健將的阿基里斯永遠無法追上在他前面的烏龜，試圖說明通過理性把握作為世界本性的存在是不動的；4.“飛矢不動”與“運動場”的悖論，前者說明運動的飛矢在每一個時刻都是靜止的，從而運動不存在；后者說明兩列運動的物體與一列靜止的物體對照時，所運動的距離“一半等于一倍”，試圖說明運動是表面的假象以否定運動的真實性。除了上述四個悖論之外，埃利亞的芝諾還提出了否定“空間”存在的悖論以及“谷粒論證”，目的是強調感覺知識的不可靠。
芝諾悖論是一種以嚴格的邏輯論證方法提出關于一與多、動與靜、連續與間斷等存在問題的悖論，其最終目的在于否定現象的多、變化和可分的特性，以歸謬法來反證不動的、連續存在的“一”才是世界全體的合理本性。芝諾悖論對現象生滅變化的否定，實際上是以一種邏輯論證的主觀辯證法揭示的客觀世界和思想的矛盾。芝諾悖論在邏輯思想史上具有深遠的意義與價值，19世紀后數學與哲學領域重新解析其邏輯結構，如通過潛無窮與實無窮的區分回應悖論。格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾評價芝諾悖論：“它掌握了我們空間和時間觀念所包含的諸規定…芝諾是辯證法的創始者”。
提出者
愛利亞的芝諾
愛利亞的芝諾（希臘文：Ζ?νων ο Ελε?τη?，英文：Zeno of Elea，約公元前490年-約公元前425年）是古希臘數學家、利奧六世，出生于亞平寧半島南部的愛利亞，他是古希臘著名數學家巴門尼德（Parmenides）的得意門生和朋友，據說因反對主被殺害。
埃利亞的芝諾在西方哲學史上的地位并不在于有關形而上學和本體論的新見解，而是以具有辯證創造性的芝諾悖論著稱，這一系列哲學悖論是他為巴門尼德的存在論所作的辯護，其中關于“存在是多”的二律背反以及“運動的不可能性”等問題的討論體現了其獨特的邏輯思維和辯證思維。他自己明確指出，他的目的是“保衛巴門尼德的那些觀點，反對另一些非難他的人”(1)。芝諾的辯護從形式上看使用的都是歸謬法， 而從內容上看則主要集中在兩個方面：一是論證存在單一反對存在眾多，二是論證存在靜止反對存在運動。
芝諾悖論中涉及有限與無限、間接與連續、時間與空間的關系和極限等問題，引起了哲學、邏輯學和數學等領域的思考，直到今天仍然是人們研究的課題。他的論證方法亦對論辯術和邏輯學的發展起了積極的推動作用。正因為如此，亞里士多德稱贊他發現了辯證法，格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾也稱之為概念辯證法的創始人。根據第歐根尼·拉爾修的記載，古希臘人民為了緬懷埃利亞的芝諾創作了如下歌謠：“芝諾啊，你的愿望是高尚的，你想謀殺暴君（即僭主），拯救愛利亞人。可是你被搗碎了，因為暴君將你拋進了石臼。但是，我說，這又算得了什么呢？被搗碎的只是你的肉體，而不是你。”
原文
“存在是多”的二律背反
殘篇第一
輯自《〈物理學〉注釋》第140頁第34行以下。辛普里丘先用自己的話作了介紹，然后引證：
殘篇第二
輯自同書第139頁第5行以下，辛普里丘記述：
殘篇第三
輯自同書第140頁第27行以下，辛普里丘記述：
根據普羅克魯在《論巴門尼德》中記載，埃利亞的芝諾反對多的論證不下四十個，辛普里丘所引用的可能只是其中一部分。這三則殘篇其實是兩個論證，其一是殘篇第三，從數量的多少上進行論證，其二是殘篇第一和第二，從體積的大小上進行論證， 如果承認多，它們的體積可以大到無限大（殘篇第一），小到無限小（殘篇第二）。
運動悖論
芝諾反對運動的論證原著已經佚失，現有資料來自亞里士多德在《物理學》中的論述，主要是該書第六卷第九章。按照亞里士多德的說法，芝諾的論證只有四個： “芝諾關于運動的論證有四個，它使那些試圖解決這些問題的人感到為難。”
這四個論證就是：二分法、阿基里斯與龜、飛矢不動、運動場。這些名稱是由亞里士多德定義的。
二分法（Dichotomy）
按照亞里士多德在《物理學》(DK29A25)中對于芝諾悖論中“二分法”的記載：“第一個論證是說，運動不存在，因為一個運動的物體在達到目的地以前必須先達到全路程的一半。”在《論題篇》中，亞里士多德用有些不同的語言加以轉述。他說，推論所得的結論同常識是不同的，甚至是相反的，接著就舉了這個例子： “有許多論證是同流行的意見相反的，例如埃利亞的芝諾說，運動是不可能的，你不可能越過運動場。”
阿基里斯與龜
阿喀琉斯是攻打特洛伊的英雄，全希臘跑得最快的人。特洛伊的將領赫克托耳 （Hector） 殺死了阿基里斯的朋友帕特洛克勒（Patrocles），阿咯琉斯要為他報仇，和赫克托耳決戰；赫克托耳戰敗后繞城逃跑，被快腿阿基里斯追上刺死。芝諾認為作為希臘英雄的阿基里斯永遠追不上一直跑的最慢的烏龜，因為作為追趕者的阿基里斯必須首先跑到被追趕到烏龜的出發點，因此烏龜必然永遠領先。辛普里丘在注釋時作了說明：
