二倍角公式（英文名：Formulas for double angles），是數學三角函數中常用的一組公式，指以角α的三角函數來表示其二倍角2α的三角函數的公式。二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式、正切二倍角公式、余切二倍角公式、正割二倍角公式及余割二倍角公式。正弦二倍角公式和余弦二倍角公式對任意角均成立，其他形式的二倍角公式的α取值需使等式兩邊同時有意義。
公元前2世紀，喜帕恰斯（Hipparchus,(R)）在對三角學的研究中發現了和差角公式，其后由克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）明確給出。公元980年和1150年左右，阿布·瓦法（Abul-Wefa）和婆什伽羅第二（BhāskaraⅡ）也都分別提出過類似的公式。約翰第一·伯努利（Johann Bernoulli）給出了兩角和差的全部三角公式。二倍角公式作為和角公式的一種特殊形式，被應用至今。
二倍角公式可由兩角和的公式推導得出，并可推廣到三倍角公式及多倍角公式。與二倍角公式有關的還有降冪公式和半角公式。二倍角公式可應用在大地測量學、光學、地震學等領域，例如，二倍角公式可應用在子午線弧長正反解過程中，提高計算效率。
公式內容
正弦二倍角公式和余弦二倍角公式對任意角均成立，其他形式的二倍角公式的取值需使等式兩邊同時有意義。
正弦二倍角公式：；
余弦二倍角公式：；
正切二倍角公式：（且，）；
余切二倍角公式：（且 ，）；
正割二倍角公式：（，）；
余割二倍角公式：（，）。
簡史
二倍角公式是三角學中古老的定理之一，起源于和差角公式的發現。古埃及人和希臘人在生活和生產實踐中，已經認識到了三角形各個元素具有的各種關系。公元前2世紀，希臘羅德島的喜帕恰斯（Hipparchus,(R)）曾作出第一個與目前使用的三角函數表相仿的弦表，揭示了圓弧與圓弦在量值上的對應關系。他在對三角學的研究中發現了和差角公式，其后由克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）明確給出。公元980年和1150年左右，阿布·瓦法（Abul-Wefa）和婆什伽羅第二（BhāskaraⅡ）也都分別提出過類似的公式。約翰第一·伯努利（Johann Bernoulli）給出了兩角和差的全部三角公式。二倍角公式作為和角公式的一種特殊形式，被應用至今。
證明
正弦形式
在兩角和的正弦公式里，設，就得到二倍角的正弦公式：
。
余弦形式
在兩角和的余弦公式里，設，就得到二倍角的余弦公式：
正切形式
在兩角和的正切公式里，設，就得到二倍角的正切公式：
。
上述等式需同時滿足、有意義且，可求得定義域為且，。
余切形式
在兩角和的余切公式里，設，就得到二倍角的余切公式：
。
上述等式需同時滿足、有意義且，可求得定義域為且，。
正割形式
由余弦二倍角公式可推導出正割二倍角公式：
形式一：
其中最后一步等式的分子替換可利用推導得出：
即由，即。
上述等式需同時滿足、、有意義，且，可求得定義域為，。
形式二
上述等式需同時滿足、、有意義，且，可求得定義域為，。
余割形式
由正弦二倍角公式可推導出余割二倍角公式：
其中最后一步等式的分子替換可利用推導得出（在正割形式中已給出證明）。
上述等式需同時滿足、、有意義，可求得定義域為，。
相關公式
降冪公式
；
。
半角公式
；
；
。
根號前的正負號依所在的象限而定。
應用例題
例1 已知且，求，，的值。
解：因為，且在第四象限，所以：
，
，
，
從而：
，
。
例2 用二倍角公式求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解:
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
例3 求證。
證明：左邊==右邊。證畢。
推廣
三倍角公式
；
；
。
多倍角公式
應用
大地測量學
二倍角公式可應用在子午線弧長正反解過程中。某學者為了分析不同表達式在計算效率方面的影響，給出了子午線弧長的3種表達形式，將其展開系數改寫為第三扁率的表達形式，并對不同形式的子午線弧長的截斷誤差進行計算分析，選取合適的項數，給出展開式的實用公式。結果表明，基于表示的子午線弧長，其系數在分數形式上看起來位數更少，形式更簡單，更便于推廣使用；當正解精度為毫米時，展開式只需保留前4項即可滿足精度，當反解精度為0.0001”時，展開式只需保留前4項即可滿足精度；對于3種表達形式，二倍角形式計算效率最高。
光學
二倍角公式可應用于光學領域。通過引入二倍角公式，可以改進傳統的方位失調角傳遞方法，擴大基于正弦波磁光調制的方位傳遞系統的傳遞范圍并提高傳遞精度。這一改進基于分析當前方位失調角傳遞原理，利用二倍角公式來擴大失調角的傳遞范圍。仿真結果顯示，失調角的理論傳遞范圍明顯擴大，精度較高。實際的失調角可在-64～64°傳遞，傳遞誤差在10”以內。該方法可為大范圍、高精度傳遞空間方位失調角提供參考。
地震學
由二倍角公式推廣的多倍角公式可應用于地震學領域。針對一步波場外推法地震波場正演，基于多倍角公式的耦合方程組解法可提高地震波場正演模擬的準確性和穩定性。借助歐拉公式，可以將一步波場外推法的復數波場延拓方程轉化為兩個實數波場耦合的方程組，結合多倍角公式和泰勒展開式精確逼近包含擬微分算子的簡諧函數算子，利用譜方法求解擬微分算子，最后可推導出一種基于多倍角公式的一步波場外推法的耦合方程組。相比于常規一步波場外推法中復數方程的矩陣解法，該方法能夠顯著減少傅里葉變換次數，降低計算成本。
參考資料 >
History.Australian Government Department of Education,.2023-12-27