飛矢不動
緊接著阿基里斯與龜的論證以后，亞里士多德說： “第三個論證是上而說過的：飛矢不動。它是從時間是由瞬間的總和這個假設中得出的。如果不承認這個假設，就不會得出這樣的結論。”(DK29A27)
在《物理學》第九章開始，亞里士多德說：“但是埃利亞的芝諾的論證是根據不足的。他說，如果某物處于和他自己的量度相等的空間里，它就是靜止的：而運動著的物體在每一瞬間中（都占據這樣一個空間），因此，飛矢不動。這個說法是錯的，因為時間不是由不可分割的‘瞬間”組成， 正如別的量度也都不是由不可分割的部分組成一樣。”
運動場（stadium）
按照亞里士多德在《物理學》(DK29A28)的記載：
主要內容
存在是多
在否定多這方面，埃利亞的芝諾提出了“大小的論證”“數的論證”“地點的論證”“谷粒的論證”等，這些論證無非是要說明，如果存在物是多，則必然導致自相矛盾。關于“大小的論證”大意如下： 假定存在物多，則存在物或者是由無限多的部分構成（命題A），或者是由有限多的部分構成（命題B）。
因此，存在物也不可能由有限多的部分構成（對B命題的否定）。
存在物既不能由無限多的部分、也不能由有限多的部分構成，因此，存在物不可能是多，而只能是一。
運動悖論
二分法
芝諾說人不可能越過跑道，因為要達到終點，首先要到達全程的一半， 即1/2，為此又必領先越過這一半中的一半，即1/4，依此類推， 要先越過1/8， 1/16，1/32……1/n，這是無窮的，因此人根本不可能越過跑道。
埃利亞的芝諾的追隨者以兩種不同的方式引申了芝諾的論證，一種說如果有運動，無法到達終點：另一種是說如果有運動，無法計數。從亞里士多德所作的反駁中能夠看出芝諾的論證：空間是無限可分的，任何有限的一段距離都可以無限地劃分，沒有不可再分的最終的量度，因此，物體不可能在有限的時間里越過無限系列的點而達到終點。所以芝諾是以空間的無限可分為前提的，因而他認為總是不可能越過某一個量度，即使它再小，也可以進行無限地劃分。
阿基里斯與龜
“阿基里斯與龜”的論證，如圖一所示：
設阿基里斯從A起跑，同時龜從B爬行；當阿基里斯達到B點時，龜又向前爬了一段，達到t(1)；阿基里斯又得從B 開始追趕，龜又向前爬到t(2)；阿基里斯又要從t(1)，開始追趕；如此，龜即使再慢，也總是比阿基里斯先向前爬了一段；二者只能無限地越來越接近，卻總是趕不上。
飛矢不動
飛矢不動悖論主要指在運動中的飛矢在每一個具體時刻（時間的點上）都是不動的，從而得出飛矢不運動、運動不存在的結論。埃利亞的芝諾所說的飛矢不動的理論基礎是將時間和空間看作是非連續性的，是由不能再分割的最小的單位組成，飛矢不過是在某一瞬間處在和它自身長度相等的空間上，所以它是不動的，“在運動中”是不存在的。
芝諾提出飛矢不動的論證，目的還是為了要證明運動是不可能的。在這幾個論證中，芝諾所說的運動都是指位移，位移離不開空間。芝諾這里的論證是：如果說它在某一點，那就是說它是停止在那里，不是運動；如果說它不在某一點，那又是不可設想的，人們無法設想一個位移的物體沒有一個場所卻能運動。
運動場
從這張圖可以看出：在運動開始以前，這三列物體的位置如圖三：
到運動結束時，三列物體形成下列關系（圖四）：
這樣，按相反方向、相同速度運動的，同樣大小、同樣數目的物體，在同樣的時間里達到了上圖所示的下列結果：
上面是從C系列對 A、B系列說的，再從B系列對A、C系列來看，也可以得出同樣的結論。B(1)從A(2)到A(4)時，它越過了A 系列的兩個單位，可是在相同的時間內卻越過了C 系列的四個單位，這也是一半等于一倍。
其他悖論
谷粒論證
谷物論證的出發點是：事物落下或者有聲音，或者沒有聲音。如果一顆谷粒落地有聲音，那就可以追問：“半顆谷粒有沒有聲音？一半的一半谷粒有沒有聲音？”以至無窮。如果說一顆谷粒落地沒有聲音，那么一粒一粒谷子的總和即一袋谷子落地也沒有聲音，因為零加零，再加無數個零，最終還是等于零。因此人們聽到的聲音是不真實的，這就同時證明了巴門尼德的看法即感覺是不可靠的。
空間論證
埃利亞的芝諾還有一個否定“空間”存在的悖論。愛利亞學派主張存在是連續、充實的整體即“一”，其中是沒有虛空的，就是說，沒有“存在”占據的、絕對虛空的“空間”是沒有的。芝諾則用反證法否定這種空間的存在，如果空間自身也是一種存在的東西，那么它存在于何處。芝諾認為如果一切存在的東西都存在于空間里，而空間自身又是一種存在的東西，那么就會有空間的空間，以至無窮。芝諾的詰難目的是為了論證“存在”自身就有連續、充實的空間，絕對虛空的“非存在”是不成立的。他最早從邏輯論證上否定空無的“絕對空間”，是有意義的。
這個論證就論證方法說， 是同埃利亞的芝諾關于反對多和運動的論證一樣的；但就內容方而說，芝諾的論點是針對當時有關空間的兩種觀點的，一種是認為空間也是一種存在物，是一種實在的物體；另一種是認為空間只是虛空。芝諾的論證同時反對這兩種觀點：空間若是存在物，便發生空間在空間之中，可以推至無窮的問題；空間若不是存在物，便等于無。
相關著作
相關著作
關于芝諾的著作，柏拉圖在《巴曼尼得斯篇》中說是芝諾年輕時寫的，之后被人竊去，芝諾和巴門尼德一起來雅典時親自宣讀過。季蒂昂的芝諾寫過多少著作的說法不一。古代辭書《蘇達》說芝諾著作有四種：《辯駁》、《反背學家》《論自然》以及一部考察恩培多克勒的著作。
據普洛克羅的說法，芝諾著作的名稱叫作Epicheiremata（《反詰或辯駁》），詞源意思是：從對方所主張的前提出發， 可以推論出兩個自相矛盾的結論，以證明它的前提是虛假的。后人稱之為歸謬法（反證法）。除了辯證法以外，芝諾的論證還有塞克斯都·恩披里柯以及近代的伊曼努爾·康德的“二律背反”的含義。(12)有關芝諾的資料主要輯自柏拉圖、亞里士多德和辛普里丘。季蒂昂的芝諾的著作現在只留下四則殘篇。
第爾斯和克蘭茨在B類中輯錄了芝諾的四則殘篇，在A類中收錄了三十則后人的轉述和介紹。狄士蒙·李所著《愛利亞的芝諾》（Zeno of Elea， 劍橋大學出版社，1936年）收集、整理、注釋了有關芝諾的資料，是研究芝諾的較好材料。此外， 有些學者從現代科學出發，對芝諾的悖論作了探討，如弗拉斯托斯為《哲學百科全書》撰寫的“芝諾”的長篇條目，以及匹茲堡大學的阿道夫·格倫鮑姆 （Adolf Grunbaum）教授撲寫的《現代科學和芝諾的悖論》，是從現代邏輯學和科學研究芝諾悖論的重要著作。
后世解讀
關于殘篇一、二的解釋
殘篇第一和第二是同一個論證，即從大小方面來論證：如果事物是一，它們既是無限小，又是無限大。原文是四段話，分別在辛普里丘的《〈物理學〉注釋》中四處引證。基爾克、拉文將殘篇第一末尾的結論——“如果事物是多，它們必定既是小又是大；小會小到沒有大小，大會大到無限。”——移在開頭的地方；并將殘篇第一和第二換了位置，將殘篇第二放在殘篇第一的前面，但將殘篇第一的第一向話——“如果存在沒有大小，它也就不能是存在了。”——保留在前面。通過這樣的改動，整個論證顯得更加清晰了。這個論證的前一半即殘篇第二（無限小，小到等于零〉比較好理解；而這個論證的后一半即殘篇第一（無限大，大到無限）卻很難理解。這一個論證，尤其是后一半， 在埃利亞的芝諾的本體論和形而上學中具有重要地位，以下是一些近現代西方學者的解釋。
弗里曼的解釋
弗里曼的理解是：如果事物是多，它一定有許多單位，這些單位或者是沒有大小和厚度的，或者是有大小和厚度的。如果它們沒有大小或厚度，則將它們加于某物時，某物不會增大；從某物減去時，某物也不會變小。這樣，它們一定很小很小，以至等于零（無，nothing）。如果它們是由有大小和厚度的單位組成，則每一單位都有大小和厚度，每一單位的部分也都有一定的大小和厚度，而且彼此有一定的距離；同樣，對其中的任一部分都可以這樣說，以至無窮。他認為：“決不可能分到不能再分的地步，也就是說，決不可能小到無法再小，以致沒有此一部分和彼一部分；……這樣我們就得到無數的都擁有一定大小的數，它們加在一起就構成無限的大小和厚度，因此，存在是無限大。”
策勒的解釋
策勒縣的解釋是：如果存在是多，它們一定既是無限小又是無限大。說它們無限小，因為“多”是單位的集合，而單位是不可分的；既然是不可分的，就是沒有量度（大小）的； 因為它沒有量度，無論加之于某物，或從某物中減去，都不會影響某物的大小。所以，它們是無限小，小到等于零。同時，“多”又是無限大，因為所謂“多”就是有度量，有度量就是可分的，可以無限分割以至于無窮。因此，如果有多，它們就是由無限數的量，或無限量的數組成的。
弗陵克爾的解釋
收在艾倫、弗萊編《蘇格拉底以前哲學的研究》二卷中的弗陵克爾 （H.Frankel） 的文章《愛利亞的芝諾對多的辯駁》，詳細研究了殘篇第一和第二。他認為這兩則殘篇由下列四個部分組成：“（1）構成一個整體的各個單位是沒有量度的；（2）因此，它們是不存在的；（3）既然假設事物是存在的，那么它們就是有量度的，這就導致其量度是無限的結論；（4）因此，如果我們接受“多”這一命題，結論就是，它們的單位既是無限小，小到沒有：又是無限大，大到無限。”
關于（1），弗陵克爾在注第四十一中作了解釋：“世界的基本成份必定是不可分的量子（quanta），同時又是可分的多。這個二律背反不僅對（1）是有意義的，而且在埃利亞的芝諾的其它論證中都起作用。”他指出，在芝諾的殘篇第三以及關于運動的西個論證中都包含有這個二律背反。他還引證亞里士多等人的幾則資料（證明，芝諾認為多是單位的集合，而單位是不可分的。
關于（2），對于單位不可分就說它們是不存在這一點，弗陵克爾認為這不是巴門尼德意義上的“不存在”，而是從量度意義上講的，因為加之不增大、減之不減小是從量度意義上講的。所以辛普里丘在引這段話時加了一句解釋：“沒有量度、沒有大小和體積的東西是不存在的。”弗陵克爾認為這里的大小和量度指的是長、寬、高等三度，有沒有量度的標準是有沒有長、寬、高這三度； 也就是說，有厚度、有體積的東西才叫有量度。這樣的東西加之于某物就會變大，減之就會變小。但是，幾何上的點、線、面是沒有大小、厚度和體積的，所以將它們加上或減去，原來的大小不變。換言之，沒有厚度或體積的點、線、面，不管它們有多少， 加起來還是沒有厚度和體積，既不能使對象增大，世不能使之減少。這樣的東西被說成是“不存在”的。
關于（3），弗陵克爾認為，埃利亞的芝諾的意思是說，如果某物是有量度的，就是可分的，作為部分，它就有大小和厚度。其中每一部分都有一定的大小和厚度，還有一定的距離。芝諾說在它前面總有一個部分，以至沒有最后的、最外面的部分，是因為任何一個事物的部分，都有前部和后部。這一部分的前部，正是另一部分的后部；而這另一部分既然是一個體，它有后部，也就有前部。只要它是一個單位的部分，是一個“體”，就總有一個前部；而這前部也還是一個“體”，它不是點、線、面。因為在（2）中已說過，點、線、面是沒有厚度和體積的。不可能有這么一個“體”，它的后部是有體積的，而前部卻沒有體積。哪怕它再小，也總是有體積的。這樣，總有一個前面的部分，這個前面的部分還有它的前面的部分，如此以至無窮。
因此，既沒有中心，也設有最外面的邊沿。弗陵克爾說：“論證本身很清楚，它同（2）的關系也一目了然。從（2）可以得出， 沒有厚度的面是不存在的。因此，根據所有的面都有厚度這一前提，我們決不會得到一個最后的面，以限制物體的廣延。這樣，在衡量物體的厚度時，人們的經驗就感到為難了；總還有某些東西加上去，物體似乎總達不到邊。” 弗陵克爾的意思可以用具體實例來說明，比如一所房屋，它是可分的，總有前部和后部， 都有一定的體積。如果它的前部是前面的一個單元，它又有體積， 又有前部和后部，所以說在前部中還有個在前的部分，如這個單元的前面的一個房問。房間也是有體積的，又有它前面的部分， 比如說是前面的一堵墻。墻還是有厚度的面，仍舊是有體積的。對這堵墻說，它還有磚、灰砂、涂料等好幾層，各有一定的體積。
這樣，前部中還有前部，以至無窮。它代1的體熱永遠加不完，總有一部分未胡上去，總找不到一個最后的邊沿，總有一定的量度在設定的界限以外。所以說，奶若是多，其量度大到無限大。
弄清了（1）（2）（3）以后，就能得出（4）的結論。格思里贊同弗陵克爾的解釋。但是弗拉斯托斯在《關于弗拉維·芝諾的殘篇第一的注釋》一文中批評了弗陵克爾的看法。他認為埃利亞的芝諾所說的的“無限”（apeira）不是弗陵克爾所說的那種“沒有邊際”，而是“不能窮盡”的意思；apechein（apecho 的分詞）也不是“有一定距離”，而是像亞里士多德在《動物的結構》中的用法，是指在身體的不同位置的各部分，芝諾這里是指 “各個互不重疊的部分。”
弗拉斯托斯的解釋
弗拉斯托斯認為，季蒂昂的芝諾的殘篇第一的意思是： （1）任何一個存在都有高度或厚度，因而有相互關聯的， 但又不互相重疊的部分； （2）其中的每一部分都有一定的厚度，這樣，若某物S有a和b兩部分，那么b又有和d 兩都分； （3）同理，每一部分的部分選可以包含有都分，d有e和f，f又有g和h，依此類推，事物可以無限分割，沒有一個最后的部分。如圖三：
它可以無限分割，永遠達不到最后的一個部分。
弗拉斯托斯在六十年代為《哲學百科全書》中的“埃利亞的芝諾”的長篇條目中進一步闡明了他的觀點。他將殘篇第一中的這一部分釋為：“如果多是存在的，那么每一個存在都有一定的大小和厚度，每一存在的部分必定處在另一部分以外（lie Beyond），對于所設定的任一部分中的部分，也是同樣道理，因為它也包含一定大小的部分，其中又有自己的部分；這樣可以一直分下去，沒有一個部分是最后的部分，也沒有一個部分局另一部分無關聯。”弗拉斯托斯接著解釋說：假設任何一個存在物A，它包含兩個互不重合的部分B和C，由于“在埃利亞的芝諾的時代，沒有更清楚的術語，所以他將C說成是位于B以外，或伸展在B以外，或處于B以前或以上等等；對B和C的關系世是這樣。B、C之中各有部分，其部分也是同樣道理，以至無窮。”弗拉斯托斯指出的這點很重要。對于一個具體事物A和另一個具體事物的關系， 容易說出來的是A在B之中、之外、之上、之前等等，但對一個抽象的東西和另一個抽象的東西之間的關系，如這里講的這一部分和那一部分的關系，以及一個抽象的東西和一個具體事物的關系，如后來柏拉圖的理念和具體事物的關系，就不那么容易說清楚。正如弗拉斯托斯所說，當時還沒有一個清楚的專門術語來表達，說不清楚究竟是在上面還是在外面。這就是后來柏拉圖和亞里士多德一直爭論不清的所謂“分離問題”的起源。
關于殘篇三的解釋
策勒、羅斯和弗里曼的解釋
策勒、羅斯和戴夫·弗里曼的解釋基本一致，大意是說：如果存在的事物是多，那么它們在數量上一定是有限定的peperasmena（pera 的過去完成式分詞，等于“已有限定的”，limited），又是無限定的apeira（unlimited）。說它們是有限定的，因為它們了的數目不多不少正好是它們實際存在的那么多；說它們是無限定的，如圖五所示：
在A和B之間必然有一個C將它們分開，否則AB就只是一個東西了；同理，AC之間一定有個D，CB之間必然有一個E將它們分開，同樣的，在AD和DC之間必然有F和G將它們分開， 在CE和EB之間也必然有H和I將它們分開。依此類推，以至無窮。所以，如果承認事物是多，它們的數量是無限多。
狄士蒙·李的解釋
狄士蒙·李認為，“除非將殘篇中講的‘事物”解釋成是線上的點，否則就是沒有意義的；這個論證不過是說，在任何兩點a和a1，之間，都可以有a2，a3等等，依此類推。”他實際上是將上圖中的事物改變為在一條線上的點，如圖六：
弗拉斯托斯的解釋
弗拉斯托斯在六十年代出版的《美國哲學百科全書》中撰寫了關于“埃利亞的芝諾”的長篇條目。他將這個論證的后半部譯為：“如果有多， 那么存在必然是無限地多，因為在存在之間又有其它的存在；這樣，存在是無限地多。”對此，他作了解釋。他認為從前提“在任何兩個存在之間必然至少有一個存在”，“由此得出結論：任何三個存在，在它們之問必然至少有兩個存在；因此，一般說， 如果有n個存在，在它們之間必然至少有n-1個存在。”依此類推，所以，如果有多，其數量會多到無法計數。可以公式表示如下：
關于運動悖論的解釋
對“二分法”和“阿基里斯與龜”的解釋
策勒和伯奈特的解釋
策勒和伯奈特認為埃利亞的芝諾在這個悖論中還是運用了反證法：如果運動是真的，就會得出快腿阿基里斯趕不上龜的荒謬結論。
關于這兩個論證的同異。策勒認為：“區別只在于，前者是在一個固定界限的空間以內，后者是在一個變動著的界限中論證的。”而伯奈特認為，“第二個論證同第一個論證一樣；線是一系列的點；但（第二個）論證比較復雜，導入了另一個運動對象，因此不是一次一半的二分法，而是二者比例的縮小。再者，第一個論證說的是，按照這個假設，沒有一個運動的物體能越過任一距離，不管它是多快；第二個論證卻強調，不管是多慢，都橫置著一個無限的距離。”
羅賓遜的解釋
羅賓遜則認為，這里實際上是一個充分條件的假言推理：如果P，則Q；非Q，所以非P。前件P是命題“如果運動存在”，后件Q是命題“阿喀琉斯永遠趕不上烏龜”。這個推論的假言前提就是：“如果運動是存在的，那么最快的不能趕上最慢的”，因為后件是假的，所以前件“運動是存在的”也是假的。
基爾克和拉文的解釋
基爾克、拉文認為，這兩個論證是一組，都以時空可以無限分割為前提；第一個論證說明，運動對單個物體是絕對不可能的——絕對地不可能；而第二個論證是要證明，它對多于一的物體是不可能的——相對地不可能。
關于“飛矢不動”的解讀
第爾斯和克蘭茨的解讀
在安德羅尼柯整理編輯的《物理學》中，在“它就是靜止的”后面，還有“或者在運動中”（or in moved），第爾斯保持了“或者在運動中”，接著用括號補了一句“而運動是不存在的”。這樣，第爾斯、克蘭茨的譯文就成為： “芝諾的論證是錯誤的，因為他說，某物占據同它自身量度相等的某一空間時，它或者是靜止的，或者是在運動中， （而運動是不存在的）。運動著的物體總是在某一時間中占據著同樣量度的一個位置，因此飛矢不動…… ”
策勒的解讀
策勒認為，“或者在運動中”，原文可能是沒有的，因為在亞里士多德看來，“弗拉維·芝諾的論證是建立在一個虛假的理論——時間是一個個瞬間的總和——的基礎上的”，而且塞米斯提烏和辛普里丘的解釋也和此一致。策勒沒有譯文，只作如下解釋，“飛矢在每一瞬間都在一定的空間里，因此在它飛行的每一瞬間里它都是靜止的，只是看起來在整個行程中它是運動的。”羅斯同意策勒的解釋，認為“或者在運動中”是原來設有的，第爾斯的輯補“而運動是不存在的”也無必要；但他又接受了第爾斯輯補的另一句“占據這樣一個空間”。
埃伏爾?托馬斯的解讀
埃伏爾·托馬斯編的《希臘數學史資料選輯》按原文輯錄并附有英文翻譯和注解。他刪去了第爾斯的輯補，但也不同意策勒和羅斯的理解。他將這一段譯為： “埃利亞的芝諾的論證是荒唐的，因為他說，任一物體當它占據與自身相等的某一空間時，它要么是靜止的，要么是在運動中； 但是運動著的物體總是處在某一瞬間中，因此飛矢是不動的。然而這是虛假的，因為時間并不是由不可分割的瞬間組成， 其它任何量度也一樣。”
托馬斯·阿奎納在注中表示局意希思在《希臘數學史》中的解釋。希思解釋的大意是：物體總是于某一時間（瞬間）處于一定空間中。如果承認時間是連續的，那就不能說飛矢于此一瞬間在這一點，彼一瞬間在那一點，因為這樣就等于說時間是非連續的；只有說時間是非連續的，是由不可再分的瞬間組成的，那么飛矢就是此一瞬間在這一點，彼一瞬間在那一點，就是說它在每一瞬問都是靜止的，才能得出飛矢不動的結論。
關于“運動場”的解讀
希思的解讀
亞里士多德在轉述埃利亞的芝諾的第四個論證時，用了一個詞onkoi。這個詞一般是指物體、固體。隨著數學和幾何學的發展，人們認識到物體、固體都有長、寬、高三度向。在畢達哥拉斯學派中，onkoi指一個完整的、有長、寬、高三度向的量度，即幾何學上的立體。但是，伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素、希思、巴恩斯、基爾克和拉交等認為西里士多德誤解了芝諾，說他并沒有正確理解和轉述芝諾的原意。他們認為，亞里士多德的轉述和亞歷山大的圖解，都將onkoi看作是有一定間隔的三排物體，如圖七：
而他們認為，埃利亞的芝諾所講的onkoi是指排列在一起的，中間沒有間隔的量度單位。所以希思作圖如下（圖八）：
他認為，onkoi既是一個一個不可分割的單位，又是在彼此中間沒有間隔的；就象飛矢不動中講的時間上的“瞬間”以及與飛矢的長度相等的空間量度一樣，它們既是一個一個的，又是中間沒有間隔的。羅斯在《物理學》注釋中，表示同意希思的看法，認為“如果季蒂昂的芝諾承認單位之問有間隔，他就無法計算越過各個單位所需的時間了。”
悖論解法
亞里士多德
反駁“存在是多”的二律背反
亞里士多德在《形而上學》第三卷提出哲學應該討論的十幾個問題中，在論述最普遍的“存在”和“一”是不是本體時，曾就“一”或單位是否可分的問題，指出這種抽象和具體的關系，批評過埃利亞的芝諾的學說： “再說，如果‘一’（單位）自身是不可分的，根據芝諾的假設，它就是無。因為，加之不會使一物增大，減之不會使一物減小，他斷定它就是不存在的。顯然，他（芝諾）認為凡是存在的都是有量度（大小）的。如果它有量度，它就是具體的（有形物），而具體的事物是有長、寬、高三度向的，別的數學對象，例如面或線，只有在某一度向增加時才會加大，另一度向就不會如此，而點或單位則是在任何度向都不會加大的。他（芝諾）的理論是低級的，因為不可分的東西能夠以和他的說法相違背的方式而存在。不可分的東西可以在數目上，而不是在大小上使它增大。”
亞里士多德在這里區別了抽象的數學對象和具體的有形物。數學上的點是沒有大小和體積的，是不可分的；但是數學上的點同具體事物的單位不是一回事。而且，亞里士多德指出，即使按埃利亞的芝諾的說法，也是有問題的：將一個數學上的點加到另一個點上，雖然體積上不會使它增大，但在數目上卻使它增多，成為兩個點， 而不再是一個點了。亞里士多德指出芝諾混淆了一般和個別，所以說他的學說是“低級”的。
反駁“二分法”與“阿基里斯與龜”悖論
在芝諾關于“二分法”的悖論方面，亞里士多德在《物理學》第六卷第二章中說：像時間、空間、量度之稱為 “無限”，有兩種含義，一是指它可以無限地延伸，另一是指它可以被無限地分割：芝諾是混同了這兩個“無限”的概念。有限的時間誠然不能越過可以無限延伸的距離而達到終點，但是有限的時間卻可以越過一定量度（它是可以被無限分割的）中無限數的點而達到終點，因為這有限的時間也是同樣可以被無限分割的。二者成正比，以一半的時間可以越過一半量度的空間，再用一半的一半的時間可以越過一半的一半的空間； 這段距離可以無限地分割，相應地這段時間也可以無限地分割， 因此，經過一定的時間可以越過一定的距離。
亞里士多德說認為，在區分開兩種意義的“無限”的 前提下， 承認在有限的時間內越過有限距離的無限的點是可能的。因為時間和距離本身是有限的，卻都可以無限分割，分為無限數的“瞬間”和無限數的點。將兩種意義的無限區分，有效指出了芝諾悖論中存在的問題。但是亞里士多德并沒有回答芝諾的問題，并沒有直接說明運動是可能的。亞里士多德也意識到這一點，所以在《物理學》第八卷第八章中亞里士多德提出時間、空間和運動的無限分割僅僅是一種可能性，是潛能而不是現實；如果是現實，就等于分割完畢，也就是有限而不是無線。既然只是潛能，就可以被越過，運動也就是可能的。
關于埃利亞的芝諾的第一和第二這兩個論證的同異點，亞里士多德作了如下的評述： “這個論證和第一個即二分法的論證是一樣的，分別只在于劃分空間量度時，這里用的不是二分法。這個論證得出的結論是：最慢的不可能被趕上；而這是根據和二分法同樣的辦法得到的（在這兩個論證中，空間量度的劃分都以某種方式導致這樣的結論：目標是達不到的；雖然阿基里斯的論證進一步斷定，最快的也趕不上最慢的），因此，解決的方法也一樣。認為在運動中領先的不能被趕上，這個論斷是假的， 因為當它領先時是不能被趕上的，但如果允許它可以越過規定的有限的距離，那么它也是可以被趕上的。”亞里士多德的意思是，這兩個論證用的都是量度可以無限分割的方法；結論也是一樣的：如若有運動，是不能達到目標的。但二者有不同，區別在于前一個論證用的是二分法；后一個論證是按一定比例無限地縮小，永遠不能相等。亞里士多德認為，在第二個論證中，埃利亞的芝諾其實是先給定了一個前提，不允許最快的越過規定的有限的距離；如果允許它在一定的時間內可以越過一定的距離（理由如上述），最快的是能夠趕上最慢的。
反駁“運動場”
亞里士多德認為，芝諾這個論證的錯誤在于：用作比較的兩列物體，一列是靜止的，另一列卻是按相反方向作同速運動的， 所以時間就不一樣了。舉例說明，猶如現在馬車駛過車站，它對車站而言，從車站這一頭到另一頭，所需時間如果是t；它對另一列迎面駛來的馬車而言，越過同樣長度的距離所需的時間就完全不一樣了。用近代物理學的語言說，兩個參考系是不同的。
反駁“谷粒論證”
亞里士多德在《物理學》第七卷第五章討論到運動中力量的大小、時間的長短和距離的遠近等的比例關系時指出：整個的力量A可以使某個物體在某個時間中通過距離S，但不能說A的一半力量必然使物體通過S的一半距離。正象纖夫拉船，雖然幾個纖夫的合力拖動船的距離可以被分解為和人數相等的部分，比如十個纖夫將船拉動十里，平均一個纖夫拉船走了一里，但不能說實際上一個纖夫能拉著船走一里地，這樣就成為一個纖夫就能夠拖動船了。亞里士多德接著指出： “因此芝諾所說的一顆谷粒落地也能發出聲響的論證是錯誤的，因為完全有理由說，不論時間多長，一顆谷粒落地時是不可能象一袋谷子落地時那樣推動那么多的空氣的。”
黑格爾
從西方哲學史的發展看，是格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾首先用辯證法明確地回答了關于運動的本質的問題。他指出：所謂運動就是“在這個地點而同時又不在這個地點”。所以如此，根據就在于時間和空間是連續的，又是非連續性的（點積性的）；因此，運動的本質要用連續性和非連續性這兩個概念來把握。但是，“在時空里，連續性以及點積性均不能單純地認為本質”，只有二者的統一才能表達運動的本質。正是在埃利亞的芝諾的論證中，第一次提出了運動既有連續性又有非連續性的問題，所以黑格爾對芝諾的辯證法給予很高的評價。
但是他也指出：芝諾的錯誤在于 “在他一貫的推理中把這兩點（連續性和非連續性）弄得嚴格地相互反對了”，所以，盡管芝諾揭露了運動的本質的矛盾，但是他不像赫拉克利特，沒有能將對立的雙方統一起來，最終還是陷入格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾所說的愛利亞學派固有的“形而上學的抽象論證”。按照黑格爾，他們不能從辯證法看問題， 只能“沉沒在理智（知性思維）同一性的深淵里”。
所以黑格爾在討論了埃利亞的芝諾關于運動的論證以后說： “這就是芝諾的辯證法。他曾經掌握了我們的空間和時間觀念所包含的諸規定；他曾經把它們（那時空的諸規定）提到意識前面，并且在意識里揭露出它們的矛盾。伊曼努爾·康德的‘理性矛盾’（即二律背反）比起芝諾這里所業已完成的并沒有超出多遠。”事實上，康德提出的四對矛盾中有三對芝諾都論及了。
但是，芝諾也同康德一樣，雖然在客觀上已經揭示了運動、時間、空間、多的內在矛盾；而在主觀上，他們都在矛盾面前退卻，從而得出否定性的結論，否定了多和運動的真實性。按照第歐根尼·拉爾修和厄庇芬尼俄的資料。芝諾否定飛矢運動的依據是：“運動的物體既不在它所在的地方運動， 又不在它所不在的地方運動。”或者說：“運動的物體或者在它所處的地方運動，或者不在它所處的地方運動；但是，它不可能在它所處的地方運動，也不可能在它所不在的地方運動，因此，運動是沒有的。”但這個被芝諾認為是否定運動的理由，格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾指出，這反而是使運動成為可能的條件，他說：“運動的意思是說：在這個地點而同時又不在這個地點： 這就是空間和時間的連續性，——并且這才是使得運動可能的條件。”
現代數學視角下的芝諾悖論
現代數學認為，埃利亞的芝諾的四個悖論的討論，都是把時間看成是由點組成的，是一種有序的點結構。但是，從邏輯上說，也可以認為時間是由持續的時段構成的，或者看作是由事件構成的。對于芝諾悖論，可以按照不同的時間結構作不同的分析。從時間的事件結構觀點，范貝森對“飛矢不動”，曾作這樣簡單的評論：這里只是一種由忽視本來的分析順序而產生的論點的混亂。矢飛這樣的事件構成我們關于世界的初始材料。然后，這些事件可以彼此比較， 產生時間的點作為相應于“同時出現”的事件集合的虛構的極限。于是，在飛行過程每一點“參與”某些事件，但是，“在”點上發生什么（在微觀意義上）完全是另一回事情。當本來的分析順序恢復了時，問題就消失了。整個運動不是由微觀事件組成的，相反， 后者是從開始預先假定的不成問題的宏觀事件產生的虛構。這樣， 分離經驗的世界和理想的世界的對立就失去了悖論的戲劇性。
影響
主觀辯證法的雛形
芝諾悖論首創了一種主觀辯證法，它客觀上揭示了在時空中運動的事物所固有的內在矛盾。
在埃利亞的芝諾看來，只有理論思維才能揭露對象本質中的矛盾。他創始的是邏輯論證的主觀辯證法，在悖論這種思想矛盾中折射出客觀事物的普遍性矛盾，包括：“一”與“多”，運動是在同一瞬間物體既在這個地點而同時又不在這個地點，事物量度的有限性與可分割的無限性，時間與空間以及相關的運動歷程的連續性與間斷性，等等。這種主觀辯證法有助于哲學思維深入把握事物的普遍本質與內在矛盾。后來的蘇格拉底的對話辯證法、麥加拉學派的悖論、后期柏拉圖研究的對立范疇、晚期希臘羅馬懷疑論學派的一些有二律背反意義的“式”，都是各以其不同的方式、自身目的與結論，吸收、發展了這種主觀辯證法，麥加拉學派的悖論和芝諾悖論一脈相承、最為相似。
邏輯思想的開端
芝諾悖論在邏輯思想史上有重要的意義與價值，形式邏輯這門學科到亞里士多德之所以能夠被建立，離不開以芝諾悖論為代表的一系列希臘哲學、科學與論辯術（修辭學）中邏輯思想的不斷積累，才得以形成一門思維科學的。
芝諾悖論標志著希臘邏輯思想日益趨向成熟，也促進了后人邏輯思想的發展（如智者的論辯術和蘇格拉底的對話辯證法中的邏輯分析思想），為形成這門思維科學提供了重要的思想積累。后來的希臘羅馬哲學家與邏輯學家中，不少人致力于從邏輯上剖析芝諾悖論的難題，也有助于邏輯思想的發展。
芝諾悖論對希臘以至近代數學思想的發展也有開創性的啟迪意義。希臘數學思想的發展，除了從泰勒斯、畢達哥拉斯學派的幾何學思想一直到歐幾里得的《幾何原本》這條線索外，另一條線索是關于無限小、極限的探討。季蒂昂的芝諾悖論的難題最早在這方面向希臘數學家提出了挑戰，啟發他們去研究有關無限小、極限以及求和過程等各種數學概念，并努力創新這方面的數學方法。如安提豐和歐多克索創立了窮竭法；到近代西歐數學家發明了微積分，在數學中完善地引入變量，解決了運動與時空中的有限與無限可分、連續性與間斷性的對立統一等。
評價
第歐根尼·拉爾修認為芝諾悖論的提出者芝諾是“在哲學和政治方面都是一位非常高貴的人。他流傳下來的書中充滿了許多的智慧”。“埃利亞的芝諾在其他方面也非常優秀，和赫拉克利特一樣也鄙視權貴。例如，面對雅典人的狂傲，他將自己的祖國置于其前面。”
格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾對芝諾悖論作了很高的評價，他在《漢譯世界學術名著叢書：哲學史講演錄》中論述芝諾時，開始就說： “芝諾的出色之點是辯證法。他是愛利亞學派的大師， 在他那里，愛利亞學派的純思維成為概念自身的運動，成為科學的純靈魂，——他是辯證法的創始者。”黑格爾還認為，芝諾是靠思維設置難題的：“造成困難的永遠是思維，因為思維把一個對象在實際里緊密聯系著的諸環節彼此區分開來。思維引起了由于人吃了善惡知識之樹的果子而來的墮落罪惡，但它又能醫治這不幸。這是一種克服思維的困難；但造成這困難的，也只有思維。”只有理論思維才能揭露對象本質中的矛盾，也只有思維才能認識和逐步解決這種矛盾。
格奧爾格·威廉·弗里德里希·黑格爾對芝諾悖論的評價得到了列寧的肯定。列寧說：“就本來的意義說，辯證法就是研究對象的本質自身中的矛盾。”他將“在對象的本質中發現本質自身所具有的矛盾”，叫做“本來意義上的辯證法”。
數學史家E．T．貝爾認為：“埃利亞的芝諾畢竟曾以非數學的語言，記錄下了最早同連續性和無限性格斗的人們所遭遇到的困難。”
英國數學家伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素評價說：“在這個變化無常的世界上，沒有什么比死后的聲譽更變化無常了。死后得不到應有的評價的最典型例子莫過于埃利亞的芝諾了。他雖然發明了四個無限微妙無限深的悖論，后世的大批哲學家們卻宣稱他只不過是個聰明的騙子，而他的悖論只不過是一些詭辯。遭到兩千多年的連續駁斥之后這些詭辯才得以正名。”
參考資料 >